《高数》数列极限》课件

详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义与性质
介绍无穷小量的定义，以及无穷小量的一些基本性质，如无穷小量与常数相乘仍为无穷 小量。
发散
如果数列的极限不存在，则称该数列发散。
收敛数列的性质
1 2
唯一性
一个收敛数列只能有一个极限。
有界性
收敛数列的项必定是有界的，即存在一个正数M ，使得对于所有n，序性
在收敛点x0的某邻域内，如果a_n ≤ b_n，则lim a_n ≤ lim b_n。
02
数列极限的性质与定理
复利增长
总结词
复利增长是一种投资策略，通过数列极限的 概念来计算投资收益的累积。
详细描述
复利增长是通过将投资收益继续投资，以实 现财富的累积增长。数列极限的概念在这里 用于计算投资收益的极限情况，帮助投资者 了解长期投资的增长趋势。
几何级数求和
总结词
几何级数求和是一种数学方法，通过数列极 限的概念来计算几何级数的和。
反例
举出一些不满足柯西收敛准则的 数列，如摆动数列等。
应用
柯西收敛准则在证明数列的收敛 性以及研究数列的性质时具有重 要应用。
03
数列极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算规则
包括加法、减法、乘法和除法的极限 运算规则，以及复合函数的极限运算 规则。
举例说明
通过具体例子演示如何运用极限的四 则运算规则进行计算，如求lim(x->∞) (x^2 + 1)/x的极限值。
要点二
无穷级数的分类
根据项的取值，无穷级数可以分为收敛和发散两类。收敛 级数的和是有限的，而发散级数的和是无穷的。
无穷级数的性质与定理
收敛性定理
如果一个无穷级数的前n项和$S_n$有界，且当$n to infty$时，$S_n$趋向于一个有限的极限，则这个级数 是收敛的。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正整 数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| < epsilon$，则这个级数是收敛的。
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无穷级数的运算
级数的加减法
对于两个同类型的无穷级数$sum_{n=0}^{infty} a_n$和 $sum_{n=0}^{infty} b_n$，其和与差分别为 $sum_{n=0}^{infty} (a_n pm b_n)$。
级数的乘法
对于两个无穷级数$sum_{n=0}^{infty} a_n$和 $sum_{n=0}^{infty} b_n$，其乘积为 $sum_{n=0}^{infty} (sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k})$。
无穷大量的定义与性质
介绍无穷大量的定义，以及无穷大量的一些基本性质，如无穷大量与常数相除仍为无穷 大量。
04
数列极限的应用
连续复利
总结词
连续复利是一种金融计算方式，通过数列极限的概念来计算未来的本息和。
详细描述
连续复利是将复利计算连续化的一种方式，通过数列极限的概念，将未来的本息和表示为一个积分的 形式，从而更精确地计算未来的财富增长。
极限的运算法则
01
极限的四则运算法 则
包括加法、减法、乘法和除法的 极限运算规则，用于计算复合函 数的极限。
02
极限的等价变换
将复杂的极限表达式通过等价变 换化为简单形式的极限，便于计 算。
03
极限的复合函数法 则
适用于复合函数的极限计算，通 过将复合函数分解为基本函数来 简化计算。
单调有界定理