2021届广东省深圳市高三下学期二模数学试题(解析版)

2021届广东省深圳市高三下学期二模数学试题
一、单选题
1．已知{|7}A x x =∈<N ，{5,6,7,8}B =，则集合A B 中的元素个数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C
【分析】确定集合A 中元素，求得并集可得元素个数． 【详解】{0,1,2,3,4,5,6}A =，{0,1,2,3,4,5,6,7,8}A B =，共9个元素．
故选：C ．
2．已知复数1z =（i 为虚数单位），设z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）
A ．
B
C ．2
D ．3
【答案】D
【分析】写出共轭复数，然后由复数乘法计算．
【详解】由已知1z =，所以22(1)(1)13z z ⋅==+=． 故选：D ．
3．五国际劳动节放假三天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ） A ．
1
6
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】B
【分析】利用乘法原理计算出他们在同一天去和总的方法，再利用古典概型概率计算公式可得答案.
【详解】甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法，
所以一共有326⨯=种方法，他们在同一天去共有2种， 所以他们在同一天去的概率为2163
=. 故选：B.
4．函数()23
2
sin log x y x x π=⋅⋅的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】分析函数()23
2sin log x y x x π=⋅⋅的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值
符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设()()()23
23
2
2sin log sin log f x x x x x x x ππ=⋅⋅⋅，该函数的定义域为
{}0x x ≠，
()()()()()2
32322sin log sin log f x x x x x x x f x ππ-=--⋅-=-⋅=-，
函数()f x 为奇函数，排除AC 选项；
当01x <<时，0x ππ<<，()sin 0x π>，则()0f x <，排除D 选项. 故选：B.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 5．已知1cos 3x =
，则sin 22x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．
7
9 B ．79
-
C ．
89
D ．89
-
【答案】A
【分析】利用二倍角的余弦公式以及诱导公式可求得结果.
【详解】2
217sin 2cos 212cos 12239
x x x π⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.
6．设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“//l β”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分性及必要性的概念对线面，线线关系进行判断即可.
【详解】充分性：直线l α⊂，若1l αβ⋂=，使1//l l ，则//l β，但,αβ相交，故“//l β”是“//αβ”的不充分条件；
必要性：直线l α⊂，且//αβ时，//l β，故“//l β”是“//αβ”的必要条件； 故“//l β”是“//αβ”的必要不充分条件， 故选：B
7．1 F 、2F 分别为双曲线2
2
:12
y C x -=的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右
两支曲线分别交于A 、B 两点，若2
l F B ⊥，则22F A F B ⋅=（ ）
A ．4-
B ．4+
C ．6-
D ．6+
【答案】C
【分析】利用勾股定理结合双曲线的定义可求得2BF ，结合平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】在双曲线C 中，1a =，b =
c =()
1F 、)
2
F ，
因为直线l 过点1F ，由图可知，直线l 的斜率存在且不为零，
2l F B ⊥，则12F BF 为直角三角形，可得222
121212BF BF F F +==，
由双曲线的定义可得122BF BF -=，所以，
()
2
22
1212121242122BF BF BF BF BF BF BF BF =-=+-⋅=-⋅，
可得124BF BF ⋅=， 联立121
224BF BF BF BF ⎧-=⎪
⎨
⋅=⎪⎩，解得251BF =，
因此，()
(
)
2
2
22222251625F A F B F B BA F B F B BA F B ⋅=+⋅=+⋅==-.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为（ ）
A ．
33
4
B ．1
C ．
32
D ．
34
【答案】A
【分析】记第n 个正三角形的边长为n a ，第1n +个正三角形的边长为1n a +，根据n a 与
1n a +的关系判断出{}n a 为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求.
【详解】设第n 个正三角形的边长为n a ，则1n +个正三角形的边长为1n a +， 由条件可知：1243a =， 又由图形可知：22
2
1
12122cos1203333n n n n n a
a a a a +⎛⎫⎛⎫
=+-⨯⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以
2
21
1,03
n n n a a a +=>， 所以
13
n n a a +=，所以{}n a 是首项为2433 所以1
2433n n a -=⨯，所以11
3n n a -=，所以103a =，
所以最小的正三角形的面积为：1
333332=⎝， 故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算.
