【初三数学】佛山市九年级数学上(人教版)第22章二次函数检测试卷(含答案)

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数单元达标测试题
一、选择题
1.下列函数中，属于二次函数的是( )
A. y=2x-1
B. y=x2+
C. y=x2(x+3)
D. y=x(x+1)
2.若函数y＝（3﹣m）﹣x+1是二次函数，则m的值为（）
A. 3
B. ﹣3
C. ±3
D. 9
3.二次函数的对称轴是
A. 直线
B. 直线
C. y轴
D. x 轴
4.二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（）
A. a＞1
B. a＜1
C. a＞0
D. a＜0
5.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）
A. (1，3)
B. （1，-3)
C. （-1，3）
D. （-1，-3）
6.已知点A(1，y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是（）
A. 2>y1>y2
B. 2>y2 >y1
C. y1>y2>2
D. y2 >y1>2
7.已知抛物线经过和两点，则n的值为（）
A. ﹣2
B. ﹣4
C. 2
D. 4
8.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（）
A. B. 当时，顶点的坐标为
C. 当时，
D. 当时，y随x的增大而增大
9.已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）
A. x1＜﹣1＜2＜x2
B. ﹣1＜x1＜2＜x2
C. ﹣1＜x1＜x2＜2
D. x1＜﹣1＜x2＜2
10.二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（）
A. x1＝﹣1，x2＝5
B. x1＝﹣2，x2＝4
C. x1＝﹣1，x2＝2
D. x1＝﹣5，x2＝5
11.国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（）
A. B. C.
D.
12.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD 总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）
A. 18m2
B. m2
C. m2
D. m2
二、填空题
13.某长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x的关系式为________.
14.已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）．
15.抛物线y＝3（x+2）2﹣7 的对称轴是________．
16.抛物线y=-x2+15有最________值，顶点坐标是________．
17.二次函数的图象如图所示，若，.则、
的大小关系为________ .(填“ ”、“ ”或“ ”)
18.将二次函数y＝x2﹣8x+3化为y＝a(x﹣m)2+k的形式是________.
19.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________
20.如图，抛物线y=ax2和直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(－2，4),B(1,1), 则关于x的方程ax2=bx+c的解为________.
21.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是________．
22.为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是________m2.
三、解答题
23.已知抛物线y＝x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k+1的顶点在坐标轴上，求k的值.
24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；
（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．
25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).
（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);
（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
26.某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
27.设二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，求这个函数的关系式．
28.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC 以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ 的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
参考答案
一、选择题
1. D
2. B
3. C
4. B
5. A
6. A
7. B
8. D
9. A 10. A 11. B 12. C
二、填空题
13. 14. 增大15. x＝﹣2 16. 大；(0，15) 17. < 18. y＝(x﹣4)2﹣13 19. 或5 20. 21. 100 22. 300
三、解答题
23. 解：当抛物线y= x2-（2k-1）x+k2-k+1的顶点在y轴上时，
=0，
解得，k= ；
当抛物线y= x2-（2k-1）x+k2-k+1的顶点在x轴上时，
=0，
解得，k=2或k=-1，
由上可得，k的值是，2或-1
24. （1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C （0，2），
∴，
得，
∴y＝﹣x2﹣x+2＝，
∴抛物线顶点D的坐标为（﹣1，），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，顶点D的坐标为（﹣1，）；
（2）∵y＝，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C（0，2），
∴点E的坐标为（﹣2，2），
当y＝0时，0＝，得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
设直线BE的函数解析式为y＝kx+n，
，得，
∴直线BE的函数解析式为y＝﹣+ ，
当x＝0时，y＝，
设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为（0，），
∴OF＝，
∵点C（0，2），点E（﹣2，2），
∴OC＝2，CE＝2，
∴CF＝2﹣＝，
∴tan∠CEF＝，
即tan∠CEB的值是．
25. （1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2). （2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.
（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,
∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.
