高中数学立体几何教学研究

高中数学立体几何教学研究
立体几何是高中数学重要内容之一，是它将我们的认知系统地从平面拉向了三维，是它丰富了我们的想象与内心，是它让我们更科学更理性地看待现实世界.人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法来认识和探索几何图形及其性质.它对于发展学生的直观认知能力、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力、运用图形语言交流能力等都有举足轻重的作用.此次课程改革将课程性质、课程理念、框架结构、内容要求、课程实施等诸多方面融于一体.基于立体几何知识的重要地位，我们除了关注教材内容、知识结构的变化之外，还需要对作为课程实施者的教师的教学观念、面对变化的态度、处理教学问题的方式等情况做充分地了解，这样才能更好地指导新理念、新要求下立体几何的教学工作.
5.1 已有研究简介
高中立体几何知识由三部分组成：必修2中的空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系以及选修2-1中的空间向量与立体几何.其中，第三部分是选修系列3和选修系列4中的球面上的几何.无论是知识的呈现方式、结构的编排还是内容的选择，现行教材都较以往教材有很大改变.原有教材内容以性质为主线展开，按照先局部后整体的方式，从认识点、线、面等基本元素到具体的几何体，用严谨的公理化的方式研究线线、线面以及面面之间的关系，融空间向量为一体，重点培养学生用空间向量的方法来解决立体几何问题，重视立体几何的代数化.而现行教材则是按照从整体到局部的顺序展开立体几何知识的教学，并以长方体为载体，认识点、线、面之间的位置关系，合理运用逻辑推理，从特殊到一般、从具体到抽象对某些性质和定理加以理解和说明，充分考虑了学生的认知发展规律，适度降低了逻辑论证的要求.空间向量知识独立成章，放在选修系列中，为解决立体几何问题提供了新的视角，并对必修教材中相关定理运用向量的方法做了严谨的证明，更突出其“工具”作用.
面对这些改变所带来的挑战，需要我们对立体几何的课程实施进行重新审视.作为课程实施的主体——教师，如何理解新课标理念，是否认同新版教材中对立体几何知识的编排与重组，课标所提倡的“积极主动，用于探索的学习方式”是否能在教师的引导下得以实现，能否渗透新课标的精神实质，能否不随意补充相
关内容，进而增加学生学习负担，等等，都需要做出思考.然而，实践出真知，如若在教学实践中发现按课标要求难以实施，这无疑又为课标的适当调整提供了有力依据.这是一个双向的调整与判断，对教师来说是一个更大的挑战：他们要在课标的要求下进行教学，又要在教学中完善新课标的要求，他们中的每个人都是新课标制定的参与者.
“提供多样课程，适应个性选择”，高中教育为不同需求的学生提供相应的发展平台，注重人文关怀，学生根据自己的特点和兴趣选择文、理科.就数学单科而言，选修1系列是为希望能在人文、社科方面有所发展的文科学生编制的，而选修2系列则是为希望在理工、经济等学科方向有所发展的理科学生编制的.基于这一现实背景，针对文科学生群体的教学，教师们有时会显得无所适从：教材重视归纳类比的合情推理，为学生思考问题、解决问题提供了新的视角，但某些性质和定理不做严格的推理证明，这势必会让学生产生困惑：“这样的结论可靠吗？”作为教师，要不要向学生进行严格证明呢？改革后的高中数学，空间向量内容是不做要求的，而经验又告诉老师们，空间向量能够降低学生学习立体几何的难度，为此，在实际教学中，教师该如何处理这一问题呢？教材中的新内容，现行教材中旧知识的新要求，教师们是否能够准确地把握呢？他们又会如何看待、如何处理这些改变呢？针对这些问题，现在我们站在文科数学这一特定视角来调查分析立体几何教学的实践情况.
（1）李振纯、陈翠联、马成瑞在其所著的《中学立体几何教学》一书中，把培养兴趣、培养能力放在立体几何教学的首要位置，解析了相关概念教学，并通过具体的实例对直线和平面、多面体和旋转体中的定理与运用做了具体分析.
赵荣鲁在《立体几何教学中的能力培养》一书中，厘清了立体几何的教学目的和任务，注重了以“模型”来培养学生的空间想象能力，并强调逻辑思维的培养，包括概括能力、抽象能力以及辩证抽象概括能力.