二、多选题
9．设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（ ）
A ．l 与C 可能相离
B ．l 不可能将
C 的周长平分
C ．当1k =时，l 被C
D ．l 被C 截得的最短弦长为4 【答案】BD
【分析】求出直线l 所过定点的坐标，可判断A 选项的正误；假设假设法可判断B 选项的正误；利用勾股定理可判断CD 选项的正误.
【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；
对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；
对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为
2
d =
，
所以，直线l 被C 截得的弦长为=C 选项错误；
对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为
1d =
≤，
所以，直线l 被C 截得的弦长为4≥，D 选项正确. 故选：BD.
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式12AB x =-.
10．为方便顾客购物，某网上购鞋平台统计了鞋号y （单位：码）与脚长x （单位：毫米）的样本数据(),i i x y ，发现y 与x 具有线性相关关系，用最小二乘法求得回归方程为0.210y x =-，则下列结论中正确的为（ ） A ．回归直线过样本点的中心()
,x y B ．y 与x 可能具有负的线性相关关系
C ．若某顾客的鞋号是40码，则该顾客的脚长约为250毫米
D ．若某顾客的脚长为262毫米，在“不挤脚”的前提下，应选择42码的鞋 【答案】AC
【分析】利用回归直线过样本中心点可判断A 选项的正误；利用回归直线的斜率可判断B 选项的正误；将40y =代入回归直线方程可判断C 选项的正误；将262x =代入回归直线方程，可判断D 选项的正误.
【详解】对于A 选项，回归直线过样本点的中心()
,x y ，A 选项正确； 对于B 选项，y 与x 具备正相关性，B 选项错误；
对于C 选项，在回归直线方程中，令40y =，可得0.21040x -=，可得250x =，C 选项正确；
对于D 选项，在回归直线方程中，令262x =，则0.22621042.4y =⨯-=， 若某顾客的脚长为262毫米，在“不挤脚”的前提下，应选择43码的鞋，D 选项错误. 故选：AC.
11．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t 分钟，当15t =时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A ．摩天轮离地面最近的距离为4米
B ．若旋转t 分钟后，游客距离地面的高度为h 米，则60cos 6815h t π⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
C ．若在1t ，2t 时刻，游客距离地面的高度相等，则12t t +的最小值为30
D ．1t ∃，[]20,20t ∈，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 【答案】BC
【分析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A ；求出t 分钟后，转过的角度，即可求出h 关于t 的表达式，即可判断B ；由余弦型函数的性质可求出12t t +的最小值即
可判断C ；求出h 在[]0,20t ∈上的单调性，结合当20t =时，9890h =>即可判断D.
【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为1281208-=米，故A 不正确；
t 分钟后，转过的角度为
15
t π
，则6060cos
860cos
6815
15
h t t π
π
=-+=-+，B 正确；
60cos
6815
h t π
=-+周期为230
15
π
π
=，由余弦型函数的性质可知，若12t t +取最小值，
则[]
12,0,30t t ∈，又高度相等，则12,t t 关于15t =对称，则12
152
t t +=，则1230t t +=； 令015
t π
π≤
≤，解得015t ≤≤，令215
t π
ππ≤
≤，解得1530t ≤≤，
则h 在[]0,15t ∈上单调递增，在[]15,20t ∈上单调递减，当15t =时，max 128h =， 当20t =时，60cos 2068989015
h π
=-⨯+=>，所以90h =在[]0,20t ∈只有一个
解； 故选:BC.
【点睛】关键点睛:
本题的关键是求出h 关于t 的表达式，结合三角函数的性质进行判断.
