七年级上册成都武侯外国语学校数学期末试卷练习(Word版 含答案)

七年级上册成都武侯外国语学校数学期末试卷练习（Word版含答
案）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．已知 (本题中的角均大于且小于 )
（1）如图1，在内部作，若，求的度数；
（2）如图2，在内部作，在内，在内，且，，，求的度数；
（3）射线从的位置出发绕点顺时针以每秒的速度旋转，时间为秒( 且 ).射线平分，射线平分，射线平分 .若，则 ________秒.
【答案】（1）解：∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD
又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°
∴
（2）解：，
设，则，
则，
（3） s或15s或30s或45s
【解析】【解答】(2）解：当OI在直线OA的上方时，
有∠MON=∠MOI+∠NOI= （∠AOI+∠BOI））= ∠AOB= ×120°=60°，
∠PON= ×60°=30°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴3t=3（30-3t）或3t=3（3t-30），
解得t= 或15；
当OI在直线AO的下方时，
∠MON═（360°-∠AOB）═ ×240°=120°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴180°-3t=3（60°- ）或180°-3t=3（ -60°），
解得t=30或45，
综上所述，满足条件的t的值为 s或15s或30s或45s
【分析】（1）利用角的和差进行计算便可；（2）设，则，，通过角的和差列出方程解答便可；（3）分情况讨论，确定∠MON在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t的不同方程进行解答便可.
2．如图，点B、C在线段AD上，CD＝2AB＋3．
（1）若点C是线段AD的中点，求BC－AB的值；
（2）若BC＝AD，求BC－AB的值；
（3）若线段AC上有一点P（不与点B重合），AP＋AC＝DP，求BP的长．
【答案】（1）解：设AB长为x，BC长为y，则CD=2x+3．若C是AB的中点，则AC=CD，即x+y=2x+3，得：y-x=3，即BC-AB=3
（2）解：设AB长为x，BC长为y，若BC= CD，即AB+CD=3BC，∴x+2x+3=3y，∴y=x+1，即y-x=1，∴BC-AB=1
（3）解：以A为原点，AD方向为正方向，1为单位长度建立数轴，则A：0，B：x，C：x+y，D：x+y+2x+3=3x+y+3．设P：p，由已知得：0≤p≤x+y，则AP=p，AC=x+y，DP=3x+y+3-p，∵AP+AC=DP，BP= ，∴p+x+y=3x+y+3-p，解得：2p-2x=3，∴p-x=1.5，∴BP=1.5
【解析】【分析】（1）此题可以设未知数表示题中线段的长度关系，设AB长为x，BC长
为y，则AC=AB+BC=x+y,CD=2x+3 ，根据中点的定义得出 AC=CD ，从而列出方程，变形即可得出答案；
（2）设AB长为x，BC长为y ，则CD=2x+3 ，由BC= CD，得出AB+CD=3BC，从而列出方程变形即可得出答案；
（3）设AB长为x，BC长为y ，则CD=2x+3 ，以A为原点，AD方向为正方向，1为单位长度建立数轴，则A点表示的数为0，B点表示的数为x，C点表示的数为x+y，D点表示的数为x+y+2x+3=3x+y+3．设P点表示的数为p，由已知得：0≤p≤x+y，则AP=p，AC=x+y，DP=3x+y+3-p，由AP+AC=DP，列出方程，并行得出P-X的值，再根据BP= 即可得出答案。

3．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 O 按如图方式叠放在一起．
（1）如图 1 ，若∠BOD=35°，则∠AOC=________；若∠AOC=135°，则∠BOD=________；
（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=________；
（3）猜想∠AOC 与∠BOD 的大小关系，并结合图1说明理由．
（4）三角尺 AOB 不动，将三角尺 COD 的 OD 边与 OA 边重合，然后绕点 O 按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠A OD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD 角度所有可能的值，不用说明理由．
【答案】（1）145°；45°
（2）40°
（3）解：∠AOC 与∠BOD 互补．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠AOC 与∠BOD 互补
（4）解：OD⊥AB 时，∠AOD=30°，
CD⊥OB 时，∠AOD=45°，
CD⊥AB 时，∠AOD=75°，
OC⊥AB 时，∠AOD=60°，
即∠AOD 角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°
【解析】【解答】解：（1）若∠BOD=35°，∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD=90°+90°﹣35°=145°，若∠AOC=135°，
则∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC=90°+90°﹣135°=45°；
（ 2 ）如图 2，若∠AOC=140°，
则∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD=40°；
故答案为：（1）145°，45°；（2）40°．
【分析】（1）根据∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD，就可求出∠AOC的度数；再由∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC，可求出∠BOD的度数。

