2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业:第1章 数列 08 Word版含答案
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§8 等比数列的综合应用
时间:45分钟 满分:80分
班级________ 姓名________分数________
一、选择题:(每小题5分,共5×6=30分)
1.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1=1,则S 4=( ) A .7 B .8 C .15 D .16
2.已知3是3a
与3b
的等比中项,则a +b 的值是( ) A.13 B.12 C .1 D .2
3.在等比数列{a n }(n ∈N *
)中,若a 1=1,a 4=18,则该数列的前10项和为( )
A .2-124
B .2-1
29
C .2-
1210 D .2-12
11 4.已知{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,其公比q ≠1且b 1>0(i =1,2,…,n ),若
a 1=
b 1,a 11=b 11,则( )
A .a 6>b 6
B .a 6=b 6
C .a 6<b 6
D .a 6<b 6或a 6>b 6
5.若互不相等的实数a ,b ,c 成等差数列,c ,a ,b 成等比数列,且a +3b +c =10,则a 等于( )
A .4
B .2
C .-2
D .-4
6.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前
5项和为( )
A.158或5
B.31
16或5 C.
3116 D.158
二、填空题:(每小题5分,共5×3=15分)
7.在等比数列{a n }中,a 2=-2,a 5=54,则a 8=________.
8.设等差数列{a n }的公差d ≠0,a 1=4d ,a K 是a 1与a 2K 的等比中项,则K =________. 9.在等比数列{a n }中,若a 1=1
2,a 4=-4,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=________.
三、解答题:(共35分,其中第10小题11分,第11、12小题各12分)
10.已知数列{a n }满足S n =2a n +1.求证:数列{a n }是等比数列,并求出通项公式.
11.设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.
已知公比为q 的等比数列{a n }前6项和为S 6=21,且4a 1、3
2a 2、a 2成等差数列.
(1)求a n ;
(2)设{b n }是首项为2,公差为-a 1的等差数列,其前n 项和为T n ,求使不等式T n >2成立n 的最大值.
一、选择题
1.C 设{a n }的首项为a 1,公比为q ;由4a 1,2a 2,a 3成等差数列,4a 2=4a 1+a 3,∴4a 1q =4a 1+a 1q ,∵a 1=1,∴q 2
-4q +4=0,∴q =2,∴S 4=
a 1
-q 4
1-q
=
-24
1-2
=15.
2.C 由题意可知,3a
·3b
=3,即3
a +b
=3,∴a +b =1.
3.B 由a 1=1,a 4=18,得q =12,则S 10=1-1210
1-12=2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1-1210=2-129.
4.A 设f (n )=a n =a 1+(n -1)d ,g (n )=b n =a 1q n -1
,则y =f (n )与y =g (n )的图象有2
个公共点,图象如下:
所以当1<n <11时,均有a n >b n .
5.D 由a ,b ,c 成等差数列可设a =b -d ,c =b +d (d ≠0);又由a +3b +c =10,即
5b =10可得b =2,所以a =2-d ,c =2+d ,又由c ,a ,b 成等比数列,a 2=bc ,即(2-d )2
=2(2+d ),解得d =6,则a =-4.
6.C 显然{a n }的公比q ≠1,则
-q 3
1-q
=1-q 6
1-q ⇒1+q 3
=9⇒q =2,所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是首项为1,公比为12的等比数列,前5项和T 5=1-⎝ ⎛⎭⎪
⎫125
1-12
=31
16
.
二、填空题 7.-1 458
解析:解法一:a 8=a 5q 3
=a 5·a 5a 2=54×54-2
=-1 458.
解法二:∵a 5是a 2与a 8的等比中项,∴542
=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458. 8.3
解析:∵a K 是a 1与a 2K 的等比中项,
∴[a 1+(K -1)d ]2
=a 1[a 1+(2K -1)d ]⇒K 2-2K -3=0, 解得K =3或K =-1,K 为项数,故K =3. 9.2n
-1
2
解析:∵{a n }为等比数列,且a 1=1
2
,a 4=-4,
∴q 3=a 4a 1=-8,∴q =-2,∴a n =12
(-2)n -1
,
∴|a n |=2n -2
,∴|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=1
2-2
n
1-2
=2n
-12
.
三、解答题
10.证明:n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n +1-(2a n -1+1)=2a n -2a n -1⇒a n =2a n -1,∴a n
a n -1
=2为常数.
∴数列{a n }成等比数列.
n =1时,S 1=2a 1+1=a 1,∴a 1=-1,q =2.
∴a n =-2
n -1
.
11.(1)由已知,当n ≥1时,a n +1=[(a n +1-a n )+(a n -a n -1)+…+(a 2-a 1)]+a 1=3(2
2n
-1
+2
2n -3
+…+2)+2=2
2(n +1)-1
.而a 1=2,符合上式,所以数列{a n }的通项公式为a n =2
2n -1
.
(2)由b n =na n =n ·2
2n -1
知S n =1·2+2·23
+3·25
+…+n ·22n -1
,①
从而22·S n =1·23+2·25+3·27+…+n ·22n +1
,②
①-②得(1-22
)S n =2+23
+25
+…+22n -1
-n ·2
2n +1
,即S n =19
[(3n -1)22n +1
+2].
12.(1)由已知得3a 2=4a 1+a 2, 2a 2=4a 1,∴q =2.
S 6=
a 1
6
-2-1
=21,a 1=1
3
,
∴a n =13
·2n -1
.
(2)由(1)等差数列{b n }公差d =-a 1=-1
3
,b 1=2,
∴T n =2n +n
2(n -1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫-13=
13n -n 2
6,
T n >2⇒n 2-13n +12<0,
解得1<n <12(n ∈N +
), 即使T n >2的n 的最大值为11.。