同时，我们在中国知网中对相关期刊论文、学位论文进行了搜索，检索结果显示：与立体几何课程改革相关的论文有36篇，与高中立体几何教学相关的论文有43篇，与立体几何学习相关的研究有7篇，文科数学教学研究有109篇，而针对新课标背景下文科立体几何教学相关文献的检索结果则为零.表5-1为相关检索结果的统计数据.
表5-1
总之，在新课改的时代背景下，众多研究都注重以新课标为背景，通过文献综述、新旧教材对比、调查研究等方式，探索立体几何发展状况，这对立体几何发展、立体几何教学、新课程的顺利推进都有一定的指导意义.
（2）关于立体几何课程改革，1996年，首都师范大学的刘晓玫老师提出了自己的观点.她认为，几何课程应该是服务社会发展的、适应大众接受的、与实际生活紧密联系的课程，因此，几何的直观性、实用性、培养学生的动手能力显得格外重要；她还认为，变换和向量的思想方法在处理几何问题时能够起到化繁为简的效果，并给出中小学几何课程的具体处理模式.
刘芳崇老师纵观数学课程改革发展，立足于立体几何这一高中数学教学的经典内容，通过分析1978版《普通高中数学教学大纲》、1986版《普通高中数学教学大纲》、1997版《普通高中数学教学大纲》以及现行《普通高中数学课程标准》，厘清了立体几何的改革过程，展现了不同阶段立体几何的特殊地位，为一线教师把握立体几何教学重点与难点指明了道路.
北京市十一学校的张鹤老师在《立体几何教学内容与教学方式的变革》一文中也对立体几何内容的变化进行了分析，他认为，设置“观察”“思考”“探究”活动可以增强学生的认知能力，同时也能使其思辨能力与度量计算能力得到锻炼.
孙爽、赵红霞、吴乐乐等人对立体几何新旧教材进行了对比，并充分把握教材变化、领会课改要求，以教材内容为切入点提出课堂教学建议：充分利用教材素材与练习、注重空间向量的运用、发挥现代化的教学手段优势.
“几何发展的根本出路是代数化”，空间向量下的立体几何一直是人们讨论的焦点问题.赵宇、白焕等人经调查研究得出结论，认为向量的引入降低了学生学习的难度，但相对综合法弱化了对学生空间想象能力的要求，同时提出借助实物教学来填补其不足之处.
肖玲在《例谈以向量为背景的立体几何》一文中，对2005年全国16套高考试题进行了综合分析，对于其中涉及的异面直线所成的角、线面角、二面角等问题，虽用综合法可以解决，但运用向量法则简洁明了，思路清晰.
刘琳琳通过问卷调查、访谈等形式，研究教师与学生对待向量的态度，并从师生不同角度对向量观点下立体几何课程的变量和影响因素进行了调查和分析，反映了真实的课程实施情况和师生的态度和要求.
梁燕飞探析了高中文科数学立体几何向量解法在文科学生方面的优势.根据文科生的特点，向量法可以让他们扬长避短，克服空间想象和逻辑推理能力的不足，发挥其擅长记忆的优势，在提高解题能力的同时，也增强了学生学习立体几何的信心.
与立体几何教学相关的研究大都以新课标理念为背景，其中，有的侧重于立体几何教学理论研究.例如，北京师范大学的马波站在立体几何角度解析了高中数学新课标，并从理论高度分析了立体几何教学应注重以人为本、重视联系，强调应用、加强几何直观性，侧重空间想象力的培养，强调动手操作.
陈红云在《新课标下高中立体几何教学中问题情境创设的研究》一文中，从情境创设角度对立体几何教学进行分析调查.她认为，通过创设适宜的问题情境，能够提高学生学习数学的积极性和主动性，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，发展创新意识，进而优化课堂教学效果.
左玲在《新课标下立体几何教学研究》一文中对立体几何教学的重要性进行了综述，围绕着“何种教学方式才能让学生更好地学习立体几何知识”做出研究，提出“加强训练解题思维”“注重系统归纳”等教学建议，并在调查中发现教师的教法多以旧的教学大纲为指导，对新课标精神的领会有待提高.
张岭结合自己的教学经验在《高中立体几何解题技巧浅析》一文中提出“为学生树立信心、提高学习兴趣、学会观察”等教学策略，以提高学生解决立体几何问题的能力.
浙江师范大学的张力民以技校学生学习立体几何为视角，提出，重在培养学生的综合能力，认为观察是学好立体几何的基础，作图是学好立体几何的保证，想象是学好立体几何的关键.
