四川省遂宁市第二中学2020届高三数学上学期11月周考试题 理

四川省遂宁市第二中学2020届高三数学上学期11月周考试题 理
时间: 120分钟 满分: 150分
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}{2|->=x x A ，}{1|≥=x x B ，则=⋃B A
A.}{2|->x x
B.}{12|≤<-x x
C.}{2|-≤x x
D.}{1|≥x x
2.复数
i
i
z +=
2（i 为虚数单位）在复平面对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.一个三棱锥的正视图与侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为
A.4
B.8
C.16
D.24
4.设实数y x ,满足约束条件,001121≥⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-++-≤y x y x x 则y x z +=3的最小值为
A.1
B.2
C.3
D.6 5.设n S 为等差数列}{a n 的前n 项和，3652a a a +=+，则=7S A.28 B.14 C.7 D.2 6.下列判断正确的是
A.”
“2-<x 是”“0)3ln(<+x 的充分不必要条件. B.函数9
19)(2
2++
+=
x x x f 的最小值为2.
C.当R ∈βα，时，命题“若βα=时，则βαsin sin =”的逆否命题为真命题.
D.命题“0>∀x ，020192019>+x
”的否定“020192019
,00
0≤+≤∃x x ”
7.执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为
A.5
B.7
C.9
D.11
8.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，0,||2πωϕ⎛
⎫>< ⎪⎝
⎭图象相邻两条对称轴的距离为2π，将函数
()y f x =的图象向左平移
3
π
个单位后，得到的图象关于y 轴对称，则函数()y f x =的图象 A.关于直线23x π=对称 B.关于直线23x π
=-对称
C.关于点2,03
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称 D.关于点2,03
π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
对称
9.函数()1-=x f y 的图象关于直线1=x 对称，当()+∞∈,0x 时，()()0'<+x xf x f 成立，若
()()⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛===41log 4
1
log ,2ln 2ln ,22212
1
2.02.0f c f b f a ，则c b a ,,的大小关系是 A ． B ． C ．
D ．
10.已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，
2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为
A ．
6423
π B 162π
C ．2π
D ．16π
11.定义域为[,]a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，向量(1)ON OA OB u u u v
u u u v
u u u v
λλ=+-，
(,)M x y 是()f x 图像上任意一点，其中(1)x a b λλ=+-，若不等式MN k ≤恒成立，则称
函数()f x 在[,]a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值.若函数2
y x
=
定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是 A. 22-322- C. 322+ D. 22+
12.设椭圆()0122
22>>=+b a b y a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线
BP AP ,的斜率分别为m ,n ，则当()||ln ||ln 32
323n m mn
mn b a +++
⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为 A.
51 B. 22 C. 5
4
D. 23
第∏卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题，共20分。

13.已知双曲线1:2
2
=-y x C 的右焦点为F ，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为
14.4
12⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x x 展开式的常数项是
15.已知α、β为锐角，4tan 3α=
，cos()αβ+=，则tan β= 16.已知G 为ABC ∆的重心，过点G 的直线与边AC AB ,分别相交于点Q P , . 若
λ=，则当ABC ∆与APQ ∆的面积之比为
9
20
时，实数λ的值为 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：11n n a a S S =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0n a >，数列2{log }32
n
a 的前n 项和为n T ，试问当n 为何值时，n T 最小？并求出最小值.
18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且
2sin 3tan c B a A =.
（1）求22
2
b c a
+的值；
（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的菱形，ABC ∠3
π
=
，⊥PA 平面ABCD ，点M 是棱PC 的
中点.
（1）证明：PA ∥平面BMD ； （2）当3=
PA 时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）在2020年篮球世界杯期间，北京的部分餐厅经营了来自四川的小龙虾，这些小龙虾均标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值x 与销售单价y 之间的关系，经统计得到如下数值;
等级代码数值x 38 48
58
68
78
88
销售单价y （元/kg ） 16.8
18.8 20.8 22.8 24 25.8
x x 数精确到0.1）;
（2）若北京某个餐厅打算从上表的6种等级的四川小龙虾中，随机选2种进行促销，记被选中的2种等级代码数值在60以下（不含60）的数量为x ，求x 的分布列及数学期望。

