福建省莆田十二中高三数学第三次月考(理)新人教版

莆田第十二中学高三第三次月考
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若011<<b a ，则下列不等式 ①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+b a a b
中，正确的不等式有 （ ）
A ．０个
B ．１个
C ．2个
D ．３个 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18－a 5，则S 8= （ ）
A ．18
B ．36
C ．54
D ．72
3．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是( )
A ．]1,(--∞
B ．),3[+∞
C ．]3,1[-
D ．),3[]1,(+∞⋃--∞
4.△ABC 中，若sinA ·sinB=cos 2
2
C
，则△ABC 是 ( ) A 等边三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 直角三角形
5．设1(1,)2
OM =，(0,1)ON =，则满足条件01OP OM ≤⋅≤，01OP ON ≤⋅≤的动点P 的 变化范围（图中阴影部分含边界）是
（ ）
6．已知πα<<0，2
1
cos sin =+αα ，则α2cos 的值为 （ ）.
A.
47 B. 47- C.4
7
± D. 43-.
7．若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是（ ） A ．（－1，0）
B ．（－∞，0）∪（1，2）
x
C ．（1，2）
D ．（0，2）
8．已知y x c c y c c x c ,,1,1,1则且--=-+=>之间的大小关系是（ ） A ．y x >
B ．y x =
C ．y x <
D ．y x ,的关系随c 而定
9．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）
A ．165-
B ．33-
C ．30-
D ．21- 10．若x
x
x f a b ln )(,3=>>，则下列各结论中正确的是（ ）
A.)()2()(ab f b a f a f <+<
B.)()()2(ab f b f b
a f <<+ C.)()2()(a f
b a f ab f <+< D.)()2
()(ab f b
a f
b f <+< 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在答题卡相应位
置。

11．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()
2b a --共线，则
λ= ；
12．函数1,(10)()cos ,(0)2
x x f x x x π+-≤<⎧⎪
=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ；
13．在各项均不为零的等差．．
数列{}n a 中，若2
110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --= ；
14．方程2s i n 2s i n 0x
x a ++=一定有解，则a 的取值范围
是 ；
15．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b =
2
b
a +，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数，a 、
b 、
c 都能成立的一个等式可以是________ 。