（2）观察如图2可证∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD，代入计算可求解。

（3）观察图形可得出∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°，而∠AOC=∠AOD+∠BOD+∠BOC ，即可证得结论。

（4）分情况讨论：OD⊥AB 时；CD⊥OB 时；CD⊥AB 时；OC⊥AB 时，根据垂直的定义，分别求出∠AOD的度数。

4．如图已知直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，点E、点F在线段BC上，满足∠FOB=∠AOB=α，OE平分∠COF．
（1）用含有α的代数式表示∠COE的度数；
（2）若沿水平方向向右平行移动AB，则∠OBC：∠OFC的值是否发生变化？若变化找出变化规律；若不变，求其比值．
【答案】（1）解：∵CB∥OA，∴∠C+∠AOC=180°．
∵∠C=100°，∴∠AOC=80°．
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB= ∠COF+ ∠FOA
= （∠COF+∠FOA）= ∠AOC=40°．
又OE平分∠COF，
∴∠COE=∠FOE=40°﹣α；
（2）解：∠OBC：∠OFC的值不发生改变．
∵BC∥OA，
∴∠FBO=∠AOB，
又∵∠BOF=∠AOB，
∴∠FBO=∠BOF，
∵∠OFC=∠FBO+∠FOB，
∴∠OFC=2∠OBC，
即∠OBC：∠OFC=∠OBC：2∠OBC=1：2= ．
【解析】【分析】（1）根据CB∥OA，可得∠C与∠OCA的关系，再根据∠C=∠OAB=100°，根据∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，即可得到∠EOB=∠BOF+∠EOF，及可求得答案；
（2）根据∠FOB=∠AOB，即可得到∠AOB：∠AOF=1：2，再根据CB∥OA，可得∠AOB=∠OBF，∠AOF=∠OFC，进而得出结论.
5．如图，已知∠AOB=α°，∠COD在∠AOB内部且∠COD=β°.
（1）①若α，β满足|α-2β|+(β-60)2=0，则①α=________；
②试通过计算说明∠AOD与∠COB有何特殊关系________；
（2）在(1)的条件下，如果作OE平分∠BOC，请求出∠AOC与∠DOE的数量关系；
（3）若α°，β°互补，作∠AOC，∠DOB的平分线OM，ON，试判断OM与ON的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）120°；解：∵∠AOB=α°=120°，∠COD=β°=60°，
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=120°-∠DOB，∠COB=∠COB+∠DOB=60°+∠DOB，∴∠AOD+∠COB=180°，即∠AOD与∠COB互补
（2）解：设∠AOC=θ，则∠BOC=120°-θ．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE= ∠BOC= (120°-θ)=60°- θ，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°-60°+ θ= θ= ∠AOC；
（3）解：OM⊥ON．理由如下：
∵OM，ON分别平分∠AOC，∠DOB，
∴∠COM= ∠AOC，
∴∠DON= ∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠COD+∠DON
= ∠AOC+ ∠BOD+∠COD
= (∠AOC+∠BOD)+∠COD
= (∠AOB-∠COD)+∠COD
= (∠AOB+∠COD)
= (α°+β°)
∵α°，β°互补，
∴α°+β°=180°，
∴∠MON=90°，
∴OM⊥ON
【解析】【解答】(1)①由题意得：α-2β=0，β=60°，解得：α=120°；
【分析】（1）①由绝对值和偶次方的非负性可得α-2β=0，β-60°=0，解方程可求得α和β的度数；
②由①可知α和β的度数分别为：β=60°，α=120°；即所以∠AOB+∠COD=α+β=180°；而由图中角的构成可得∠AOD=∠AOB-∠BOD；∠COB=∠COD+∠BOD，所以∠∠AOD+∠COB=∠AOB-∠BOD+∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°；
（2）由角平分线的定义可得∠COE=∠BOE= ∠BOC，由图中角的构成可得∠DOE=∠COD-∠EOC，代入整理结合（1）中求得的度数即可得解；
（3）由角平分线的定义可得∠COM= ∠AOC，∠DON= ∠BOD，由图中角的构成和已知条件可求得∠MON=90°；由垂线的定义即可判断OM⊥ON。

