安徽省合肥市2021届高三数学第一次教学质量检测试题理（含解析）
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取 的中点 ，过点 做平面 的垂线，
设 ，由几何关系可知：点 为四面体 外接球的球心，
△ABD是边长为2的等边三角形，那么 ,
二面角 的大小为 ,那么 ，
据此，在 中， ，
四面体 外接球的半径为 .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，肯定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
结合二次函数的性质可得函数 的值域为 ，即： ，
结合交集的概念可得： .
此题选择B选项.
4. 假设双曲线 的一条渐近线方程为 ，该双曲线的离心率是〔 〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的核心位于 轴，那么双曲线的渐近线为 ，结合题意可得： ，
双曲线的离心率： ，
此题选择C选项.
5. 执行如图程序框图，假设输入的 等于10，那么输出的结果是〔 〕
又∵ ，∴平面 平面 .
〔2〕由， 平面 ， 是正方形.
∴ 两两垂直，如图，成立空间直角坐标系 .
设 ，那么 ，从而 ，
∴ ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 .
令 ，那么 ，从而 .
∵ ，设 与平面 所成的角为，那么
，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20. 在平面直角坐标系中，圆 交 轴于点 ，交 轴于点 .以 为极点， 别离为左、右核心的椭圆 ，恰好通过点 .
试题解析：
〔1〕由可得，椭圆 的核心在 轴上.
设椭圆 的标准方程为 ，焦距为 ，那么 ，
∴ ，∴椭圆 的标准方程为 .
又∵椭圆 过点 ，∴ ，解得 .
∴椭圆 的标准方程为 .
〔2〕由于点 在椭圆 外，所以直线的斜率存在.
设直线的斜率为 ，那么直线 ，设 .
由 消去 得， .
由 得 ，从而 ，
∴ .
∵点 到直线的距离 ，
试题解析：
〔1〕按照正弦定理，由得： ，
即 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，从而 .
∵ ，∴ .
〔2〕由〔1〕和余弦定理得 ，即 ，
∴ ，
即 (当且仅当 时等号成立〕.
所以， 周长的最大值为 .
18. 2021年9月，国务院发布了?关于深化考试招生制度改革的实施意见?.某地作为高三改革试点地域，从昔时秋季新入学的高一学生开场实施，高三再也不分文理科.每一个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高三.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.
那么质量在 内的产品的概率为 ，
而质量在 内的产品的概率为 ，
结合对称性可知，质量在 内的产品估量有 ，
据此估量产品的数量为： 件.
此题选择D选项.
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
〔2〕利用 两两垂直成立空间直角坐标系，利用空间几何关系可得平面 的一个法向量为 ， ，那么直线 与平面 所成角的正弦值 .
试题解析：
〔1〕证明：连结 ，交 于点 ，
∴ 为 的中点，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∵ 都垂直底面 ，
∴ .
∵ ，
∴ 为平行四边形，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
21. .
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕假设 恒成立，求的值.
【答案】(1)观点析〔2〕
【解析】试题分析：
【答案】D
【解析】考察函数 ，求导可得 ，
..............................
函数 是概念在 上关于 轴对称的偶函数，
别离对应成立两个平面直角坐标系，
第一个坐标系依照咱们熟悉的坐标系绘制函数 的图像，
第二个坐标系以水平方向为 轴方向，以竖直方向为 轴方向，
在第一个坐标系中绘制函数 的图像，
此题选择B选项.
点睛：含有实际背景的线性计划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量成立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各类彼此制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
12. 函数 (其中为自然对数的底数〕，假设函数 有4个零点，那么 的取值范围为〔 〕
A. B. C. D.
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】由函数的解析式可得： ，那么切线的斜率： ，
令 可得： ，
那么函数在点 ，即 处的切线方程为： ，
整理可得： ,
结合题中所给的切线 的斜率有： .
此题选择B选项.
11. 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润别离为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 设备2小时， 设备6小时；生产一件乙产品需用 设备3小时， 设备1小时. 两种设备每一个月可使历时间数别离为480小时、960小时，假设生产的产品都能及时售出，那么该企业每一个月利润的最大值为〔 〕
〔1〕求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；
等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获 表示他所选考的三个科目初三试成绩获 等的科目数，求 的散布列和数学期望.