26. （1）解：设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得，x1＝10，x2＝20
∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，
∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；
（2）解：设每件童装降价x元，利润为y元，
y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，
即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．
27. 解：设这个函数的关系式为，
把点代入得，
解得，
所以这个函数的关系式为
28. 解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，
∴S= PB•BQ= PB•（BE+EQ）
= （6﹣t）（6+t）
=﹣t2+18，
∴S=﹣t2+18（0≤t＜6）．
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习（含答案）
一、单选题
1．下列函数中，属于二次函数的是()
A．y＝2x﹣1 B．y＝x2+1
x
C．y＝x2(x+3) D．y＝x(x+1)
2．若关于x 的函数y=（3-a ）x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围( ) A ．a≠0
B ．a≠3
C ．a ＜3
D ．a ＞3
3．若函数()2
2
122m y m x x -=--+是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，则m 的
值为（ ） A ．-2
B ．1
C ．2
D ．-1
4．抛物线y ＝（x +3）2﹣4的对称轴为（ ） A ．直线x ＝3
B ．直线x ＝﹣3
C ．直线x ＝4
D ．直线x ＝﹣4
5．将二次函数223y x x =-+化为()2
+y x m h =+的形式，结果为（ ） A ．()2
14y x =-+ B ．()2
12y x =-+ C ．()214y x =++
D ．()2
12y x =++
6．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
7．已知二次函数22()y x a b =++的顶点坐标为（2，－3），则a ，b 的值分别为（ ） A ．2，-3
B ．-2，-3
C ．2，3
D ．-2，3
8．顶点是（－3，0），开口方向、形状与函数2
13y x =
的图象相同的抛物线为 ( ) A ．21
(3)3y x =
- B ．2
1(3)3y x =+
C ．2
1(3)3
y x =-+
D ．2
1(3)3
y x =--
9．已知点()11,A y ，()22,B y 在抛物线2
(1)
2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）
A ．122y y ＞＞
B ．212y y <<
C ．122y y <<
D ．212y y <<
10．已知抛物线y ＝－(x －1)2＋4，下列说法错误的是（ ） A ．开口方向向下 B ．形状与y ＝x 2相同 C ．顶点(－1，4)
D ．对称轴是直线x ＝1
11．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+2x-3经变换后得到抛物线y=x 2-2x-3，这个变换可以是（ ）
A ．向左平移2个单位
B ．向右平移2个单位
C ．向左平移4个单位
D ．向右平移4个单位
12．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且
OA =OC ；则下列结论：①abc ＜0；②244b ac
a
-＞0；③ac -b +1=0；④OA •OB =-c a ．其中正
确的结论（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
二、填空题
13．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-
（1）若m=-3，则函数图像的对称轴是_________.
（2）对于此函数，在-1≤x≤1的范围内至少有x 值使得y≥0，则m 的取值范围是_______.
14．已知抛物线2
2y x x =+经过点1(4,)y -，2(1,)y ，则1y ______2y （填“>”，“=”，或“<”）
. 15．如图，抛物线212y x =
经过平移得到抛物线21
22
y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为____.
16．二次函数223y x x k =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是________．
三、解答题
17．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式；
(2)画出函数的图像，写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；
(3)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1. （1）当m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 为何值时，此函数是二次函数？
19．已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：
（1）请直接写出m 的值为_________． （2）求出这个二次函数的解析式．
（3）当03x <<时，则y 的取值范围为______________________________．
20．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y 本，销售单价为x 元．
（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？
21．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）经过A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点M 是直线l 上的一个动点，当点M 到点A ，点C 的距离之和最短时，求点M 的坐标； (3)在抛物线上是否存在点N ，使S ⊿ABN =4
3
S ⊿ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.