6．以直线上点为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点处.
（1）若直角的边在射线上（图①），求的度数；
（2）将直角绕点按逆时针方向转动，使得所在射线平分（图②），说明所在射线是的平分线；
（3）将直角绕点按逆时针方向转动到某个位置时，恰好使得
（图③），求的度数.
【答案】（1）解：∵，
又∵，
∴ .
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴所在直线是的平分线.
（3）解：设，则，
∵，，
①若∠COD在∠BOC的外部，
∴，解得x=10，
∴∠COD=10°，
∴∠BOD=60°+10°=70°；
②若∠COD在∠BOC的内部，
，解得x=30，
∴∠COD=30°，
∴∠BOD=60°-30°=30°；
即或，
∴或 .
【解析】【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；（3）要分情况讨论，一种是∠COD在∠BOC的内部，另一种是∠COD在∠BOC的外部，再根据平角等于180°可通过列方程求出即可．
7．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD
（1）如图1，若∠BCE=40°，求∠ACF的度数；
（2）如图2，若∠BCE=a，直接写出∠ACF的度数(结果用含a的代数式表示)；
（3）将直角三角板ABC绕顶点C旋转，探究∠ACF与∠BCE的度数之间的关系，并说明理由。

【答案】（1）解：∵∠BCE+∠BCD=180°，∠BCE=40°
∴∠BCD=140°，
∵CF平分∠BCD
∠BCF= ∠BCD=70°
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=20°；
（2）解：∠ACF=
（3）当CF在∠ACB内部时，
∵CF平分∠BCD
∠BCF= ∠BCD= (180°-∠BCE)=90°- ∠BCE
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°-(90°- ∠BCE)= ∠BCE
当CF在∠ACB外部时，
∵CF平分∠BCD
∠BCF= ∠BCD= (180°-∠BCE)=90°- ∠BCE
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=90°+(90°-∠BCE)=180°- ∠BCE
【解析】【分析】（1）首先根据邻补角的定义算出∠BCD的度数，根据角平分线的定义得出∠BCF 的度数，最后根据学具的性质及∠ACF=∠ACB-∠BCF 即可算出答案；
（2）同（1）即可得出结论；
（3）分类讨论：当CF在∠ACB内部时，根据角平分线的定义及∠ACF=∠ACB-∠BCF 即可得出结论；当CF在∠ACB外部时，根据角平分线的定义及∠ACF=∠ACB+∠BCF 即可得出结论.
8．问题情境：如图1，AB∥CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度数.
小明的思路是：
（1）初步尝试：按小明的思路，求得∠AEC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，问∠A、∠E、∠F和∠D 之间有何数量关系?请说明理由；
（3）应用拓展：如图3，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，如果∠E+∠EFG=160°，请直接写出∠B与∠D之问的数量关系.
【答案】（1）解：如图，过E作EM∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，
∴∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，
∴∠AEC=∠A+∠C=70°；
（2）解：∠A+∠EFD =∠AEF+∠D
理由如下：过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB
∵AB∥CD，∴AB∥ME∥FN∥CD，
∴∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，
∴∠A+∠EFD =∠AEF+∠D；
（3）∠B+∠D=160°
【解析】【解答】解：（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM∥EH，
∴∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，
∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF，
∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF，
∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。

∵∠BEF+∠EFG=160°，
∴∠BEF+180°-∠EFD=160°，
∴∠BEF-∠EFD=-20°，
∴∠B+∠D=180°-20°=160°。

【分析】（1）添加辅助线，转化基本图形。

过E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，再证明∠AEC=∠A+∠C，继而可解答问题。

（2）添加辅助线，转化两直线平行的基本图形。

过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB ，利用平行线的性质可证AB∥ME∥FN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等，可证得∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，然后将三式相加，可证得结论。

