2018届高考数学 滚动检测08 综合检测模拟一(A卷)理

滚动检测08 综合检测模拟一
（测试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1．【2018河南联考】已知集合{}
2*|60A x N x x =∈-≤， {}0,2,6B =，则A B ⋂=（ ） A. {}2,6 B. {}3,6 C. {}0,2,6 D. {}0,3,6 【答案】A
【解析】由题意得{}{}*|061,2,3,4,5,6A x N x =∈≤≤=，所以{}2,6A B ⋂=。

选A 。

2．【2018河南名校联考】已知i 是虚数单位，若复数1b i
z ai
-=+为纯虚数（a ， b R ∈），则z =（ ）
A. 1 C. 2 D. 3 【答案】A
3．【2018江西宜春联考】某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为 A. 28、27、26 B. 28、26、24 C. 26、27、28 D. 27、26、25 【答案】A
【解析】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为
811
56054052020
=
++ 则在高一年级抽取的人数是1
5602820
⨯=人 高二年级抽取的人数是1
5402720⨯
=人 高三年级抽取的人数是1
5202620
⨯=人
故答案选A
4．【2018江西新余一中四模】在等比数列{}n a 中， 182n a a +=， 3281n a a -=，且前n 项和121n S =，
则此数列的项数n 等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得： 13281n n a a a a -== 又182n a a +=
1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，
解方程得1x =或81x =
若等比数列{}n a 递增，则11a =， 81n a =
121n S =，
118112111n a a q q
q q
--==--
解得3q =， 18113n -∴=⨯ 解得5n =
若等比数列{}n a 递减，则181a =， 1n a =
121n S =，
18112111n a a q q
q q
--==--
解得13q =， 1
18113n -⎛⎫
∴=⨯ ⎪
⎝⎭
解得5n =
则此数列的项数n 等于5 故选B
5.【2018陕西西安长安区联考】已知直线0(0)x y k k +-=>与圆22
4x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有4
3
OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ）
A.
)
+∞ B. )
2,⎡+∞⎣ C. ⎡⎣ D.
【答案】C
【解析】试题分析：设AB 的中点为D ，则O D A B
⊥，因为3OA OB AB +≥
，所以3
2OD AB ≥，
3
所以23AB OD ≤，因为2
21
44
OD AB +=，所以21OD ≥，因为直线0(0)x y k k +-=>与圆
22
4x y +=交于不同的两点，所以2
4OD <，所以2
14OD ≤
<，即2
14≤<
，
解得
k ≤<C ．
考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．
6．【
2018河南中原名校联考】如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 16
B. 32
C. 48
D. 60 【答案】A
7．【2018河南漯河高中四模】已知M ， N 是不等式组1
1
{ 106
x y x y x y ≥≥-+≥+≤ ，所表示的平面区域内的两个不
同的点，则MN
的最大值是（ ）
A.
2
172
【答案】B
【解析】作出不等式组11
{ 106
x y x y x y ≥≥-+≥+≤表示的平面区域，
得到如图的四边形ABCD ，其中A （1，1），B （5，1），C （52， 7
2
），D （1，2） ∵M 、N 是区域内的两个不同的点
∴运动点M 、N ，可得当M 、N 分别与对角线BD 的两个端点重合时，距离最远 因此|MN|的最大值是
故选：B
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
8．【2018辽宁凌源两校联考】已知a ， b 均为正实数，则“3log 0ab <”是“1
b a
<
”的（ ） A.
充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C
9．【2018河北石家庄二中八月模考】在ABC ∆中， 2
26,AB AC BA BC BA ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当2
2
2
PA PB PC ++取得最小值时， AP BC ⋅= ( )
5
A. 9
B. 9-
C. 272
D. 272
- 【答案】
B
故选：B
10．【2018湖南五市十校联考】将余弦函数()cos f x x =
（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移
2
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象.若关于x 的方程()()f x g x m +=在[]0,π内有两个不同的解，则实数m 的取值范围为（ ）
A. [)1,2
B. []1,2
C. []2,2-
D. [
)1,2- 【答案】A
【解析】由题意得， (
)()(
)cos 2sin 26g x x x f x g x x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=-
=∴+=+=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
706
6
6
x x π
π
π
π≤≤∴
≤+
≤
若关于x 的方程()()f x g x m +=在[]
0,π内有两个不同的解， 根据图像知12m ≤<，选A.
11．【2018河南联考】已知过抛物线C ： 2
8y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于P ， Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则OS OR
的取值范围是（ ）
A. ()0,2
B. [)2,+∞
C. (]
0,2 D. ()2,+∞ 【答案】D
【解析】由题意知， 2
8y x =的焦点F 的坐标为（2,0）。