22．学以致用：问题1：怎样用长为20cm 的铁丝围成一个面积最大的矩形？
小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为5cm 的正方形时面积最大为225cm ．请用你所学的二次函数的知识解释原因．
思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为225m 且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小．
为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的结论：
在a b a …、b 均为正实数）中，若ab 为定值p
人教新版九年级上学期第22章《二次函数》单元测试卷（含答案）(1)
一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数中，是反比例函数的是( )
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝0.1x
C ．y ＝－13 D.y
x ＝2
2．反比例函数y ＝
2
2x
的图像在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限
3．若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2
x 的图像上，则代数式ab －4的值为( )
A ．－2
B ．0
C ．2
D ．－6 4．下列函数中，y 随x 的增大而减小的函数是( )
A ．y ＝－1x
B ．y ＝1x
C ．y ＝－1x (x ＞0)
D ．y ＝1
x
(x ＜0)
5．某学校要种植一块面积为100 m 2
的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一
边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图像可能是( )
6．如图，在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y ＝1
x (x ＞0)上的一个动点，过点A 作x 轴的
垂线，交x 轴于点B ，点A 运动过程中△AOB 的面积将会( )
A ．保持不变
B ．逐渐变小
C ．逐渐增大
D ．先增大后减小
7．对于反比例函数y ＝k 2
＋1
x
，下列说法正确的是( )
A ．y 随x 的增大而减小
B ．图像是中心对称图形
C ．图像位于第二、四象限
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 8．已知反比例函数y ＝－9
x
，当1＜x ＜3时，y 的最大整数值是( )
A ．－6
B ．－3
C ．－4
D ．－1
9．一次函数y ＝ax －a 与反比例函数y ＝a
x (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是
( )
10．已知A(－1，y 1)，B(2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2m
x
上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是( )
A ．m ＞0
B ．m ＜0
C ．m ＞－32
D ．m ＜－3
2
11．一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝k
x 的图像如图所示，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是
( )
A ．x ＜2
B ．x ＞5
C ．2＜x ＜5
D ．0＜x ＜2或x ＞5
12．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝－1
x 只有一个公共点，则b 的值
是( )
A ．1
B ．±1
C ．±2
D ．2
13．如图，已知双曲线y ＝k
x (x ＞0)经过矩形OABC 的边AB ，BC 的中点F ，E ，且四边形OEBF
的面积为2，则k 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．3
D ．1
14．反比例函数y ＝m
x
的图像如图所示，以下结论：
①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若点A(－1，h)，B(2，k)在图像上，则h ＜k ；④若点P(x ，y)在图像上，则点P ′(－x ，－y)也在图像上．
其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形AOBC 的一个顶点O 在坐标原点，一边OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB ＝45，反比例函数y ＝48
x 在第一象限内的图像经过点A ，与BC 交于
点F ，则△AOF 的面积等于( )
A ．30
B ．40
C ．60
D ．80
16．定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b （b ＞0），－a
b （b ＜0）.例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝4
5，则函数y ＝2⊕x(x
≠0)的图像大致是( )
A B C D
二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)
17．如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，直线y ＝1
2x －1
经过点C 交x 轴于点E ，双曲线y ＝k
x
经过点D ，则k 的值为 ．
18．如图，过点C(2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝k
x
(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是 ．
19．如图，在函数y ＝8
x (x ＞0)的图像上有点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1，点P 1的横坐标为2，
且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＝ ，S n ＝ (用含n 的代数式表示)．
三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)已知反比例函数的图像过点A(－2，2)．
(1)求函数的表达式；
(2)y 随x 的增大而如何变化？
(3)点B(－4，2)，点C(3，－4
3)和点D(22，－2)哪些点在图像上？
21．(本小题满分9分)已知反比例函数y ＝
k －1
x
的图像的两个分支分别位于第一、三象限． (1)求k 的取值范围；
(2)若一次函数y ＝2x ＋k 的图像与该反比例函数的图像有一个交点的纵坐标是4，试确定一次函数与反比例函数的表达式，并求当x ＝－6时，反比例函数y 的值．
22．(本小题满分9分)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝n
x 的图像在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D.若OB ＝3，OD ＝6，△AOB
的面积为3.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)直接写出当x ＞0时，kx ＋b －n