【答案】(1) 〔2〕 ，散布列观点析
【解析】试题分析：
(1)由题意结合对立事件计算公式可知该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 ；
A. 112 B. 51 C. 28 D. 18
【答案】C
【解析】由等差数列的通项公式结合题意有： ，
求解关于首项、公差的方程组可得： ，
那么数列的前7项和为： .
此题选择C选项.
3. 集合 是函数 的概念域，集合 是函数 的值域，那么 〔 〕
A. B.
C. 且 D.
【答案】B
【解析】函数 成心义，那么： ，即 ，
∴ 的面积为 .
令 ，那么 ，
∴ ，
当 即 时， 有最大值， ，此时 .
所以，当直线的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值 .
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确肯定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
安徽省合肥市2021届高三第一次教学质量检测
数学理试题
第一卷〔共60分〕
一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1. 为虚数单位，那么 〔 〕
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得： .
此题选择A选项.
2. 等差数 ，假设 ，那么 的前7项的和是〔 〕
而 ，
据此可得： ，据此可得： .
此题选择D选项.
8. 数列 的前 项和为 ，假设 ，那么 〔 〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得： ，
两式作差可得： ，即 ， ，
结合 可得： ，
那么数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
据此有： ， .
此题选择A选项.
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为〔 〕
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】结合流程图可知程序运行如下：
首先初始化数据 ，
这次循环知足 ，执行： ， ；
这次循环知足 ，执行： ， ；
这次循环知足 ，执行： ， ；
这次循环知足 ，执行： ， ；
此时的值出现循环状态，结合输入的 值为 ，而 可知最后一次循环时：
执行： ， ；
这次循环不知足 ，输出 .
13. 假设平面向量 知足 ，那么 __________．
【答案】
【解析】由题意可得： ， ，
两式作差可得： .
14. 是常数， ，且 ，那么 __________．
【答案】3
【解析】所给的等式 中，
令 可得： ，
令 可得： ，
结合题意有： ，求解关于实数 的方程可得： .
15. 抛物线 的核心为 ，准线与 轴交于点 ，过抛物线 上一点 (第一象限内)作的垂线 ,垂足为 .假设四边形 的周长为16，那么点 的坐标为__________．
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕设通过点 的直线与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值.
【答案】(1) 〔2〕当直线的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值 .
【解析】试题分析：
〔1〕由可得，椭圆 的核心在 的标准方程为 ，易知 ，结合椭圆过点 ，可得椭圆 的标准方程为 .
， .联立直线方程与椭圆方程有 .直线与椭圆交于不同的两点，那么 ， ，由弦长公式可得 ，而点 到直线的距离 ，据此可得面积函数 .换元令 ， ，结合二次函数的性质可适当直线的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值 .
【答案】
【解析】由抛物线的方程可知核心坐标为 ，准线方程为 ，
设点 的坐标为 ，由题意结合抛物线的概念可得：
， ， ，
那么四边形 的周长为 ,
整理可得： ，
那么点 的坐标为 .
16. 在四面体 中， ，二面角 的大小为 ,那么四面体 外接球的半径为__________．
【答案】
【解析】过等边三角形 的中心作平面 的垂线，
三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解允许写出文字说明、证明进程或演算步骤.〕
17. 的内角 的对边别离为 ， .
〔1〕求角 ；
〔2〕假设 ，求 的周长的最大值.
【答案】(1) 〔2〕
【解析】试题分析：
〔1〕按照正弦定理边化角可得： ，整理计算有 ，那么 .
〔2〕由〔1〕的结论结合余弦定理得 ，即 ，结合均值不等式可知 (当且仅当 时等号成立〕，那么 周长的最大值为 .
此题选择C选项.
6. 某公司生产的一种产品的质量 (单位：克)服从正态散布 .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在 内的产品估量有〔 〕
〔附：假设 服从 ，那么 ， 〕
A. 3413件 B. 4772件 C. 6826件 D. 8185件
【答案】D
【解析】由题意可得，该正态散布的对称轴为 ，且 ，
A. 320千元 B. 360千元 C. 400千元 D. 440千元
【答案】B
【解析】设生产甲、乙两种产品x件,y件时该企业每一个月利润的最大值，由题意可得约束条件：
，
原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数 的最大值.