12．设函数()x
f x e ex =-和()()()2
1
ln 122
g x x kx k x k =-+-+
∈R ，其中e 是自然对数的底数()2.71828e =，则下列结论正确的为（ ）
A ．()f x 的图象与x 轴相切
B ．存在实数0k <，使得()
g x 的图象与x 轴相切 C ．若1
2
k =
，则方程()()f x g x =有唯一实数解 D ．若()g x 有两个零点，则k 的取值范围为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【答案】ACD
【分析】通过导数的几何意义分别判断函数()f x ，()g x 与x 轴的相切情况；1
2
k =
时，求得()g x 的单调区间及最值，判断方程()()f x g x =是否有唯一实数解；对k 分类讨论，求得()g x 有两个零点时应满足的条件，从而判断选项正误.
【详解】()x f x e e '=-，若()f x 的图象与x 轴相切，则()01x
f x e e x '=-=⇒=，
又(1)0f =，则切点坐标为(1,0)，满足条件，故A 正确；
()()212(12)1(1)(12)
212kx k x x kx g x kx k x x x
-+-++-'=-+-==
，()0x >， 当0k <时，易知()0g x '>恒成立，不存在为0的解，故不存在实数0k <，使得()
g x 的图象与x 轴相切，B 错误；
由上所述，()f x 在(0,1)x ∈上单减，(1,)x ∈+∞上单增，则()(1)0f x f ≥=； 若12k =
，()211ln 22g x x x =-+，()(1)(1)x x g x x
+-'=，()g x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()(1)0g x g ≤=，故方程()()f x g x =有唯一实数解1x =，故C
正确；
()(1)(12)
x kx g x x
+-'=
，()0x >，
当0k ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 单增，不存在2个零点，故舍去； 当0k >时，()g x 在1
(0,
)2k 上单增，在1(,)2k
+∞上单减，且0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()g x →-∞，故若()g x 有两个零点，则应使最大值102g k ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
即()21111111ln ()12ln 202222242g k k k k k k k k ⎛⎫=-+-+=-->
⎪⎝⎭
， 令11
()ln 242
h k k k =--，易知()h k 单调递减，且1()02h =，
因此()0h k >的解集为1
(0,)2
k ∈，D 正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：利用导数来研究函数的单调性，最值问题，把方程的根的问题，零点问题转化为图像交点问题，利用导数求得最值，从而得证.
三、填空题
13．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为
1
2
，则C 的方程可以为______． 【答案】22
143
x y +=
【分析】设椭圆的方程为22221,0x y a b a b +=>>，由离心率可得223
4
b a =，从而可写出
正确答案.
【详解】解：因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为22
221,0x y a b a b +=>>，
因为离心率为12，所以12c a =，所以2222214
c a b a a -==，则223
4b a =， 故答案为: 22143
x y +=.
14．设恒等式()2345
5
01234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则03a a +=
____________． 【答案】79-
【分析】利用()5
12x -的展开式进行求解即可；
【详解】()512x -的展开式为：()152r
r r
r T C x +=-；
()0
001521T C x =-=，0a 的对应项为：01a =；
()3
3
3345280T C x x =-=-，3a 的对应项为：380a =-；
则有03a a +=79- 故答案为：79-
【点睛】关键点睛：先得出()512x -的展开式为：()152r
r r r T C x +=-，然后找出0a 和3
a 所对应的项；主要考察二项式的定理
15．若在母线长为5，高为4的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为______________． 【答案】
15
2
π． 【分析】球是圆锥的内切球时，剩余部分体积最小．求出球的半径即可得． 【详解】如图是圆锥的轴截面，它的内切圆是圆锥的内切球的大圆．设半径为R ，
易知母线长为5，高为4时，底面半径为r =
3=，
因此11
64(556)22R ⨯⨯=++，32
R =， 所以剩余部分体积的最小值为
3
2321414315
34333322V r h R πππππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭
．
故答案为：
15
2
π．
16．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若
||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．
【答案】232
【分析】根据题意120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，不妨设PCB α∠=，故
,,3
2
6
CBP ACP CAP π
π
π
ααα∠=
-∠=
-∠=-
，进而得,63ππα⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭，所以在BCP 和ACP △中，由正弦定理得
sin sin 3BP PC
α
πα=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故sin sin 2sin sin 36πααλππαα⎛⎫
- ⎪
⎝⎭=+⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，在结合三角恒等变换化
简整理求函数最值即可.