x
＜0的解集．
解：
23．(本小题满分9分)一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB ，BC 为线段，CD 为曲线的一部分)．
(1)分别求出线段AB 和曲线CD 的函数表达式；
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？
解： 24．(本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝m
x (x ＞0)的图像经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图像与该反
比例函数图像的一个公共点．
(1)直接写出D 点的坐标，并求反比例函数的表达式；
(2)连接
人教新版九年级上学期第22章《二次函数》单元测试卷（含答案）(1)
一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数中，是反比例函数的是( )
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝0.1x
C ．y ＝－13 D.y
x ＝2
2．反比例函数y ＝
2
2x
的图像在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限
3．若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2
x 的图像上，则代数式ab －4的值为( )
A ．－2
B ．0
C ．2
D ．－6 4．下列函数中，y 随x 的增大而减小的函数是( )
A ．y ＝－1x
B ．y ＝1x
C ．y ＝－1x (x ＞0)
D ．y ＝1
x
(x ＜0)
5．某学校要种植一块面积为100 m 2
的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一
边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图像可能是( )
6．如图，在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y ＝1
x (x ＞0)上的一个动点，过点A 作x 轴的
垂线，交x 轴于点B ，点A 运动过程中△AOB 的面积将会( )
A ．保持不变
B ．逐渐变小
C ．逐渐增大
D ．先增大后减小
7．对于反比例函数y ＝k 2
＋1
x
，下列说法正确的是( )
A ．y 随x 的增大而减小
B ．图像是中心对称图形
C ．图像位于第二、四象限
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 8．已知反比例函数y ＝－9
x
，当1＜x ＜3时，y 的最大整数值是( )
A ．－6
B ．－3
C ．－4
D ．－1
9．一次函数y ＝ax －a 与反比例函数y ＝a
x (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是
( )
10．已知A(－1，y 1)，B(2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2m
x
上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是( )
A ．m ＞0
B ．m ＜0
C ．m ＞－32
D ．m ＜－3
2
11．一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝k
x 的图像如图所示，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是
( )
A ．x ＜2
B ．x ＞5
C ．2＜x ＜5
D ．0＜x ＜2或x ＞5
12．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝－1
x 只有一个公共点，则b 的值
是( )
A ．1
B ．±1
C ．±2
D ．2
13．如图，已知双曲线y ＝k
x (x ＞0)经过矩形OABC 的边AB ，BC 的中点F ，E ，且四边形OEBF
的面积为2，则k 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．3
D ．1
14．反比例函数y ＝m
x
的图像如图所示，以下结论：
①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若点A(－1，h)，B(2，k)在图像上，则h ＜k ；④若点P(x ，y)在图像上，则点P ′(－x ，－y)也在图像上．
其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形AOBC 的一个顶点O 在坐标原点，一边OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB ＝45，反比例函数y ＝48
x 在第一象限内的图像经过点A ，与BC 交于
点F ，则△AOF 的面积等于( )
A ．30
B ．40
C ．60
D ．80
16．定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b （b ＞0），－a
b （b ＜0）.例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝4
5，则函数y ＝2⊕x(x
≠0)的图像大致是( )
A B C D
二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)
17．如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，直线y ＝1
2x －1
经过点C 交x 轴于点E ，双曲线y ＝k
x
经过点D ，则k 的值为 ．
18．如图，过点C(2，1)作AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，点A ，B 都在直线y ＝－x ＋6上．若双曲线y ＝k
x
(x ＞0)与△ABC 总有公共点，则k 的取值范围是 ．
19．如图，在函数y ＝8
x (x ＞0)的图像上有点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1，点P 1的横坐标为2，
且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＝ ，S n ＝ (用含n 的代数式表示)．
三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)已知反比例函数的图像过点A(－2，2)．
(1)求函数的表达式；
(2)y 随x 的增大而如何变化？
(3)点B(－4，2)，点C(3，－4
3)和点D(22，－2)哪些点在图像上？
21．(本小题满分9分)已知反比例函数y ＝
k －1
x
的图像的两个分支分别位于第一、三象限． (1)求k 的取值范围；
(2)若一次函数y ＝2x ＋k 的图像与该反比例函数的图像有一个交点的纵坐标是4，试确定一次函数与反比例函数的表达式，并求当x ＝－6时，反比例函数y 的值．
22．(本小题满分9分)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝n
x 的图像在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D.若OB ＝3，OD ＝6，△AOB
的面积为3.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)直接写出当x ＞0时，kx ＋b －n
