七章非正弦周期电路的稳态分析

f (t) sin kwtdt(k为奇数)
半波对称（镜对称）函数的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐
波分量。故半波对称函数也称为奇谐波函数。
第二节 非正弦周期量的有效值和平均值
一、非正弦周期电流、电压的有效值：
1）非正弦周期电流傅立叶级数展开式为： i(t) I 0 I km cos(kwt k )
A0称为周期函数 f(t)的直流分量或恒定分量(DC component)。
A1m cos(wt 1 )称为周期函数 f(t)的基波分量简称基波(fundamental
frequency component)。周期为T
其它各项称为周期函数 f(t)的高次谐波(high order harmonic
第一节 非正弦周期的傅里叶级
f (t) a0 (ak cos kwt bk sin数k展开t)式
a0
1 T
T k 1
2 T
f (t)dt
2
ak
2 T
T
2 T
2
f (t) cos kwtdt
b将k同频T2率项T2合T2 并f (为t)一si项n，k则wt有d：t
f (t) A0 Akm cos(kwt k )
A0 a0 k 1
a0 A0
Akm ak2 bk2
tg k
bk ak
ak Akm cos k bk Akm sin k
f (t) A0 A1m cos(wt 1) A2m co第s(一2w节t 非正2 )弦周期的傅里叶 A3m cos(3wt 3 ) A4m cos(4wt 4 ) A5m 级co数s(展5w开t 式5 )
bk
4 T
T 2 0
f (t) sin kwtdt
f (t)
3）半波对称（镜对称）： f(t) =-f(t+T/2)，
0
t
波形移动半周后与原波形对称于横轴。
a0 0, ak 0（k为偶数）, bk 0(k为偶数)
ak
4 T
T 2 0
f (t) cos kwtdt(k为奇数)
bk
4 T
T 2 0
200V
2 2 103 rad / s
T
0
25mH
1ms
t
us
(t)
100
400
(cos
wt
1 3
cos
3wt
1 5
cos
5wt
)
②直流分量作用：
U S0 100V U L0 0V
uS (t)
50
③基波分量作用时：
U S1m
400 0
1270
1L L 50
U l1m
U S1m
R
j1L j1L
1270 j50 50 j50
|
121.2817.78
ul1 (t) 121.28cos(t 17.78)
④三次谐波分量作用时：
U S3m
1 3
400 0
42.4 180
3L 3L 150
U l3m
U S3m
j 3 L R j3L
例4：2.4图示电18路0，感50电上j1压的5j105源电0的压|波。 形42如.1图，17求3.电95
u(t) U 0 U km cos(kwt k )
则有效值：
k 1
U
U
2 0
U12
U
2 2
U
2 3
非正弦周期电压的有效值为其恒定分量的平方与各次谐波有
效值平方之和的平方根。
i(t)
二、非正弦周期电流电路的平均功率：
u (t )
一端口网络作用的电压、电流都为非正弦
N
周期量，则其可表示为
i(t) I 0 I km cos(kwt k )
component)如：
A2m cos(2wt 2 ) 称为周期函数 f(t)的二次谐波。其频率是
原周期函数的频率的两倍。
二、傅里叶系数与原周期函数的关系：
1） f(t)为偶函数：f(t) =f(-t)， f(t)关于纵轴对称。则：
bk 0, f (t) a0 ak cos kwt
偶函数的傅里叶级数展开式中只k 1含有偶函数项和直流分量。
其中： 2 T
a0 T
2 f (t)dt
0
ak
4 T
T 2 0
f (t) cos kwtdt
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2） f(t)为奇函数：f(-t) =-f(t)， f(t)关于原点对称。 傅里叶系数与原周期函数的关系：
ak 0, a0 0, f (t) bk sin kwt
k 1
奇函数的傅里叶级数展开式中只含有奇函数项。其中：
1、将给定的非正弦周期激励分解为直流分量和各次谐波分量。
2、求出不同频率下的元件参数（直流时电感短路电容开路）。
3、用相量法分别计算各次谐波分量（直流分量）作用下的响应。
4、将各响应的瞬时值相加。
例：图示电u路，电压源①的将波u形s(t)如傅第图立，三叶求节级电数非感展正上开弦的：周析电期压电。流电路的分
ul3 (t) 42.1cos(3t 173.95)
⑤各次谐波分量共同作用时：
ul (t) ul0 ul1 ul3
121.28cos(t 17.78)4 2.1cos(3t 6.05)
k 1
则有效值： I
1 T i 2dt
TO
1 T
T
O[I0
I km cos(kwt k )]2dt
k 1
I
2 0
I12m 2
I
2 2m
2
I
2 3m
2
I
2 0
I12
I
2 2
I
2 3
非正弦周期电流的有效值为其恒定分量的平方与各次谐 波有效值平方之和的平方根。
2）非正弦周期电压傅立叶级数展开式为：
网络吸收的 瞬时功率和
p(t) u(t)i(t)
k1
u(t) U 0 U km cos(kwt k )
k 1
平均功率分 别为：
P
1 T
T
pdt
O
P 1
T
T
O[U 0 U km cos(kwt k )][I0 I km cos(kwt k )]dt
k 1
k 1
P U 0 I 0 U1I1 cos1 U 2 I 2非c正os弦周2 期 U电3流率I3电c路os的平3 均功
U 0 I0 U K I K cos k k 1 非正弦周期电路中的平均功率为直流分量构成的功率与各次
谐波构成的平均功率之和。只有同频率的电压电流谐波才构成平 均功率。不同频率的余弦量乘积据正交性得零，只构成瞬时值。
第三节 非正弦周期电流电路的稳态分析
谐波分析法：当非正弦周期激励作用于线性电路时，电压源可等 效为一系列谐波电压源的串联，电流源可等效为一系列谐波电流 源的并联。根据线性电路的叠加性，电路的响应就是各次谐波电 源单独作用时响应的代数和。 具体步骤：