（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，结合已知可证得AB∥CD∥FM∥EH，利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可证∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，再将三个等式相加，整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD，然后由∠BEF+∠EFG=160°，可推出∠BEF-∠EFD=-20°，整体代入求出∠B+∠D的值。

9．如图，直线l上有A、B两点，AB=24cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）OA=________cm，OB=________cm．
（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长．
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=8．
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q 运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程为________ cm．
【答案】（1）16；8
（2）解：设CO=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，
∵AC=CO+CB，
∴16﹣x=x+8+x，
∴x= ，
∴CO=
（3）48
【解析】【解答】解：（1）∵AB=24，OA=2OB，
∴20B+OB=24，
∴OB=8，0A=16，
故答案分别为16，8．（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，t= ，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）=8，t=16，
∴t= 或16s时，2OP﹣OQ=8．
②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）=16，t=16，
∴点M运动的路程为16×3=48cm．
故答案为48cm．
【分析】（1）由OA=2OB，OA+OB=24即可求出OA、OB．（2）设OC=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，根据AC=CO+CB列出方程即可解决．（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+x）=8，解方程即可．
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由题意得：t（2﹣1）=16由此即可解决．
10．综合题
（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．
（2）对于（1）问，如果我们这样叙述：“已知点C在直线AB上，且AC=6cm，BC=4cm，
点M、N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果；如果没有，说明理由．
【答案】（1）解：∵AC=6cm，且M是AC的中点，
∴MC= AC= 6=3cm，
同理：CN=2cm，
∴MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm，
∴线段MN的长度是5m
（2）解：分两种情况：
当点C在线段AB上，由（1）得MN=5cm，
当C在线段AB的延长线上时，
∵AC=6cm，且M是AC的中点
∴MC= AC= ×6=3cm，
同理：CN=2cm，
∴MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm，
∴当C在直线AB上时，线段MN的长度是5cm或1cm．
【解析】【分析】（1）根据线段的中点定义，由M是AC的中点，求出MC、CN的值，得到MN=MC+CN的值；（2）当点C在线段AB上，由（1）得MN的值；当C在线段AB 的延长线上时，再由M是AC的中点，求出MC、CN的值，得到MN=MC﹣CN的值.
11．已知，AB//CD,（1）如图，若 E 为 DC 延长线上一点，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE 的平分线.
（1）求证：AF//CG.
（2）若 E 为线段 DC 上一点（E 不与 C 重合），AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，画出图形，试判断 AF，CG 的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵AB//CD
∴∠BAC=∠ACE，
∵AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，
∴∠CAF= ∠BAC, ∠ACG= ∠ACE,
∴∠CAF=∠ACG
∴AF//CG.
（2）解：AF⊥CG，理由如下：
如图，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，
∴∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD,
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= （∠BAC+∠ACD）=90°，
∴∠3=180°-（∠1+∠2）=90°，
∴AF⊥CG.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠ACE，根据角平分线的定义得出∠CAF=∠ACG ，进而根据内错角相等，二直线平行得出AF∥CG；
（2）根据题意作出图形，根据角平分线的定义得出∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD, 根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BAC+∠ACD=180°，从而即可得出∠1+∠2= 90°，根据三角形的内角和定理得出∠3=90°，进而根据垂直的定义得出AF⊥CG.
12．已知，与两角的角平分线交于点P，D是射线上一个动点，过点D的直线分别交射线，，于点E，F，C.
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，若，请探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）在点运动的过程中，请直接写出，与这三个角之间满足的数量关系：________.
【答案】（1）解：∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，
∴∠BAP=∠PAE= ∠BAM= ，
∠ABP=∠PBE= ∠ABN= ，
∴∠BPC=∠BAP+∠ABP= ；
（2）解：，理由如下：
∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，
∴设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（3）∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，
∴设，，
∵，
∴，
如图，当点P在线段BD上时，
，
∴；
如图，当点P在线段BD的延长线上时，
，即，
∴，
即；
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的性质结合三角形外角的性质即可求解；
（2）设，，根据角平分线的性质结合四边形内角和定理即可求解；
（3）分点P在线段BD上和点P在线段BD的延长线上两种情况讨论即可求解.
13．如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.
（1）若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数；
（2）已知四边形ABCD中，∠A=105º，∠D=125º，求∠F的度数；
（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠ABC=80°，
∴∠ABE=180°-∠ABC=100°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF= ∠ABE=50°，
∵BF∥CD
∴∠BCD=∠EBF=50°
（2）解：∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F= （∠A+∠D-180°），
∵∠A=105º，∠D=125º，
∴∠F= （105º +125º -180°）=25°
（3）解：结论：∠F= （∠A+∠D-180°）
理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角，
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，
∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，
∵∠ABE=180°-∠ABC，
∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，
∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，
∴∠F= （∠A+∠D-180°）
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和邻补角的定义可得：∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；由平行线的性质可得∠BCD=∠FBE可求解；
（2）由平行线的性质可得：∠ABC+∠A=180°；∠BCD+∠D=180°；由已知条件可得：∠ABC=180°-∠A；∠BCD=180°-∠D；由角平分线的性质和邻补角的定义可得：
∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；∠BCF=∠BCD，由三角形外角的性质可得∠FBE=∠F+∠BCF，于是∠F=∠FBE-∠BCF，把求得的∠FBE和∠BCF的度数代入计算即可求解；
（3）结合（1）和（2）的结论可求解：∠F=（∠A+∠D-180°）。