【详解】根据题意, 点P 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120︒, 所以120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒， 设PCB α∠=，
所以在BCP 和ACP △中，
,,3
2
3
6
CBP ACP CAP ACP π
π
π
π
ααα∠=
-∠=
-∠=
-∠=-
，且均为锐角，
所以,63ππα⎛⎫∈
⎪⎝
⎭
所以由正弦定理得：
sin sin 3BP
PC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PC
ππαα=
⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭， 所以sin sin 3BP PC α
πα=⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫
- ⎪⎝⎭=⎛
⎫- ⎪⎝
⎭， 因为||||||PA PB PC λ+=
所以333sin cos sin sin cos 44sin 2233sin sin sin cos sin cos 3644
πααααααλππαααααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭=+==
⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3
34
113
2sin 23
sin cos 4
ααα=-=---
，
因为,63ππα⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，所以22,
33ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以(
2sin 230,23α⎤-∈-⎦， 所以
)
31232,2sin 23
α⎡-∈++∞
⎣- 故实数λ的最小值为232+. 故答案为：232+
【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.
四、解答题
17．在①2122b a a =+，②28b a =，③35T a =这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并作出解答．
问题：已知数列{}n a 的前n 项和2
21n S n n =-，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
13b a =，且 ，判断是否存在唯一的()*k k ∈N ，使得1k b >，且11k b +<．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】①；不存在，理由见解析；（②；存在，3k =，理由见解析；或③；不存在，理由见解析；均可）
【分析】选择三个条件中的一个，由2
21n S n n =-求得222n a n =-，配合条件求得等
比数列{}n b 的通项公式，根据单调性判断是否满足题设条件即可. 【详解】若选择条件①，由题知
212[21(1)(1)]22221n n n S n n n a S n n ------==-=-，2n ≥，
当1n =时，1121120a S ==-=，满足条件，则222n a n =-，
2318,16a a ==，故1316b a ==，212238129a b b a =⇒==+，
则数列{}n b 是以16为首项，
1916
为公比的等比数列，1
1916()16n n b -=⋅，
易知n b 单增，1161n b b ≥=>，故不存在唯一的()
*
k k ∈N ，使得1k b >，且11k b +<． 若选择条件②，由题知2
12[21(1)(1)]22221n n n S n n n a S n n ------==-=-，
2n ≥，
当1n =时，1121120a S ==-=，满足条件，则222n a n =-，
132816,6b a b a ====，数列{}n b 是以16为首项，38
为公比的等比数列，
13
16()8
n n b -=⋅，
易知n b 单减，2
33916()184b =⋅=
>，3432716()1832
b =⋅=<，故存在唯一的3k =，使得1k b >，且11k b +<．
若选择条件③，由题知2
12[21(1)(1)]22221n n n S n n n a S n n ------==-=-，
2n ≥，
当1n =时，1121120a S ==-=，满足条件，则222n a n =-，1316b a ==，
设等比数列{}n b 的公比为q ，则1
16n n b q
-=，
23516161612T q q a =++==，解得12q =-，11
16()2
n n b -=-，
当6n ≥时，1611
16()122
n n b b -=⋅≤=<，
又1234561
16,8,4,2,1,2
b b b b b b ==-==-==-，
则存在1k =或3，使得1k b >，且11k b +<，即不存在唯一的()
*
k k ∈N ，使得1k b >，
且11k b +<．
【点睛】关键点点睛：求得数列{}n a 的通项，根据选择的条件求得数列{}n b 的通项，从而利用单调性判断数列是否满足题设条件.
18．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设
222sin sin sin sin A B C A B +-=⋅．
（1）求C ； （2）若3cos 5
B =，D 是边B
C 上一点，且4C
D BD =，ACD △的面积为7
5，求AC ．
【答案】（1）
4
π
；（2）2 【分析】（1）根据正弦定理将角化为边，在利用余弦定理求得cos C ，从而求得C .
（2）由3cos 5B =
求得4sin 5B =，sin sin()10
A B C =+=，根据正弦定理求得
sin sin 8A a b B =
⋅=，又4510
CD a ==，然后利用三角形面积公式，求得AC 的长.