直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为
()2y k x =-。

由()2
2{
8y k x y x
=-=消去y 整理得()22224240k x k x k -++=，设()11,P x y ，
()()()220033,,,,,Q x y R x y S x y ，则(
)2122
42k x x k ++=
，故()2120
002
22)
,22x x k x
y k x k
++===- 4k =
，所以02022OS y k k x k ==+，直线OS 的方程为222
k
y x k =+，代入抛物线方程，解得
()
2
232
22
k x k +=
，由条件知20k >。

所以
23
22OS x k OR
x =
=+>。

选D 。

点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
12．【2018四川泸州高级中学一模】函数()()ln 24x a
a x f x x x e e --=-+++，其中e 为自然对数的底数，
若存在实数0x 使()03f x =成立，则实数a 的值为（ ） A. ln2 B. ln21- C. ln2- D. ln21-- 【答案】D
7
故ln21x a =+=-，所以1ln2a =-- ，故选D.
点睛：本题考查了导数在函数中的综合应用和基本不等式的应用，解答中利用导数求解函数的最值，再根据基本不等式求得最值，分析题意得出只有两个等号同时成时取得是解答的关键，着重考查了方程根与函数的零点之间的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 二项式9
1()2x x
+
展开式中，3x 项的系数为 ． 【答案】221
【解析】
试题分析：
99219911(
)()22r r r r r r r T C x C x x --+==，所以由9233r r -=⇒=得系数为33
9121()22C =
考点：二项式定理
【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
（1）求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．
（2）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．
14. 已知函数()sin 0,062f x A x A ππϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+><<
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最
高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23
PRQ π
∠=，则()y f x =的最大值是
_________.
【答案】【解析】
考点：三角函数的图象和性质及余弦定理的综合运用．
【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式和图象性质为背景,考查的是三角函数的周期及最大值最小值等有关知识和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息求出周期126
2==
π
π
T ,再利用周期确定点
)
,8(),0,2(),,2(A Q R A P -,然后运用余弦定理再建立方程
02222120cos 36236364+-++=+A A A A A 求出32=A ,从而使得问题获解.
15.已知函数213
(),
2,()24
log ,0 2.
x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 .
9
【答案】⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,43 【解析】
试题分析：
首先画出函数()x f 的图像，令()x f k =有两个不同的交点，根据图像分析，如果有两个不同的交点，
14
3
<<k . 考点：数形结合考察函数交点问题
名师点睛：对应函数的零点问题，就是函数与x 轴的交点，或可以将方程进行化简，转化为两个函数的交点问题，一般转化为两个简单，易画的函数.
16.把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙
的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{}n a ，若a n =2015，则
n =
_________.
【答案】1030 【解析】
考点：1.等差数列；2.归纳法.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【2018浙江部分学校联考】设函数()22
sin 2sin cos 6f x x x x π⎛⎫
=++- ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）若角A 满足()1f A =， a =
ABC ∆的面积为
2
，求b c +的值. 【答案】(1) ,63k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
， k Z ∈；(2) 3b c +=.
【解析】试题分析：（1）函数解析式利用三角恒等变换化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性即可求出()f x 的单调递增区间；（2）由()1f A =及()f x 的
解析式求出A 的值，再利用三角形面积公式及a =求出bc ，然后根据余弦定理即可求出b c +的值.
试题解析：（1）()1cos2cos222f x x x x =+- 1cos2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭， 令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-+≤-≤
+， k Z ∈，
得6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+， k Z ∈.
所以， ()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
， k Z ∈.
1
1
18．【2018广西贵港联考】如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，
60ABC ∠=︒， 2PA AB ==，过BD 作平面BDE 与直线PA 平行，交PC 于E
.
（1）求证： E 为PC 的中点； （2）求二面角A ED B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2
. 【解析】试题分析：
(1)由题意结合线面平行的判定定理可证得PA 平面BDE ，结合几何关系即可证得E 为PC 的中点；
(2)由题意作出二面角的平面角，结合几何关系计算可得二面角A ED B --
. 试题解析：
（1）证明：连结AC ，设AC BD O ⋂=，连接OE ，则O 为AC 的中点，且面PAC ⋂面BDE OE =， ∵PA 平面BDE ，∴PA OE ，∴E 为PC 的中点.
点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．19．【2018广西贵港联考】2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全
区前20名的概率都是1
4
，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.
（1）求该学生进入省队的概率.
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望.
【答案】（1）
47
128
；（2）
269
64
.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合对立事件概率公式可得：该学生进入省队的概率为
47 128
；
(2)由题意可知ξ的可能取值为2,3,4,5，求解相应的概率值得到分布列，结合分布列计算可得ξ的数学
13
期望为
269
64
. 试题解析：
（1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则()34
24
1333814444128
P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
∴()()
8147
11128128
P A P A =-=-
=
.
()132727269
23451632646464
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=
. 20．【2018河南名校联考】椭圆()222210x y a b a b
+=>>的右焦点为()1
2,0F ，过1F 作圆222
x y b +=的切线交y 轴于点Q ，切点N 为线段1F Q 的中点. （1）求椭圆的方程；
（2）曲线2
y x m =+与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标.
【答案】（1）22162x y +=；（2）10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【解析】试题分析：
(1)由题意可得b =， 2
6a =.则椭圆的方程为22
162
x y +=； (2)设出点的坐标，结合几何体的对称性和点差法计算可得圆心坐标为10,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
（2）由曲线2
y x m =+知曲线的图象关于y 轴对称，
又椭圆22
162
x y +=的图象也是关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上， 设圆心为()0,M t ，曲线2
y x m =+与椭圆在一、四象限交于()11,A x y ，
()22,B x y 两点，则211y x m =+， 2
22
y x m =+. 把2
x y m =-代入22162x y +=得2360y y m +--=，∴121
3
y y +=-，
又由MA MB ==
即()()2
2
221221x x y t y t -=---= ()()()()2
2
2112211
2
22y y y y t x x y y
t -+-=-+-，
∵12x x ≠，∴121213y y t +=-=-，∴1
3
t =. 所以此圆的圆心坐标为10,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
21．【2018浙江部分学校联考】已知函数()ax
f x e x =-.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）证明：当1a ≠时，存在实数0x ，使()01f x <. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
15
【解析】试题分析：（1）对()f x 求导，再分别讨论0a ≤时和0a >时的情况，从而求出()f x 的单调性；（2）依题意得()01f =，再分别讨论0a ≤， 01a <<和1a >三种情况下()f x 的单调性，从而可以证明.
试题解析：（1）∵()ax
f x e x =-，∴()'1ax
f x ae =-.
①当0a ≤时， ()'0f x <，所以()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()'0f x >得ln a x a >-，令()'0f x <得ln a
x a
<-， 所以()f x 在ln ,a a ⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增
.
四、请考生在第22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B 铅
笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑。