参考公式：对一组数据),,(),,(,,2211n n y x y x y x •••）（其回归直线方程a bx y +=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：x
b y a x
n x y x n y x b n
i i n
i i i -=--=
∑∑==,1
2
21.参考数据：
.25564,84406
1
2
6
1
==∑∑==i i i i
i x y
x
21.(本小题满分12分) 已知函数.,ln )(R a ax x
e x a x
f x
∈+--= （1）当0<a 时，讨论函数)(x f 的单调性； （2）当1=a 时，若关于x 的不等式11)(≥-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
+bx e x x x f x
恒成立，求实数b 的取值范围.
请考生在第22，23题中任选择一题，如果多做，则按所做第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选的题目对应的标号涂黑。

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数）．以
坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知:(0)l θαρ=>与1C ,2C 的公共点分别为A ,B ，)2
,
0(π
α∈，当
4OB
OA
=时，求α的值．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.|12
|
|12|)(++-=x
x x f （1）求不等式03)(<-x f 的解集； （2）若关于x 的方程04
5
2)(2=---m m x f 无实数解，求实数m 的取值范围.
（理科） 参考答案
1．【答案】A 【解析】}{2|->=x x A }{1|≥=x x B ，=⋃B A }{2|->x x 。

2.【答案】D 【解析】i i z +=
2i i 211
-1
2-=-=，对应的点为()2,1-，位于第四象限。

3.【答案】B 【解析】8642213131=⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯==
h S V 底面三棱锥。

4.【答案】A 【解析】画出线性规划区域，即可得出最优解。

5.【答案】B 【解析】 ,23,7242111=++=++d a d a d a 即.24=a 1472
74717==+=a a a S ）
（ 6.【答案】C 【解析】 由题意可知：A 选项 ”
“2-<x 23-<<-⇐x ，是必要不充分条件，A 错误.B 选项，最小值为2，等号成立条件199
19222
=++=
+x x x ，不成立，排除
B.D 选项，命题“0>∀x ，020192019>+x ”的否定“020192019,00
0≤+>∃x x ”，D 选
项错误。

7.【答案】C 【解析】由题意可知，)
2(1
)1(11421311+++-+•••+⨯+⨯=
n n n n S ）（ ))
2)(1(3
2(21-432111-21121+++=+-++=n n n n n ）（。

8.【答案】D 【解析】由题意得
22
T π=，所以4T π=，21
2T πω==，因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，即1sin 26y x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
的图象关于y 轴对
称，所以
6
2
k π
π
ϕπ+=
+()k Z ∈，因为2
π
ϕ<
所以3π
ϕ<
，所以1
()sin 2
3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其图象关
于点2,03π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称.
9.【答案】B 【解析】∵函数的图象关于直线对称，∴函数
的
图象关于直线对称，即函数
为偶函数．设
，则
为偶函数，又当
时，
，∴
在
上单调
递减．又，，即．
10.【答案】A 【解析】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD ，//AD BC Q 且1
2
AD BC EC =
=
∴四边形ADCE 为平行四边形AE DC ∴=，又1
2
DC BC =
1
2
DE BC ∴=
AE DE BE EC ∴===，E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心，设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD 作OF PA ⊥，垂足为F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE ==，设AF x =，OP OA R ==则
()2
2444x x +-=+，解得：2x = 4422R ∴=+=∴球O 的体积：
3464233
V R ππ==
11.【答案】B 【解析】作出函数2
y x
=
图像，它的图象在[]1,2上的两端点分别为：()1,2A ,()2,1B 所以直线AB 的方程为：30x y +-=，设(),M x y 是曲线
2
y x =
上的一点，[]1,2x ∈，其中()112x λλ=⨯+-⨯由()1ON OA OB λλ=+-u u u v u u u v u u u v
，可知,,A B N 三点共线，所以N 点的坐标满足直线AB 的方程
30x y +-=，又()1,2OA =u u u r ,()2,1OB =u u u r
,则()()()21,21ON λλλλ=+-+-u u u v ，所以,M N 两点的
横坐标相等.故()2
3MN x x
=--函
数2
y x
=
在[]1,2上满足“k 范围线性近似” 所以x ∈[]1,2时，
()2
3x k x --≤恒成立.即：()
max
23x k x --≤恒成立. 记()23y x x =
--，整理得：2
3y x x
=+-，x ∈[]1,2 22323223y x x x x
=
+-≥⨯-=-，当且仅当2x =时，等号成立。