致力于教学实践的现状调查的文章也层出不穷，这些文章旨在对教学实践中的教师、学生以及教学活动所体现出来的问题进行调查分析，从而为立体几何的教学提出更具有实践操作性的建议.
在《厘清问题对症施教——〈高中立体几何教学现状分析及难点突破的行动研究〉的调查和施教策略》一文中，许晓天、王道宇等人以合肥五所中学的教师与学生为研究对象，对立体几何的教学现状、教学难点进行调查分析，发现实物模型与利用计算机软件观察图形都能使学生更好地认识空间几何体：找点、线、面之间的位置关系，但难点在于空间想象力.为此，以建立空间立体观念，通过动手制作实物模型、画空间图形等能有效克服这一难点.
李光在《新课标立体几何教学研究》一文中对立体几何教学的认识和实践做出总结，对教学提出自己的观点，认为几何代数化降低了立体几何的难度.
王超在《新课标理念下高中立体几何教学的研究与实践》一文中，运用问卷调查、访谈、课堂实践等方法分别对教师和学生进行了调查，分别对立体几何教学中教材的使用情况、数学思维培养、问题情境创设以及向量的引入等方面进行调查分析，发现大多数教师在积极地转变自己的教学理念，认识到了情境创设在教学中的重要性，提出了情境创设的方法.
王春霞在《高中文科生立体几何向量法解题教学研究》一文中就文科生的思维特点进行了分析，认为向量是解决立体几何的重要手段，而向量法的使用对于文科生具有相当优势.
（3）教学不是单向传输而是教与学的交互影响，教学是为学生服务的，教学的终极目标是发展学生的能力，立体几何教学应如何进行，学生的学习能力、学生的发展状况为其提供了现实依据.
章建跃在《全国中小学教师继续教育教材数学学习论与学习指导》一文中就立体几何学习提出了自己的看法.他认为，促进立体几何的学，就要重视直观图形的作用、与平面几何的对比、将空间问题平面化，适当地选择反例也尤为重要.
学生的立体几何成绩不理想，对立体几何学习不适应，针对这一问题，刘克江老师将其归结为六大障碍：认知障碍、空间障碍、思维障碍、语言障碍、情感障碍、学习方法障碍.因此，只有找到问题的症结，才能对症下药，帮助学生克服困难.
姚宗琪将学习立体几何中的思维障碍概括为生活经验导致、平面几何负迁移导致、知识能力欠缺导致.马蔼琳根据研究发现了学生学习立体几何的主要困难，并提出创设情境、实物直观、规范学生语言表达、注重数学思想方法教学等建议.
赵杨晴关注高中立体几何中数学语言的学习，并从学生的认知方面、教师方面、教材方面和数学语言自身特点方面等进行问题成因分析，重教法、树立正确的语言学习观、教材编排的有效性等都是加强学生数学语言学习的重要策略.
（4）本章侧重研究文科学生的教学，因此，把握文科生的心理特点和行为规律尤为重要.对于文科生的数学学习，许多教育工作者尤其是一线教师有较深入的研究.
王春霞分析了文科生的思维特征：数学逻辑智能较弱、浅陋呆板、单一定势.
刘卫华在《从高考试卷中分析高中文科生的空间想象能力》一文中，用一道考查学生立体几何综合知识与能力的大题作为测试题，得出文科学生空间想象能力缺失的结论，认为应该通过培养学生的观察能力、丰富表象、运用类比、创造性想象训练等途径来提高其空间想象能力.
陈建国老师认为文科学生数学成绩不理想是因为心里惧怕数学，存在自卑心理，因此，教师应帮助学生树立能够学好数学的信心，真诚鼓励，表扬学生.
张义红老师做过高中文科生在数学课堂中参与情况的调查，结果显示：文科生虽然听课认真、注意力集中，但是从行为参与、认知参与到情感参与方面都有所不足.
金红兵老师善于发现文科学生数学学习障碍，也只有找到问题的根源才能有的放矢，提高学生的数学成绩和数学能力.他认为，要重视基础，以帮助文科生克服知识障碍；注重情境创设与探究活动，以打破思维阻塞.
吕重明老师提出，文科数学课堂教学应紧扣教材，内容细实，课后作业适量，难度适中，以提升学生的兴趣和信心.