【详解】（1）由正弦定理知，222a b c +-=，
则由余弦定理知，222cos 22
a b c C ab +-==
， 在ABC 中，(0,)C π∈，故4
C π
（2）由3cos 5B =
，知4sin 5B =，43sin sin()525210
A B C =+=⨯+⨯=
，
由正弦定理知，sin sin 8
A a b
B =
⋅=，又4CD BD =，
则472510
CD a b =
=，21172277sin 22102205
ACD
S
CD AC C b b b =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯==， 则2AC b ==
【点睛】关键点点睛：在解三角形过程中，利用正弦定理及余弦定理进行边角互化，从而根据条件解得未知量.
19．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，//AB CD ，2DC =，13AA =，
1AB BC AD ===，点E 和F 分别在侧棱1AA 、1CC 上，且11A E CF ==．
（1）求证：//BC 平面1D EF ；
（2）求直线AD 与平面1D EF 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（221
. 【分析】（1）分别取1D F 、CD 的中点N 、M ，证明四边形AENM 、ABCM 为平行四边形，可得出//EN AM ，//AM BC ，利用平行线的传递性结合线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，平面ABCD 内垂直于AB 的直线为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线AD 与平面1D EF 所成角的正弦值.
【详解】（1）分别取1D F 、CD 的中点N 、M ，连接AM 、MN 、EN ，如图所示：
M 、N 分别为CD 、1D F 的中点，则MN 为梯形1CFD D 的中位线，
所以，11////MN CC DD ，且有()111
22
MN CC DD =
+=， 11A E =，11//AA DD ，所以，2AE MN ==，且//AE MN ，
所以，四边形AENM 为平行四边形，故//EN AM ，
M 为CD 的中点，则1
2
CM CD AB =
=，因为//AB CD ，则//CM AB ， 所以，四边形ABCM 为平行四边形，则//AM BC ，故//BC EN ，
BC ⊄平面1D EF ，EN ⊂平面1D EF ，因此，//BC 平面1D EF ；
（2）以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，平面ABCD 内垂直于AB 的直线为y 轴，1AA 为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()0,0,0A 、1322D ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭、113,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、()0,0,2E 、33,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
设平面1D EF 的法向量为(),,m x y z =，132AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，113
,122D E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，()12,0,2D F =-，
由1
100m D E m D F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得13022220
x y z x z ⎧--=⎪⎨⎪-=⎩
，令3x =(
3,3m =-，
321
cos ,77
AD m AD m AD m
⋅-<>=
=
=-⋅
因此，直线AD 与平面1D EF 所成角的正弦值为
21
7
.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h
l
θ=
（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.
20．已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1． （1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X ，求X 的期望和方差； （2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X 服从二项分布(),B n p ，那么当n 比较大时，可视为X 服从正态分布(
)2
,N u σ
．任意正态分布都可变换为标准
正态分布（0μ=且1σ=的正态分布），如果随机变量()2,Y
N u σ，那么令
Y Z μ
σ
-=
，则可以证明()0,1Z
N ．当()0,1Z N 时，对于任意实数a ，记
()()a P Z a φ=<．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布
对应的概率值．例如当0.16a =时，由于0.160.10.06=+，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是()0.16φ的值． （i ）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
（ii ）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
【答案】（1）随机变量X 的期望是1000，方差是900；（2）（i ）0.5793；（ii ）阅览室至少还要增加22个座位.