绘制目标函数表示的平面区域如下图，结合目标函数的几何意义可知：
目标函数在点 处取得最大值： 千元.
所以 的散布列为
所以 .
19. 如图，在多面体 中， 是正方形， 平面 ， 平面 ， ，点 为棱 的中点.
〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕假设 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
【答案】(1)观点析〔2〕
【解析】试题分析：
〔1〕连结 ，交 于点 ，由三角形中位线的性质可得 平面 ,由线面垂直的性质定理可得 为平行四边形，那么 ，结合面面平行的判判定理有 平面 .最后，利用面面平行的判判定理可得平面 平面 .
B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，左右两头为半径为 的半球，中间局部为底面半径为 ，高为 的半个圆柱，
其中球的外表积 ，半圆柱的侧面积 ，
半圆柱袒露的面积 ，半球袒露的面积 ，
综上可得，该几何体的外表积 .
此题选择C选项.
10. 直线 与曲线 相切(其中为自然对数的底数)，那么实数的值是〔 〕
在第二个坐标系中绘制函数 的图像，
如下图的直线位置处可以找到知足题意的方程的四个零点，
函数零点的值为点 处的横坐标，
观察可得， 的取值范围为 ，其中 ，题中直线为临界条件，
临界条件处： ， ， .
结合选项，知足所得结论形式的区间只有D选项.
此题选择D选项.
第二卷〔共90分〕
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
(2)由题意可知，随机变量 , ， ， ，据此可得散布列，然后计算数学期望为 .
试题解析：
〔1〕记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目〞为事件 ，
那么 ，
所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 .
〔2〕随机变量 的所有可能取值有0, 1，2，3.
因为 ,
，
，
，
7. 将函数 的图像先向右平移 个单位，再将所得的图像上每一个点的横坐标变成原来的倍，取得 的图像，那么 的可能取值为〔 〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意结合辅助角公式有： ，
将函数 的图像先向右平移 个单位，
所得函数的解析式为： ，
再将所得的图像上每一个点的横坐标变成原来的倍，
所得函数的解析式为： ，
设 ，由几何关系可知：点 为四面体 外接球的球心，
△ABD是边长为2的等边三角形，那么 ,
二面角 的大小为 ,那么 ，
据此，在 中， ，
四面体 外接球的半径为 .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，肯定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
结合二次函数的性质可得函数 的值域为 ，即： ，
结合交集的概念可得： .
此题选择B选项.
4. 假设双曲线 的一条渐近线方程为 ，该双曲线的离心率是〔 〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的核心位于 轴，那么双曲线的渐近线为 ，结合题意可得： ，
双曲线的离心率： ，
此题选择C选项.
5. 执行如图程序框图，假设输入的 等于10，那么输出的结果是〔 〕
又∵ ，∴平面 平面 .
〔2〕由， 平面 ， 是正方形.
∴ 两两垂直，如图，成立空间直角坐标系 .
设 ，那么 ，从而 ，
∴ ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 .
令 ，那么 ，从而 .
∵ ，设 与平面 所成的角为，那么
，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20. 在平面直角坐标系中，圆 交 轴于点 ，交 轴于点 .以 为极点， 别离为左、右核心的椭圆 ，恰好通过点 .
试题解析：
〔1〕由可得，椭圆 的核心在 轴上.
设椭圆 的标准方程为 ，焦距为 ，那么 ，
∴ ，∴椭圆 的标准方程为 .
又∵椭圆 过点 ，∴ ，解得 .
∴椭圆 的标准方程为 .
〔2〕由于点 在椭圆 外，所以直线的斜率存在.
设直线的斜率为 ，那么直线 ，设 .
由 消去 得， .
由 得 ，从而 ，
∴ .
∵点 到直线的距离 ，
试题解析：
〔1〕按照正弦定理，由得： ，
即 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，从而 .
∵ ，∴ .
〔2〕由〔1〕和余弦定理得 ，即 ，
∴ ，
即 (当且仅当 时等号成立〕.
所以， 周长的最大值为 .