5.2 研究问题
现行教材在立体几何部分有较大的调整，在新理念下也必定会出现新的教学方式.那么在课程改革实施多年后的今天，现状又怎样呢？教师们在教学中会面临哪些困难？又应如何解决这些问题？带着这些疑问我们有必要深入探究高中文科立体几何教学实施现状，了解一线教师对该内容的认知态度与实施途径，了
解学生在此环节的掌握情况与对教师教法的认同情况，为新课标背景下立体几何教学提供现实依据，同时也能弥补新课标要求的不足之处，对立体几何教学的顺利开展与实施以至整个数学课程改革顺利推进都有着非常重要的作用.
5.2.1 研究方法
首先通过阅读课标背景下的立体几何教学相关文献，研究各专家学者的研究成果，了解当前在该领域的研究现状，并结合自己的观点加以评述.然后编制问卷，对一线教师对新课标理念和在文科立体几何教学中的相关认知及其教学实际操作进行调查，分别针对立体几何结构变化、新增三视图、空间想象力的发展、立体几何中的逻辑推理和空间向量的使用等问题进行探讨和分析.最后，跟教师进行交流访谈，更加真实地了解教师在文科立体几何教学中的所思所想，对问卷结论提供更有力的支持.同时，对学生在立体几何中的学习状态以及对教师的教学认同进行调查，从学生的学反馈于教师的教，从而得出相应结论.根据这些结论，提出可行性建议与教学策略.
5.2.2 研究设计
1.教师调查材料编制
1）新课标理念下文科立体几何教学现状教师调查问卷（附录1）
该问卷分为四部分：第一部分是教师基本信息，了解所调查教师的教龄、学历、职称、授课类别与参加县级以上教师培训的次数.第二部分是态度问题，重点调查教师对立体几何教学各环节的认知态度.该部分共13个小问，均采用五点量表设置，对其进行α系数信度检测，所得信度值为0.691，如若删去12题，信度值可提高到0.732.但由于12题在本测验中有较为重要的作用，便没有加以调整，0.691的信度值能够保证该测验所得结果的真实性.第三部分是单项选择，重点调查教师在立体几何教学中的具体实施情况.该部分参考了赵冬雨的教师问卷，拟出15个小问后，在专家的指导下进行修整，得到现有的题目.第四部分是调查教师对立体几何部分教学要求的认知情况.综上可知，该问卷有较高的信度.
2）教师访谈提纲（附录2）
教师访谈提纲总共6个问题，分别就教师对立体几何的认识与教学实际操作做更进一步的调查，也是对教师问卷的补充与完善.
2.调查对象及程序
利用某市骨干教师培训的机会，对其中的55位高中教师进行调查.发放问卷55份，回收55份，其中有效问卷49份，有效率为89.09%.运用SPSS统计软件对有效问卷进行分析处理，得出初步结论.
为进一步了解教师的真实想法，后期，利用教育实习的机会，对某中学的高中教师进行了面对面的访谈.
3.学生调查材料编制
学生调查材料的作用在于探析文科学生在教师的教学引导下立体几何的学习情况以及对教师教法的认同感，分别从新增三视图的掌握、空间想象能力、逻辑推理能力、空间向量的运用等方面对其进行考察，对教师的教学有一定的指导意义.
学生调查材料由两部分构成：一是学生测试卷，二是问卷.
学生测试卷由四道大题组成：第一题是通过三视图计算四棱锥的体积，以考查学生识图认图能力以及棱锥体积公式的应用；第二题是作图题，作出三个平面将空间分为七个部分的立体图，以考查学生的空间想象能力以及动手操作能力；第三题为线面平行与面面垂直的证明，以考查学生的逻辑推理能力以及对相关性质定理的掌握情况；第四题是一道综合考题，难点在于等积转化，旨在考查学生是否对空间向量有较强的依赖性.
学生问卷由两部分组成，主要了解学生对立体几何的学习情况，这是对教师问卷及教师访谈的印证与补充.由于学生人数较少，每份问卷均以调查者问，学生答的模式得出，对其选择缘由也进行了询问.
4.个案调查对象及程序
将某中学高二年级的文科学生确定为研究对象，按照该学校的课时安排，此时立体几何的学习已暂告一段落.调研学校进行高二年级的第一次月考，考前老师又对立体几何进行了重点复习，因此，他们对立体几何的认识与理解程度相对较高，所以，选择他们为研究对象有较强的说服力.由于受时间与精力的限制，分别从中选取一重点班和一普通班，各6名学生，共计12人；这6名学生的产生均是按照班上综合排名的优、中、差分层抽取，且各层保证一名男生一名女生.这样会尽可能地减少数学基础差异与性别差异对研究结果的影响.