当1x =时，max 2
1301y =
+-=所以2230y -≤≤，所以()
max
23322x x --=-. 即：322k -≤所以该函数线性近似阈值是：322-
12.【答案】D 【解析】设()()(),,,0,,0,00y x P a B a A -，点P 在双曲线上，得
()0122
0220>>=+b a b y a x C ：，2
2
0222
0)(a x a b y -=，所以a x y m +=00，a x y m -=00，化简
,22
a
b mn -=
原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--
=b a b a b a b a a b a b a b b a ln 63232ln 6232
3232
2
22，所以设1>=
b a t ，函数t t t t t f ln 6323
2
)(23-+-=，求导可以得到：2t =时，函数取得最小值=)2(f ，
2=b
a
，23=e 。

13.【答案】1【解析】由题意可知：双曲线的焦点(
)
0,2F
，渐近线方程x y ±=中间一条
0=-y x ，12
|
02|=-=
d 。

14.【答案】24【解析】由题意可知：r
r r r r
r
r x C x x C T 244414412)()2(----+==，当r=0时，常
数项为24.
15.【答案】2【解析】α、β
为锐角，cos()αβ+=，故2παβπ<+< ，则
tan()2αβ+=-，4
2tan()tan 3tan tan()24
1tan()tan 123
αβαβαβααβα--
+-=+-==
=++-⨯ 16.【答案】5343或【解析】由题意得：λ=，设x =即⎪⎩⎪⎨⎧==x AB λ
因为三点共线PGD ，()μμ-+=1=()x μλμ-+1，
所以()()91-1-13131=∴⎪⎩⎪⎨⎧==x x μλμμλμ，920
1sin ||||21sin ||||21=
==∆∆x A A S S APQ ABC λ， 209=∴x λ，()8120-1=μμ，94=∴μ或95，43=λ或5
3。

17.【答案】（1）0n a =或2n
n a =.（2）-10【解析】 （1）由已知11n n a a S S =+，可得
当1n =时，2
111a a a =+，可解得10a =，或12a =，
当2n ≥时，由已知可得1111n n a a S S --=+，两式相减得11()n n n a a a a --=. 若10a =，则0n a =，此时数列{}n a 的通项公式为0n a =. 若12a =，则12()n n n a a a --=，化简得12n n a a -=，
即此时数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2n
n a =. ∴综上所述，数列{}n a 的通项公式为0n a =或2n
n a =.
（2）因为0n a >，故2n
n a =.设2
log 32
n
n a b =，则5n b n =-，显然{}n b 是等差数列， 由50n -≥解得5n ≥，∴当4n =或5n =，n T 最小，最小值为55(40)
102
T -+==-.
18.【答案】（1）4.（2 （1）∵2sin 3tan =c B a A ，∴2sin cos 3sin =c B A a A ，
由正弦定理得2
2cos 3=cb A a ，由余弦定理得222
2232+-=g b c a cb a bc
，化简得2224+=b c a ，
∴22
2
4+=b c a .（2）因为2=a ，由（I ）知222416+==b c a ，∴由余弦定理得2226
cos 2+-==b c a A bc bc
，
根据重要不等式有222+≥b c bc ，即8≥bc ，当且仅当=b c 时“=”成立，∴63
cos 84
≥=A .由6cos =
A bc ，得6cos =bc A ，且(0,)2π∈A ，∴∆ABC 的面积116sin sin 3tan 22cos ==⨯⨯=S bc A A A A
.∵
2222
222sin cos sin 11tan 1cos cos cos ++=+==A A A A A A A
，∴
tan =
=A .
∴3tan =≤
S A ∴∆ABC 的面积S .
19．【答案】（1）略（2）
7
42
【解析】
20.【答案】（1）9.82.0+=x y （2）1【解析】
21．【答案】（1）略（2）(]2-，
∞ 【解析】
22.解（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即2sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………5分
（2）由（1）知1||,||4cos cos sin A B OA OB ρρααα
====+， ()()4cos cos sin 21cos2sin2222sin 24OB OA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝
⎭ Q
4OB OA = ∴222sin(2)44πα++=， 2sin(2)42πα+= 由02π
α<<，知52444
π
π
πα<+<，当3244ππα+=， ∴4π
α=． ………10分
23.【答案】（1）⎪⎭
⎫
⎝⎛5632-，（2）()0,2-【解析】。