三.解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列。

（1）若2
3
-=⋅，且3=b ，求c a +的值；
（2）求C A sin sin 2-的取值范围。

17．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 满足12a =， . （1）求证数列 是等比数列，并求其通项公式； （2）设n n a
b n
=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；
18．（本小题满分13分）
若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x 满足()()()x
f f x f y y
=-.
（1）求)1(f 的值;
（2）若,1)6(=f 解不等式2)1
()3(<--x
f x f .
19．（本小题满分13分）
近段时间我国北方严重缺水, 某城市曾一度取消洗车行业. 时间久了，车容影响了市容市貌. 今年该市决定引进一种高科技产品污水净化器，允许洗车行开始营业，规定洗车行必须购买这种污水净化器，使用净化后的污水(达到生活用水标准)洗车. 污水净化器的价格是每台90万元，全市统一洗车价格为每辆每次8元. 该市今年的汽车总量是80000辆，预计今后每年汽车数量将增加2000辆.洗车行A 经过测算，如果全市的汽车总量是x ，那么一年内在该洗车
2
112(1)()n n a a n N n ++=+⋅∈2{}n
a n
行洗车的平均辆次是
x 4
1
，该洗车行每年的其他费用是20000元. 问：洗车行A 从今年开始至少经过多少年才能收回购买净化器的成本？ （注：洗车行A 买一台污水净化器就能满足洗车净水需求）
20．(本小题满分14分)
已知函数f (x)＝e x －k －x ，其中x ∈R ． (1)当k ＝0时，若g(x)＝
定义域为R ，求实数m 的取值范围；
(2)给出定理：若函数f (x)在[a ，b]上连续，且f (a)·f (b)<0，则函数y ＝f (x)在区间
(a ，b)内有零点，即存在x 0∈(a ，b)，使f (x 0)＝0；运用此定理，试判断当k>1时，函数f (x)在(k ，2k)内是否存在零点． 21．（本小题满分14分）
已知函数()()()2ln ,0f x x g x ax x a ==-≠．
（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象在公共点P 处有相同的切线，求实数a 的值并求点P 的坐标；
（2）若函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点M 、N ，求a 的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，过线段MN 的中点作x 轴的垂线分别与()f x 的图像和
()g x 的图像交S 、T 点，以S 为切点作()f x 的切线1l ，以T 为切点作()g x 的切线2l ．是否存在实数a 使得1l //2l ，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
第三次月考数学（理科）参考答案
一、选择题： CDDBA BDCCD 二、填空题：
11．0.5 12. 1.5 13. 1 14. [3,1]-
15. a +(b *c)=(a+b)*(a+c)，(a*b)+c=(a*c)+(b*c)，
a*(b+c )=(a+b)*c=(b+c)*a=(a+c)*b(a*b)+c=(b*a)+c 等． 填出任何一个都行． 答案 不唯一．
提示:∵a+(b*c)=a +2
c b +=22c b a ++=2)
()(c a b a +++= (a+b )*( a+c),其余类
似可得 三、解答题：
16. 解：（1）∵C B A ,,成等差数列 ∴3
π
=
B ，3
2π
=
+C A ∵23-=⋅，∴23
=⋅
∴2
3
3cos =πac ，∴3=ac
由余弦定理得，2
1
2cos 222=-+=
ac b c a B ∴622=+c a ∴32=+c a （2）A C -=
3
2π
)32sin(
sin 2sin sin 2A A C A --=-πA A cos 2
3sin 23-=)6sin(3π-=A ∵320π<
<A ∴266πππ<-<-A ∴值域为)3,2
3
(- 17. 解：（1）12a =，2*11
2(1)()n n a a n N n
+=+⋅∈ （3）1
02n n
n n c a n =
=>⋅ 122
2(1)n n
a a n n +∴
=⋅
+，*n N ∈2
{}n a
n
∴为等比数列 设123n n T c c c c =++++，则1234T T T T <<<
1
21222221
n n n n n a a a n n -∴
=⋅=∴=⋅ 当n ≥4 （2）2n n n a b n n ==⋅ 2341111
1
122232422n n
T n =++++
+
⋅⋅⋅⋅⋅
1231234
1
122232(1)222122232(1)22
n n
n n n n S n n S n n -+∴=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+-⋅+⋅ 45111111
128244222n ⎡⎤<+++⋅++
+
⎢⎥⎣⎦
12311122222222n n n n n S n n +++∴-=++++-⋅=--⋅ 321111()3442
2n
=
+⋅-⋅ 1(1)22
n n S n +∴=-⋅+
34111()2122134
12
n -⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦=+⋅-32112121734332330102<+⋅=+<+= 综上：1237
10
n c c c c ++++<
18. 解：（1）0)1(0)1()1()1()()()(==-=∴-=f f f f y f x f y
x f 即
（2）)6(2)3()6(2)1()3()6(221)6(2f x x f f x
f x f f f <-∴<--∴=∴=
)6()6()3(2
f f x x f <--即),0()()
6()6
3(2+∞<-是定义在x f f x
x f 上的增函数
()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->>-∴66
300
32x
x x x 217333+<
<⇒x ． 19．本题主要考查数列与不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，
考查应用意识. 满分13分.
解：设第一年（今年）的汽车总量为1a ，第n 年的汽车总量为n a ，则 180000a =
282000a =，
…
80000(1)2000n a n =+-⋅.
数列{}n a 构成的首项为80000，公差为2000的等差数列，
12(1)
8000020002
n n n n S a a a n -=++⋅⋅⋅+=+⋅. ……………………（4分） 若洗车行A 从今年开始经过n 年可以收回购买净化设备的成本.
（(1)8000020002n n n -+⋅）1
84
⋅⋅-20000n ≥900000，………………（8分） 整理得，2694500,n n +-≥ (6)(75)0,n n
-+≥
因为0n >，所以 6n ≥.
答：至少要经过6年才能收回成本. …………………（13分）
20.
21. （Ⅰ）设函数()y f x =与()y g x =的图象的公共点()00,P x y ，则有
2
000ln x ax x =- ①
又在点P 有共同的切线 ∴()()00002
00
11
''212x f x g x ax a x x +=⇒
=-⇒=代入①得 0011
ln 22
x x =
- 设()()()1111
ln '00222
h x x x h x x x =-+⇒=+>>
所以函数()h x 最多只有1个零点，观察得01x =是零点， ∴1a =，此时()1,0P ……………………5分 （Ⅱ）方法1 由()()22
ln ln x x
f x
g x x ax x a x +=⇒=-⇒=
令()()()2
243
112ln ln 12ln 'x x x x x x x x x r x r x x x x
⎛⎫+-+ ⎪+--⎝⎭=⇒== 当01x <<时，()'0r x >，则()r x 单调递增 当1x >时，()'0r x <，则()r x 单调递减，且2
ln 0x x
x
+> 所以()r x 在1x =处取到最大值()11r =， 所以要使2
ln x x
y x +=与y a =有两个不同的交点，则有01a << 10分
方法2 根据（Ⅰ）知当1a =时，两曲线切于点()1,0，此时变化的()y g x =的对称
轴是1
2x =
，而()y f x =是固定不动的，如果继续让对称轴向右移动即11122
x a a =>⇒<，两曲线有两个不同的交点，当0a <时，开口向下，只有一个
交点，显然不合，所以01a <<.
（Ⅲ）不妨设()()1122,,,M x y N x y ，且12x x >，则MN 中点的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭
以S 为切点的切线1l 的斜率1212
2'2S x x k f x x +⎛⎫
== ⎪+⎝⎭
以T 为切点的切线2l 的斜率()1212'12T x x k g a x x +⎛⎫
==+- ⎪⎝⎭
如果存在a 使得S T k k =，即
()1212
2
1a x x x x =+-+ ① 而且有2111ln x ax x =-和2
222ln x ax x =-
如果将①的两边同乘12x x -得 ()()22
12121212
2()x x a x x x x x x -=---+
22
121112212122
2()()ln ln ln x x x ax x ax x x x x x x -=---=-=+
即1
1
2
1
2
2
2(1)ln
1x x x x x x -=+ 设1
21x x μ=
>，则有()()21ln 11μμμμ
-=>+ 令()()
()21ln 11h μμμμμ
-=->+
()()2
22
11
4
'(1)(1)h μμμμμ-=-=
++ ∵1μ>，∴()'0h μ>
因此()h μ在[)1,+∞上单调递增，故()()10h h μ>=
所以不存在实数a 使得1l //2l ． ……………………………… 14分。