22.【2018河北衡水联考】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{
22
x t y t ==+（t 为参数），曲线C
的参数方程为2
{ x m
y m ==（m 为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合的极
坐标系中，圆O 的极坐标方程为()0a a ρ=>. （1）若直线l 与圆O 相切，求a 的值；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB 的值.
【答案】（1（2）【解析】试题分析：
(1)由题意得到圆的直角坐标方程和直线的一般方程，利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得
a =
；
(2)联立直线与二次曲线的方程，结合弦长公式计算可得AB 的值是. 试题解析：
（2）曲线C 的一般方程为2
y x =，代入220x y -+=得2220x x --=， ∴122x x +=， 122x x =-，
∴12AB x =-==. 23．【2018广西贵港联考】已知函数()14f x x x =---. （1）求证： ()3f x ≤； （2）解不等式()2
9f x x x >--.
【答案】（1）见解析（2）()2,4- 【解析】试题分析：
(1)由题意结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；
17
(2)将所给的不等式零点分段可得不等式的解集为()2,4-. 试题解析：
（1）证明：∵()14f x x x =---≤ ()()143x x ---=，∴()3f x ≤；
（2）解：∵()()
()()
3,1{25,14 3,4x f x x x x -<=-≤<≥，所以原不等式等价于
①2211
{
{ 3960
x x x x x x <<⇒->----< 21x ⇒-<<；
②22
1414{
{ 259340x x x x x x x ≤<≤<⇒->----< 14
{ 1414x x x ≤<⇒⇒≤<-<<； ③2244{
{ 39120x x x x x x ≥≥⇒>----<
14
{ 34
x x x ≤<⇒⇒∈∅-<<； 综合上述，原不等式的解集为()2,4-. 点睛：绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
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