【分析】（1）根据随机变量X 服从二项分布，结合n =10000，p =0.1，代入公式求解； （2）（i ）由于（1）中的二项分布n 值较大，可以认为随机变量X 服从正态分布，由
()1000
0,130
X N -，先求得 ()()99410.2p X ϕ<=-，再由()()
9941994p X p X ≥=-<求解； （ii ）由表可得：()0.530.7019ϕ=，易得()1015.90.7019p X <=求解. 【详解】（1）由题意得：随机变量X 服从二项分布，其中n =10000，p =0.1， 则()()1000,(1)10000.10.9900E X NP D X np p ===-=⨯⨯=， 所以随机变量X 的期望是1000，方差是900；
（2）（i ）由于（1）中的二项分布n 值较大，所以可以认为随机变量X 服从正态分布， 由（1）知()1000,30,1000,900X
N μσ==，则
()1000
0,130
X N -，
()()10009940.20.230X p X p ϕ-⎛⎫
<=<-=-
⎪⎝⎭
， 由标准正态分布的性质可知 ()()0.210.2φφ-=-， 所以 ()()99410.2p X ϕ<=-，
所以()()()99419940.20.5793p X p X ϕ≥=-<==， 故在晚自习时间阅览室座位不够用的概率是0.5793；
（ii ）查表可得：()0.530.7019ϕ=，则10000.530.701930X p -⎛⎫
<=
⎪⎝⎭
， 即()1015.90.7019p X <=，
而()()100010150.50.50.69150.730X p X p ϕ-⎛⎫
<=<==<
⎪⎝⎭
， 故座位数至少要1016个，
由于1016-994=22，则阅览室至少还要增加22个座位.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是理解正态分布于标准正态分布的转化：
()()Y p Y M P a a μφσ-⎛⎫
<=<= ⎪⎝⎭
.
21．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，P 是直线2x =-上的动点，过P 作两条相异直线1l 和2l ，其中1l 与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，2l 与C 交于M 、N 两点，记1l 、2l 和直线OP 的斜率分别为1 k 、2k 和3k ． （1）当P 在x 轴上，且A 为PB 中点时，求1k ；
（2）当AM 为PBN 的中位线时，请问是否存在常数μ，使得312
11
k k k μ+=？若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）123
k =
；（2）存在2μ=-满足条件，理由见解析. 【分析】（1）设出直线1l 的方程，然后联立直线1l 与抛物线的方程，得到关于,A B y y 的韦达定理形式，再根据A 为PB 的中点，得到,A B y y 的关系，结合韦达定理可得关于1k 的方程，由此求解出结果；
（2）根据已知条件将12,k k 先表示为坐标形式，然后根据AM 为中位线得到,A B y y 以及,M N y y 的关系，结合抛物线方程得到,A M y y 所满足的方程，由此确定出,A M y y 的关
系，即可计算出12
11k k +关于P y 的表示，再结合P 点坐标可求解出3k ，则μ的值可确
定.
【详解】（1）由条件知()2,0P -且10k ≠，设()11
:2l y k x =+，所以()12
24y k x y x
⎧=+⎨
=⎩，
消去x 可得21
4
80y y k -
+=，所以14,8A B A B y y y y k +==，
又因为A 为PB 中点，所以2P B A y y y +=，所以2B A y y =，
所以2
1
43,28A A y y k ==，所以2
1443k ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以123k =； （2）设()2
222,,,,,,,,2,444
4N
A B M
A B M N y y y y A y B y M y N y P a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以
122444A B A B A B A B A B y y y y k y y x x y y --=
==-+-，222
4
44
M N M N N M M N M N y y y y k y y x x y y --===-+-，
所以121144
M N
A B y y y y k k +++=+，
因为AM 为PBN 的中位线，所以A 为PB 的中点，M 是PN 的中点，
所以2,22P B B A x x x x +-+==即2
21
21442
B
A y y -+=，即2211224
A B y y =-+， 又22P B B A y y a y y ++==，所以2B A y y a =-， 所以()22112224
A A y y a =-+-，所以22
2480A A y ay a -+-=①；
又因为2,22P N N M
x x x x +-+==即2
21
21442
N M y y -+=，即2211224
M N y y =-+， 22P N N
M y y a y y ++=
=，所以2N M y y a =-， 所以()22112224M M y y a =-+-，所以2
22480M M
y ay a -+-=②；
由①②可知：,A M y y 是满足方程22
2480y ay a -+-=的两个根，
所以2A M y y a +=，
所以
()()1222114444
A A M M M N A
B y y a y y a y y y y k k +-+-+++=+=+， 所以()1232116244
A M y y a a a
a k k +--+===， 又3
122P P y a k a x =
==--，所以312
11
2k k k +=-，所以2μ=-， 所以存在常数2μ=-使得312
11
k k k μ+=成立. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于点坐标设法以及对于中位线的分析，利用抛物线方程设出点的坐标，根据中位线得到点的坐标之间的关系，通过,A M 的纵
坐标所满足方程的特点，确定出,A M 纵坐标的关系，故12
11
k k +与3k 的关系可分析出.