x
＜0的解集．
解：
23．(本小题满分9分)一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB ，BC 为线段，CD 为曲线的一部分)．
(1)分别求出线段AB 和曲线CD 的函数表达式；
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？
解：
24．(本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反
比例函数y ＝m x
(x ＞0)的图像经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图像与该反比例函数图像的一个公共点．
(1)直接写出D 点的坐标，并求反比例函数的表达式；
(2)连接
人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）(7)
一．选择题
1．二次函数y ＝3（x ﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A ．图象的开口向下
B ．图象的顶点坐标是（1，2）
C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
D ．图象与y 轴的交点坐标为（0，2）
2．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）
A．a＝4
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
3．若抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，则m的值为（（）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．无法确定
4．已知点（﹣3，y1），（5，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，点（x0，y0）是函数图象的顶点．则（）
A．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是1＜x0＜5
B．当y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是x0＞5
C．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜﹣3
D．当y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是x0＜1
5．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 6．抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是（）
A．开口向下B．对称轴是y轴
C．都有最低点D．y随x的增大而减小
7．已知抛物线y＝﹣3kx2+6kx+2（k＞0）上有三点（﹣，y1）、（，y2）、（3，y3），则（）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）
A．a＞0
B．abc＞0
C．2a+b＜0
D．ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根
9．若关于x的方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则a的取值范围为（）
A．a＞0 B．﹣2＜a＜﹣1 C．﹣＜a＜﹣1 D．﹣＜a＜﹣2 10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac ＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤
二．填空题
11．抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位得到y＝7x2+c，则c的值为．
12．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（4，3），且对称轴是x＝1，则关于x的方程ax2+bx+c＝3的解为．
13．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是．
14．已知，抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，则m的取值范围是．15．若函数y＝（m﹣）是二次函数，则m＝．
16．如图，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C（m，0）是线段AB上一动点，抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1，经过点A，C，顶点为D，抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，直线AD与直线BE交于点F，当点C从A点运动至B点时，点F在二次函数y ＝ax2+bx+c的图象上运动
（1）二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为；
（2）当AF⊥BF时，点F的坐标为．
三．解答题
17．已知：二次函数y＝x2+px+q，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝﹣5．（1）求这个二次函数的解析式．
（2）求这个二次函数的顶点坐标和对称轴．
18．根据下列条件求二次函数解析式
（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，﹣1），B（1，0），C（﹣1，2）；（2）已知抛物线顶点P（﹣1，﹣8），且过点A（0，﹣6）；
19．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；
（2）作出该抛物线的简图（自建坐标系）；
（3）在抛物线对称轴上求一点E，使EC+EB最小．
21．已知二次函数y＝x2+3x+2m﹣3的图象与x轴只有一个交点．
（1）求m的值；
（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品牌玩具上x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
23．平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2﹣x+c交x轴于A，B两点（如图），顶点是C，对称轴交x轴于点D，OB＝2OA，
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限抛物线上一点，连接ED并延长交抛物线于点F，连接EC，FC，求证：∠ECF＝90°；
（3）如图3，在（2）问条件下，M，N分别是线段OA，CD延长线上一点，连接MN，CM，过点C作CQ⊥MN于Q，CQ交DM于点P，延长FE交MC于R，若∠NMD ＝2∠DMC，DN+BO＝MP，MR：RC＝7：3，求点F坐标．
24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．
（1）求A，C两点的坐标．
（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；
B、顶点坐标是（1，2），正确；
C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；