5.3 调查结果及分析
对于立体几何的教与学，老师们都有自己的认识与看法，其教学实施虽然都以课标要求为准则，但具体教学过程必定受其认知观念的影响.立体几何是高中阶段的经典内容，正是因为太熟悉，或许很难避免“穿新鞋走老路”这一现象.通过前期的问卷调查与一线教师的实时访谈，再结合学生对立体几何的学习情况以及对教师教学的认同情况，建构一个由教师与学生共同作用的、双向的认知维度，并对课标下文科立体几何的教学现状进行分析.
5.3.1 课标理念的认知及文科立体几何教学要求的认知
对文科生来说，立体几何一直以来都是他们的学习难点，也是一直困扰他们的问题之一，有很多学生对立体几何产生恐惧心理.有些学生由于立体几何学不会，对数学渐渐失去了兴趣，他们中有的人由于数学成绩上不去，影响他们的奋斗目标，所以由过去喜欢数学转变为讨厌数学，甚至憎恨数学.然而立体几何是逐步完善文科学生空间概念的重要环节，是学生认知空间、认识世界的基础，那么新理念下的立体几何教学为文科学生提出怎样的要求，教师对这些要求的认知情况又如何，这是本章首先关注的内容.
新的教学，需要夯实基础，需要与时俱进地认识“双基”，从而让学生实现更高更好的发展.在使学生获得基本知识、基本技能的同时，也应注重数学思想的获取以及数学活动经验的积累所带来的新的教学模式和评价体系，从而引导学生积极主动、勇于探索地学习，以发展其数学思维能力和数学应用能力.新课标理念下的数学教学，就像是行驶在汪洋中的一艘航船，虽已告知了目的地、装载了导航仪，但要避开隐藏在水下的暗礁，克服重重苦难，船长的智慧跟经验才是这次航行成功的关键.自然，教师便是那位船长，他要在知识的海洋里，引导学生前行.
与此同时，在与学生的交谈中也发现，他们对于教师的教有很高的期待，因为教师的教学方式，在很大程度上会影响学生对知识的理解与把握.教师是如何认识理解新课标对立体几何的要求的，这艘航船会驶向何处，立足于对立体几何教学现状的关注，我首先拟出了五个相关语句来分析教师对它的认同程度，以了解教师对立体几何的认知情况（见表5-2）.
表5-2 教师对立体几何的认知分析（表中数据为百分数）
新的教学理念必定会促进立体几何部分的教学要求发生改变，而立体几何的重要地位仍然受到绝大多数一线教师的肯定.通过表5-2中数据可知，93.9%的教师认同或一般认同立体几何在高中数学中的重要地位.立体几何对于发展学生的空间思维能力有着无可替代之作用，而要将空间思维的结果有理有据地表达出来，必定需要逻辑思维作支撑，于是对学生进行逻辑思维能力的锻炼也是自然而然的事.新教材不再以纯粹的公理化体系贯穿始终，它是通过动手操作，结合类比归纳等方式再将对结论加以确认的合情推理渗入其中，这样就拓宽了学生的思维方式，同时也改变了教师的教学常用模式.从第2，3，4，5题的统计来看，均有90%以上的教师持支持态度，说明一线教师能够很好地捕捉到立体几何部分的总体要求与能力目标，这无疑是立体几何有效教学的好的开端.此时，我们还欣喜地看到，教师们对教材中的“观察、思考、探究”栏目的使用有很高的认同度.新教材中的“观察、思考、探究”栏目使得我们的数学教材，以及我们的数学课堂都焕然一新.它们可以巧妙地抛出问题，引出新知识；也可以是对前面问题的引申，承接后面的内容；有的是以实例的形式出现，巩固加深对知识的理解；有的则是对整堂课的总结.老师对此的肯定，也折射出他们对新的教学理念的高度认可.当然，那为数不多的“不太同意”也必须引起重视，排除选择时的偶然因素外，必定存在与新课标认知不符的地方，这需要我们的一线教师不断学习、不断进步.
在总体目标的指引下，文科生在各章节中需要达到哪些要求，我们的课程目标是如何安排、学生的学习需要达到何种目标，作为教师，他们是否明确这些具体的目标要求，为此，设置了相关问题对其进行调查.。