2018北师大版文科数学高考总复习练习：2-2函数的单调性与最大含答案

第2讲函数的单调性与最大(小)值
基础巩固题组
（建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若函数f（x）＝｜2x＋a｜的单调递增区间是[3,＋∞），则a的值为
（) A．－2 B．2 C．－6 D．6
解析由图像易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是［－错误!，＋∞)，令－错误!＝3,∴a＝－6。

答案C
2．（2016·北京卷）下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是
（) A．y＝错误!B．y＝cos x
C．y＝ln（x＋1) D．y＝2－x
解析∵y＝错误!与y＝ln(x＋1）在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x 在（－1，1）上不具备单调性．∴A，B,C不满足题意．只有y＝2－x＝错误!x在（－1,1)上是减函数．
3．定义新运算“⊕":当a≥b时,a⊕b＝a2；当a〈b时，a⊕b＝b2，则函数f（x）＝（1⊕x）x－(2⊕x）,在区间[－2，2]上的最大值等于
（) A．－1 B．1 C．6 D．12
解析由已知得当－2≤x≤1时，f(x）＝x－2，
当1〈x≤2时,f(x）＝x3－2.
∵f(x)＝x－2,f（x）＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6。

答案C
4．已知函数y＝f(x)的图像关于x＝1对称，且在（1，＋∞）上单调递增，设a＝f错误!,b＝f（2)，c＝f（3)，则a，b，c的大小关系为
( ) A．c<b<a B．b〈a〈c
C．b〈c〈a D．a〈b<c
解析∵函数图像关于x＝1对称，∴a＝f错误!＝f错误!，又y＝f（x）在（1，＋∞）上单调递增,
∴f(2）<f错误!<f（3），即b<a〈c.
5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数,满足f(xy)＝f(x）＋f(y)，f(3）＝1，当f(x）＋f（x－8)≤2时，x的取值范围是
( ) A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．［8，9］D．(0,8）
解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3）＝f（9），由f（x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)］≤f（9），因为f(x)是定义在(0，＋∞）上的增函数，所以有错误!解得8〈x≤9。

答案B
二、填空题
6．(2017·郑州模拟)设函数f（x)＝错误!g（x）＝x2f(x－1),则函数g（x）的递减区间是________．
解析由题意知g(x）＝错误!错误!
函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g(x)的减区间是[0,1）．答案［0，1）
7．（2017·南昌调研)函数f（x）＝错误!x－log2(x＋2）在区间［－1，
1]上的最大值为________．
解析由于y＝错误!x在R上递减，y＝log2（x＋2)在［－1,1]上递增，所以f（x）在[－1,1］上单调递减，故f(x）在［－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案3
8．（2017·潍坊模拟)设函数f（x）＝错误!若函数y＝f（x）在区间（a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析作出函数f（x)的图像如图所示，由图像可知f（x）在(a，a ＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
答案(－∞，1]∪［4，＋∞）
三、解答题
9．已知函数f（x）＝错误!－错误!（a>0,x〉0)．
(1）求证：f（x）在（0,＋∞)上是增函数；
(2)若f（x)在错误!上的值域是错误!，求a的值．
（1)证明设x2〉x1〉0，则x2－x1〉0,x1x2〉0，
∵f(x2)－f(x1)＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!>0，
∴f（x2）〉f(x1),∴f(x)在（0，＋∞)上是增函数．
(2）解∵f(x)在错误!上的值域是错误!，又由(1）得f(x）在错误!上是单调增函数，
∴f错误!＝错误!，f(2）＝2，易知a＝错误!.
10．已知函数f(x）＝2x－错误!的定义域为（0，1](a为实数）．（1)当a＝1时,求函数y＝f(x）的值域；
(2)求函数y＝f（x）在区间(0，1]上的最大值及最小值,并求出当函数f(x）取得最值时x的值．
解（1）当a＝1时，f（x）＝2x－错误!,任取1≥x1＞x2＞0，则f （x1）－f（x2)＝2（x1－x2）－错误!
＝(x1－x2）错误!。

∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0,x1x2＞0.
∴f(x1）＞f(x2）,∴f（x）在（0,1］上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1,所以f(x)的值域为（－∞，1]．
（2)当a≥0时,y＝f(x)在（0,1］上单调递增,无最小值,当x＝1时取得最大值2－a；
当a＜0时，f（x）＝2x＋错误!，
当错误!≥1，即a∈(－∞,－2]时,y＝f(x）在(0，1]上单调递减，无最大值,当x＝1时取得最小值2－a；
当错误!＜1,即a∈（－2,0）时，y＝f(x)在错误!上单调递减，在错误!上单调递增,无最大值,当x＝错误!时取得最小值2错误!.
能力提升题组
（建议用时：20分钟) 11．(2017·郑州质检)若函数f（x）＝a x(a>0，a≠1）在［－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x)＝(1－4m)错误!在[0，＋∞）上是增函数，则a＝
( ）A．4 B．2 C.错误!D。

错误!
解析当a>1，则y＝a x为增函数，有a2＝4,a－1＝m，此时a＝2，m＝错误!，
此时g(x）＝－错误!在[0，＋∞）上为减函数，不合题意．
当0<a〈1，则y＝a x为减函数,
有a－1＝4，a2＝m,此时a＝错误!，m＝错误!。

此时g(x)＝错误!错误!在[0,＋∞）上是增函数．故a＝错误!.
答案D
12．（2017·枣阳第一中学模拟）已知函数f(x）＝e x－1,g（x)＝－x2＋4x－3，若存在f（a)＝g（b）,则实数b的取值范围为
（）
A．[0,3］B．（1,3)
C．[2－错误!,2＋错误!］D．（2－错误!，2＋错误!)
解析由题可知f（x)＝e x－1>－1，g（x)＝－x2＋4x－3＝－（x －2）2＋1≤1，
若f(a）＝g（b),则g（b）∈（－1,1]，
即－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2〈0，
解得2－错误!〈b<2＋错误!.
所以实数b的取值范围为(2－错误!,2＋错误!）．
答案D
13．对于任意实数a，b，定义min{a，b｝＝｛a，a≤b，，b，a〉b.
设函数f(x）＝－x＋3，g（x)＝log2x，则函数h(x）＝min{f（x），g（x)}的最大值是________．
解析依题意，h(x)＝错误!
当0〈x≤2时，h（x)＝log2x是增函数，
当x〉2时，h（x）＝3－x是减函数，
∴h（x)在x＝2时，取得最大值h（2)＝1.
答案1
14．已知函数f(x)＝lg(x＋错误!－2)，其中a是大于0的常数．
(1）求函数f(x)的定义域;
（2)当a∈（1,4）时,求函数f（x)在[2,＋∞)上的最小值；
（3）若对任意x∈［2，＋∞)恒有f(x）>0,试确定a的取值范围．解（1)由x＋错误!－2＞0,得错误!＞0,
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为（0，＋∞)，
当a＝1时,定义域为{x|x＞0且x≠1},
当0＜a＜1时，定义域为｛x｜0＜x＜1－错误!或x＞1＋错误!｝．(2）设g(x)＝x＋错误!－2，当a∈(1，4），x∈[2，＋∞）时，
∴g′（x）＝1－错误!＝错误!〉0。

因此g(x)在[2，＋∞）上是增函数，
∴f（x)在[2，＋∞)上是增函数．
则f(x）min＝f（2)＝ln错误!。

(3）对任意x∈[2,＋∞)，恒有f（x）〉0。

即x＋错误!－2>1对x∈［2，＋∞）恒成立．
∴a〉3x－x2.
令h（x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．
由于h(x)＝－错误!2＋错误!在［2，＋∞）上是减函数，
∴h(x)max＝h（2）＝2.
故a>2时，恒有f(x)〉0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞）。