D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；
故选：B．
2．解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b
∴对称轴为直线x＝＝2
∴a＝4，故A选项正确；
当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8
∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；
当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0
即1+4+b＜0
∴b＜﹣5，故C选项不正确；
∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选：C．
3．解：∵抛物线y＝x2﹣mx+9的顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝m2﹣36＝0，
∴m＝±6，
故选：C．
4．解：A选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴同侧时，关系不成立；
B选项时，函数有最小值，图象开口向上，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；C选项时，函数有最大值，图象开口向下，若已知两点在对称轴异侧时，关系不成立；D选项时，函数有最大值，图象开口向下，已知两点不论在对称轴的同侧还是异侧都成立．
故选：D．
5．解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3．
故选：A．
6．解：抛物线y＝2x2，y＝﹣x2，y＝x2共有的性质是顶点坐标是都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
7．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线开口向下，点（﹣，y1）到直线x＝1的距离最大、点（，y2）到直线x＝1的距离最小，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
8．解：A、抛物线开口向下，则a＜0，故错误；
B、杭虎对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，则abc＜0，故错误；
C、函数对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，故错误；
D、抛物线与x轴有2个交点，故ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，正确；
故选：D．
9．解：△＝b2﹣4ac＞0，即：9+4a＞0，解得：a，
两个不相等实数根均大于﹣1且小于0，则x＝﹣1时，y＜0，x＝0时，y＜0，
即：a+3﹣1＜0，0+0﹣1＜0，解得：a＜﹣2，
故选：D．
10．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①错误；
②由于对称轴可知：＜1，
∴2a+b＞0，故②正确；
③由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确；
⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．解：抛物线y＝7x2+3向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为抛物线y＝7x2+1．当x＝0时，y＝1，
故答案为1．
12．解：对称轴是x＝1，
∴点（4，3）关于对称轴对称的点为（﹣2，3），
∴ax2+bx+c＝3的解可以看作y＝ax2+bx+c与直线y＝3的交点问题，
∴方程ax2+bx+c＝3的解为x＝﹣2或x＝4；
故答案为x＝﹣2或x＝4；
13．解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+4是顶点式，
∴抛物线的顶点坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
14．解：∵抛物线y＝（1﹣m）x2+2x+1的开口向下，
∴1﹣m＜0，
解得m＞1，
故答案为m＞1．
15．解：∵函数y＝（m﹣）是二次函数，
∴m2＝2，且m﹣≠0，
解得：m＝﹣．
故答案为：﹣．
16．解：（1）设点C（m，0），﹣4≤m≤4，
∵抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1经过点A，C，顶点为D，
∴y1＝﹣（x+4）（x﹣m），顶点D（），
设直线AD表达式为y＝kx+n，
则，解得，
∴直线AD表达式为y＝，①
∵抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，
同理可求得直线BF的表达式为，②
由①②，解得交点F为（﹣m，），
设点F（x，y），即x＝﹣m，y＝，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为．
（2）设点F（x，y），则
当AF⊥BF时，有AF2+BF2＝AB2，
∴（x+4）2+y2+（x﹣4）2+y2＝64，
解得y＝2或y＝0（舍去），
∴x＝，
∴点F的坐标为（，2）或（，2）．
三．解答题（共8小题）
17．解：（1）将x＝1时，y的值为4，当x＝2时，y的值为﹣5代入得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣12x+15；
（2）y＝x2﹣12x+15＝（x﹣6）2﹣21，
∴二次函数的顶点坐标是（6，﹣21），对称轴为x＝6．18．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣1；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣8，
把（0，﹣6）代入得a﹣8＝﹣6，解得a＝2，
∴抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣6＝2x2+4x﹣4．19．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b；
（2）m＝﹣，n＝，
∴n＝，
∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，
对称轴x＝﹣，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴﹣4≤x＝﹣≤0，
当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，
当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，
当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10，
∵4≤b≤8，
∴b＝6；
当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，
∴b＝2或b＝18，
∵2≤b≤4，
∴b＝2；
综上所述b＝2或b＝6；
20．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣1），
将点C的坐标代入上式得：8＝a（2+2）（2﹣1），
解得：a＝2，
故抛物线的表达式为：y＝2（x+2）（x﹣1）＝2x2+2x﹣4；
（2）抛物线图象如下图：。