专题5-1 平面向量的概念及线性运算讲-2018年高考数学

2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第五章平面向量
第01节平面向量的概念及线性运算
【考纲解读】
【知识清单】
1．向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
对点练习： 给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③0a λ＝ (λ为实数)，则λ必为零． 其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
【答案】B
2．平面向量的线性运算 一．向量的线性运算
平行四边形法则
二．向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；
②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①()
()a a λμλμ＝；②() a a a λμλμ＋＝＋；③()a b a b λλλ
＋＝＋.
对点练习：
【2015高考新课标1】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） A.1433AD AB AC =-
+ B.14
33
AD AB AC =- C.4133AD AB AC =
+ D.41
33
AD AB AC =- 【答案】A
【解析】由题知11
()33
AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故
选A. 3．共线向量
共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 对点练习：
设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →
＝a ＋b ，BC →
＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向． 【答案】（1）证明见解析；（2）k ＝1.
【解析】(1)证明：∵AB →
＝a ＋b ，BC →
＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，
∴BD →＝BC →
＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →
.∴AB →
，BD →
共线． 又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，
∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .
∵a ，b 是不共线的两个非零向量，
⎩
⎪⎨
⎪⎧
k －λ＝0，
λk －1＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝1，
λ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝－1，
λ＝－1，
又∵λ>0，∴k ＝1.
【考点深度剖析】
平面向量的概念及线性运算，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现．
【重点难点突破】
考点1 向量的有关概念
【1-1】给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
，，，是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条②若A B C D
件；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【领悟技法】
(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．
(3)几个重要结论
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
【触类旁通】
【变式一】给出下列命题：
①a b ＝的充要条件是||a b |＝|且a b //； ②若向量a 与b 同向，且||a b |>|，则a b >；
③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________． 【答案】⑤
【解析】①当a 与b 是相反向量时，满足||a b |＝|且a b //，但a ≠b ，故①假； ②向量不能比较大小，故②假； ③0与任意向量平行，故③假；
④当a 与b 中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假； ⑤由相等向量定义知，⑤真； ⑥0的相反向量仍是0，故⑥假． 考点2 平面向量的线性运算
【2-1】如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF 等于（ ）
A ．1123A
B AD - B ．11
42AB AD + C ．1132AB DA + D ．12
23
AB AD -
【答案】D 【解析】
根据向量加法、减法的三角形法则可知()()
EF AF AE AB BF AD DE =-=+-+
111
2322
3AB AD AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D.
【领悟技法】
1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 【触类旁通】
【变式一】平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝1
3
CD →，OA →＝a ，OB →
＝b ，用a 、
b 表示OM →、ON →、MN →.
【答案】OM =16a ＋56b, ON =23a ＋23b ，MN ＝12a －16
b . 【解析】BA ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －1
6
b ，
OM OB BM =+＝16a ＋5
6b ，OD ＝a ＋b ，
ON OC CN =+＝12OD ＋1
6
OD
＝23OD ＝23a ＋2
3
b ， MN ON OM =-＝12a －1
6
b .
考点3 共线向量
【3-1】在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝1
3
CA ＋λCB ，则λ等于( )
A.
23
B.
13 C ．－1
3
D ．－
2
3
【答案】A
【领悟技法】
共线向量定理应用时的注意点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 【触类旁通】
【变式一】已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，其中λ∈R，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部
B ．A
C 边所在直线上
C ．AB 边所在直线上
D ．BC 边所在直线上 【答案】B
【解析】由CB PA PB λ=+得CB PB PA λ-=，∴CP PA λ=.则,CP PA 为共线向量，又
,CP PA 有一个公共点P C P A ∴，
、、三点共线，即点P 在直线AC 上．故选B .
【易错试题常警惕】
易错典例： 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若
a ∥
b ，则a 与b 同向或反向；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的序号为________．
易错分析：概念理解不清致误．
正确解析：正解：若|a |＝0，则a ＝0，故①错误；|a |＝|b |只说明a 与b 的模相等，它们的方向不能确定，故②错误；若a ∥b 且a ，b 为非零向量时，a 与b 的方向相同或相反，当其中一个向量为零向量时，另一个向量的方向任意．故③错误；④正确．所以正确命题的序号为④. 答案：④
温馨提醒：(1)易忽略 0与0的区别，把零向量 0误写成0而致误． (2)易将向量与数量混淆而致误，如|a |＝|b |误推出a ＝±b 等． (3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误．
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的 “双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.
【典例】【2017安徽马鞍山二模】已知P ､Q 为ABC ∆中不同的两点，且32PA PB PC ++=0，
QA QB QC ++=0，则:PAB QAB S S ∆∆ 为（ ）
A. 1:2
B. 2:1
C. 2:3
D. 3:2 【答案】A。