14．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。

（1）如图①，试说明：∠AEC=∠BAE+∠ECD；
（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG。

①如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。

【答案】（1）解：如图①
【法1】过点E作直线EK∥AB
因为AB∥CD，所以EK∥CD
所以∠BAE=∠AEK，∠DCE=∠CEK
所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD
【法2】连接AC，则∠BAC+∠DCA=180°
则∠BAC+∠DCA=180°
即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180°
所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC
即∠AEC=∠BAE+∠ECD
（2）解：①【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，所以∠BAH=∠EAH，∠DFH=∠GFH
又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD
由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH
= ∠BAE+ ∠DFG= ∠BAE+ ∠DCE
= （∠BAE+∠DCE) = ∠AEC= ×90°=45°
【法2】因为AH平分∠BAE，所以∠BAH=∠EAH
因为HE平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x
又CE∥FG，所以∠ECD=∠GFD=2x
又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°
所以∠BAH=∠EAH=45°-x
由(1) 知，易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°
②【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠CFG，所以∠BAH=∠EAH，∠CFH=∠GFH
又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD
由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH
= ∠BAE+∠GFH+∠GFD= ∠BAE+ ∠CFG+∠GFD
= ∠BAE+ ∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+ (∠BAE+∠GFD)
=90°+ (∠BAE+∠ECD)=90+ ∠AEC
【法2】设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=y，则∠GFD=y
因为HF平分∠CFG，所以∠GFH=∠CFH=90°-
由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y
∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH
=x+y+90°- =x+ +90°= (2x+y)+90°= ∠AEC+90°
所以∠AHF= ∠AEC+90°(或2∠AHF=∠AEC+180°或2∠AHF-∠AEC=180°)
【解析】【分析】（1）过点E作直线EK∥AB，根据平行线的性质即可求解；也可连接AC，根据平行线的性质和三角形内角和定理求解；
（2）①根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，再结合平行线的性质和角平分线的定义表示出∠AHF，即可求解；也可设∠GFH=∠DFH=x，则∠BAH=45°-x，再根据∠AHF=∠BAH+∠DFH求解；
②根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，结合角平分线的定义将∠AHF用∠AEC表示出来；也可设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=∠GFD=y，则有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y，再结合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解.
15．如图1，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上，已知∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°作∠AOD的平分线交边CD于点E。

（1）求∠BOE的度数。

（2）如图2，若点C不落在边OA上，当∠COE=15°时，求∠BOD的度数。

【答案】（1）解：∵∠COD=60°，OE为∠COD的平分线，
∴∠COE=30°，
∴∠BOE=∠AOB+∠COE
=45°+30°
=75°；
（2）解：∵∠COE=15°，
∴∠DOE=∠DOC-∠OCE=60°-15°=45°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×45°=90°，
∴∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°+45°=135°.
【解析】【分析】（1）OE为∠COD的平分线，求出∠COE的度数，则∠BOE的度数等于∠AOB和∠COE的度数之和；
（2）现知∠COE的度数，则∠DOE度数可求，结合OE平分∠AOD，则∠AOD可求，于是∠BOD的度数可得；。