18. 2021年9月，国务院发布了?关于深化考试招生制度改革的实施意见?.某地作为高三改革试点地域，从昔时秋季新入学的高一学生开场实施，高三再也不分文理科.每一个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高三.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.
那么质量在 内的产品的概率为 ，
而质量在 内的产品的概率为 ，
结合对称性可知，质量在 内的产品估量有 ，
据此估量产品的数量为： 件.
此题选择D选项.
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
〔2〕利用 两两垂直成立空间直角坐标系，利用空间几何关系可得平面 的一个法向量为 ， ，那么直线 与平面 所成角的正弦值 .
试题解析：
〔1〕证明：连结 ，交 于点 ，
∴ 为 的中点，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∵ 都垂直底面 ，
∴ .
∵ ，
∴ 为平行四边形，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
21. .
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕假设 恒成立，求的值.
【答案】(1)观点析〔2〕
【解析】试题分析：
【答案】D
【解析】考察函数 ，求导可得 ，
..............................
函数 是概念在 上关于 轴对称的偶函数，
别离对应成立两个平面直角坐标系，
第一个坐标系依照咱们熟悉的坐标系绘制函数 的图像，
第二个坐标系以水平方向为 轴方向，以竖直方向为 轴方向，
在第一个坐标系中绘制函数 的图像，
此题选择B选项.
点睛：含有实际背景的线性计划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量成立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各类彼此制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
12. 函数 (其中为自然对数的底数〕，假设函数 有4个零点，那么 的取值范围为〔 〕
A. B. C. D.
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】由函数的解析式可得： ，那么切线的斜率： ，
令 可得： ，
那么函数在点 ，即 处的切线方程为： ，
整理可得： ,
结合题中所给的切线 的斜率有： .
此题选择B选项.
11. 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润别离为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 设备2小时， 设备6小时；生产一件乙产品需用 设备3小时， 设备1小时. 两种设备每一个月可使历时间数别离为480小时、960小时，假设生产的产品都能及时售出，那么该企业每一个月利润的最大值为〔 〕
〔1〕求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；
等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获 表示他所选考的三个科目初三试成绩获 等的科目数，求 的散布列和数学期望.
【答案】(1) 〔2〕 ，散布列观点析
【解析】试题分析：
(1)由题意结合对立事件计算公式可知该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 ；
A. 112 B. 51 C. 28 D. 18
【答案】C
【解析】由等差数列的通项公式结合题意有： ，
求解关于首项、公差的方程组可得： ，
那么数列的前7项和为： .
此题选择C选项.
3. 集合 是函数 的概念域，集合 是函数 的值域，那么 〔 〕
A. B.
C. 且 D.
【答案】B
【解析】函数 成心义，那么： ，即 ，
∴ 的面积为 .
令 ，那么 ，
∴ ，
当 即 时， 有最大值， ，此时 .
所以，当直线的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值 .
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确肯定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
安徽省合肥市2021届高三第一次教学质量检测
数学理试题
第一卷〔共60分〕
一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1. 为虚数单位，那么 〔 〕
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得： .
此题选择A选项.
2. 等差数 ，假设 ，那么 的前7项的和是〔 〕
而 ，
据此可得： ，据此可得： .
此题选择D选项.
8. 数列 的前 项和为 ，假设 ，那么 〔 〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得： ，
两式作差可得： ，即 ， ，
结合 可得： ，
那么数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
据此有： ， .
此题选择A选项.
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为〔 〕
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】结合流程图可知程序运行如下：
首先初始化数据 ，
这次循环知足 ，执行： ， ；
这次循环知足 ，执行： ， ；
这次循环知足 ，执行： ， ；
这次循环知足 ，执行： ， ；
此时的值出现循环状态，结合输入的 值为 ，而 可知最后一次循环时：
执行： ， ；
这次循环不知足 ，输出 .
13. 假设平面向量 知足 ，那么 __________．
【答案】
【解析】由题意可得： ， ，
两式作差可得： .
14. 是常数， ，且 ，那么 __________．
【答案】3
【解析】所给的等式 中，
令 可得： ，
令 可得： ，
结合题意有： ，求解关于实数 的方程可得： .