22．已知定义在R 上的函数()()()2
cos 2x
f x x a x a e
a -=++-∈R ．
（其中常数e 是自然对数的底数， 2.71828e =）
（1）当2a =时，求()f x 的极值；
（2）（i ）若()f x 在[]0,π上单调递增，求实数a 的取值范围；
（ii ）当*n ∈N 时，证明：()1111
42tan n k n n n k n k =>-+++∑．
【答案】（1）极小值为()02f =，无极大值；（2）（i ）(],2-∞；（ii ）证明见解析.
【分析】（1）利用导数分析函数()2
2cos f x x x =+的单调性，由此可求得函数()f x 的极大值和极小值；
（2）（i ）利用参变量分离法可得出()
2sin x x x e a x e --+≤+对任意的[]0,x π∈恒成立，求出函数sin x
x x e y x e
--+=+在区间[]0,π上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围； （ii ）证明得出：当[)1,x ∈+∞时，111112121tan x x x x
⎛⎫>-- ⎪-+⎝⎭，依次可得出()1111121231tan 1n n n n ⎛⎫>-- ⎪++⎝⎭++，()1111123252tan 2
n n n n ⎛⎫>-- ⎪++⎝⎭++，，1
111141412tan 2n n n n
⎛⎫>-- ⎪-+⎝⎭，利用不等式的基本性质可证得所证不等式成立. 【详解】（1）当2a =时，()22cos f x x x =+，该函数的定义域为R ， 则()22sin f x x x '=-，()22cos 0f x x ''=-≥，所以，函数()f x '在R 上为增函数，
且()00f '=，当0x <时，()()00f x f ''<=，此时函数()f x 单调递减， 当0x >时，()()00f x f ''>=，此时函数()f x 单调递增.
所以，函数()f x 的极小值为()02f =，无极大值；
（2）（i ）()()2cos 2x f x x a x a e -=++-，则()()2sin 2x f x x a x a e -'=---， ()f x 在[]0,π上单调递增，则()()2sin 20x f x x a x a e -'=---≥对任意的[]0,x π∈恒成立，
可得()
2sin x x x e a x e --+≤+，下面证明：1sin x x x e x e
--+≥+，其中[]0,x π∈， 即证sin x x x e x e --+≥+，即证sin 0x x -≥，其中[]0,x π∈，
由（1）可知，对任意的[]0,x π∈，sin 0x x -≥，
又当0x =时，1sin x
x x e x e
--+=+， 2a ∴≤，故实数a 的取值范围是(],2-∞；
（ii ）由（1）可知，当2a =时，()2
2cos f x x x =+在[]0,π上单调递增， 当(]0,1x ∈时，()()02f x f >=，即2
cos 12
x x >-， 当[)1,x ∈+∞时，(]10,1x ∈，则110sin 1x x
<<≤， 11
sin
11cos 111tan tan tan x
x x x x x x ∴=>=， 当[)1,x ∈+∞时，()()22112211cos 111124*********x x x x x x x ⎛⎫>->-=-=-- ⎪--+-+⎝⎭
， 所以，111112121tan x x x x ⎛⎫>-- ⎪-+⎝⎭，所以，()1111121231tan 1
n n n n ⎛⎫>-- ⎪++⎝⎭++， ()11111
23252tan 2
n n n n ⎛⎫>-- ⎪++⎝⎭++，，1111141412tan 2n n n n ⎛⎫>-- ⎪-+⎝⎭， 将上述不等式全部相加得
()11111111
2141214242tan n k n n n n n n n n n k n k =>-+>-+=-+++++++∑.
故原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅
助函数.。