15. 抛物线 的核心为 ，准线与 轴交于点 ，过抛物线 上一点 (第一象限内)作的垂线 ,垂足为 .假设四边形 的周长为16，那么点 的坐标为__________．
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕设通过点 的直线与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值.
【答案】(1) 〔2〕当直线的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值 .
【解析】试题分析：
〔1〕由可得，椭圆 的核心在 的标准方程为 ，易知 ，结合椭圆过点 ，可得椭圆 的标准方程为 .
， .联立直线方程与椭圆方程有 .直线与椭圆交于不同的两点，那么 ， ，由弦长公式可得 ，而点 到直线的距离 ，据此可得面积函数 .换元令 ， ，结合二次函数的性质可适当直线的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值 .
【答案】
【解析】由抛物线的方程可知核心坐标为 ，准线方程为 ，
设点 的坐标为 ，由题意结合抛物线的概念可得：
， ， ，
那么四边形 的周长为 ,
整理可得： ，
那么点 的坐标为 .
16. 在四面体 中， ，二面角 的大小为 ,那么四面体 外接球的半径为__________．
【答案】
【解析】过等边三角形 的中心作平面 的垂线，
三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解允许写出文字说明、证明进程或演算步骤.〕
17. 的内角 的对边别离为 ， .
〔1〕求角 ；
〔2〕假设 ，求 的周长的最大值.
【答案】(1) 〔2〕
【解析】试题分析：
〔1〕按照正弦定理边化角可得： ，整理计算有 ，那么 .
〔2〕由〔1〕的结论结合余弦定理得 ，即 ，结合均值不等式可知 (当且仅当 时等号成立〕，那么 周长的最大值为 .
此题选择C选项.
6. 某公司生产的一种产品的质量 (单位：克)服从正态散布 .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在 内的产品估量有〔 〕
〔附：假设 服从 ，那么 ， 〕
A. 3413件 B. 4772件 C. 6826件 D. 8185件
【答案】D
【解析】由题意可得，该正态散布的对称轴为 ，且 ，
A. 320千元 B. 360千元 C. 400千元 D. 440千元
【答案】B
【解析】设生产甲、乙两种产品x件,y件时该企业每一个月利润的最大值，由题意可得约束条件：
，
原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数 的最大值.
绘制目标函数表示的平面区域如下图，结合目标函数的几何意义可知：
目标函数在点 处取得最大值： 千元.
所以 的散布列为
所以 .
19. 如图，在多面体 中， 是正方形， 平面 ， 平面 ， ，点 为棱 的中点.
〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕假设 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
【答案】(1)观点析〔2〕
【解析】试题分析：
〔1〕连结 ，交 于点 ，由三角形中位线的性质可得 平面 ,由线面垂直的性质定理可得 为平行四边形，那么 ，结合面面平行的判判定理有 平面 .最后，利用面面平行的判判定理可得平面 平面 .
B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，左右两头为半径为 的半球，中间局部为底面半径为 ，高为 的半个圆柱，
其中球的外表积 ，半圆柱的侧面积 ，
半圆柱袒露的面积 ，半球袒露的面积 ，
综上可得，该几何体的外表积 .
此题选择C选项.
10. 直线 与曲线 相切(其中为自然对数的底数)，那么实数的值是〔 〕
在第二个坐标系中绘制函数 的图像，
如下图的直线位置处可以找到知足题意的方程的四个零点，
函数零点的值为点 处的横坐标，
观察可得， 的取值范围为 ，其中 ，题中直线为临界条件，
临界条件处： ， ， .
结合选项，知足所得结论形式的区间只有D选项.
此题选择D选项.
第二卷〔共90分〕
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
(2)由题意可知，随机变量 , ， ， ，据此可得散布列，然后计算数学期望为 .
试题解析：
〔1〕记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目〞为事件 ，
那么 ，
所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 .
〔2〕随机变量 的所有可能取值有0, 1，2，3.
因为 ,
，
，
，
7. 将函数 的图像先向右平移 个单位，再将所得的图像上每一个点的横坐标变成原来的倍，取得 的图像，那么 的可能取值为〔 〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意结合辅助角公式有： ，
将函数 的图像先向右平移 个单位，
所得函数的解析式为： ，
再将所得的图像上每一个点的横坐标变成原来的倍，
所得函数的解析式为： ，