专题75 不等式选讲-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)

专题75 不等式选讲
【热点聚焦与扩展】
不等式选讲是高考选考内容之一，在知识上往往与绝对值分段函数结合，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想、逻辑推理能力等. 将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >⇔<
（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）
注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+
（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,n
n
a b a b n n N >>⇒>≥∈
（6
）)02,a b n n N >>⇒>
≥∈
2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤
（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当
()()0a b b c --≥
3、均值不等式
（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12
111n n
n
H a a a =
+++
②
几何平均数：n G
=
③ 代数平均数：12n
n a a a A n
++
+=
④
平方平均数：n Q
=
（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===
（3）三项均值不等式：
①
a b c ++≥2
2
2
3a b c abc ++≥
② 3
3a b c abc ++⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
③
a b c ++≤4、柯西不等式：(
)()()2
22
2222
12121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++
+
等号成立条件当且仅当
12
12
n
n
a a a
b b b ===
或120n b b b ====
（1）二元柯西不等式：(
)()()2
22
2
2a b
c d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =
（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：
()
()()2
2
2
222
121122n n n b b b a b a b a b ++++≥
±+±+
+±
②
()2
222
1
212
12
12n n
n n
a a a a a a
b b b b b b ++++++≥++
+
()()22
22
12121212n
n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭
②式体现的是当各项22
2
12,,,n
a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充.
③ ()2
121212
1122n n n n n
a a a a a
a
b b b a b a b a b +++++
+≥+++ 5、排序不等式：设1212,n n a a a b b b ≤≤
≤≤≤
≤为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，
则有：
121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++
即“反序和≤乱序和≤顺序和” （二）不等式选讲的考察内容：
1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立
2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”
3、解不等式----含有绝对值不等式的解法：
（1）定义法.利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式，体现了分类讨论的思想； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如|f(x)|<|g(x)|）；
（4）图象法或数形结合法. 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【经典例题】
例1.【2018年江苏卷】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求的最小值．
例2.【2017课标II 】已知3
3
0,0,2a b a b >>+=.证明： （1）5
5
()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤.
例3.【2018年新课标I 卷】已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若
时不等式
成立，求的取值范围.
例4.【2018年全国卷Ⅲ】设函数． （1）画出的图像； （2）当
，
，求
的最小值．
例5.【2018年全国卷II】设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
例6.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知函数.
(I)若.解不等式
(Ⅱ)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围
例7.【2018届山东、湖北部分重点中学模拟（二）】设.
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若为奇函数，且，当时，.若有无数多个零点，作出图象并根据图象写出的值（不要求证明）.
例8.【陕西省咸阳市2018年高考5月】已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，且，求的范围．
例9．【2018届山东省潍坊市青州市三模】已知函数.
（1）求的解集；
（2）设函数
，若
对
成立，求实数的取值范围
例10.【2018届福建省三明市第一中学适应性练习（一）】已知函数.
（1）若，求不等式
的解集；
（2）若
的解集为，求的取值范围.
【精选精练】
1．【2017江苏，21】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 2．【2018年辽宁省葫芦岛市二模】已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式
的解集非空，求的取值范围.
3．【2018届江西省临川一中高三模拟】 已知函数 (Ⅰ）若
求函数
的最小值；
(Ⅱ）如果关于的不等式
的解集不是空集，求实数的取值范围.
4．【2018届山东省肥城市高三适应性训练】已知函数.
（1）当时，求不等式
的解集；
（2）若
的解集包含
，求的取值范围.
5．【2018届四川省双流中学考前二模】已知函数
，的解集为
.
(1)求实数的值； (2)若关于的不等式
对
恒成立，求实数的取值范围.
6．【2018届江苏省盐城中学全仿真】已知，且
.
(I)试利用基本不等式求的最小值； (Ⅱ)若实数
满足
，求证：
.
7．【2018届河北省石家庄二中三模】已知函数
（1）求不等式的解集； （2）若
对于
恒成立，求的取值范围.
8．【2018届吉林省吉大附中四模】已知函数
.
(I)当时，解不等式；
(Ⅱ)若关于的不等式的解集为，求证: .
9．【2018届河北省衡水中学三轮复习七】已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的图像与轴没有交点，求实数的取值范围.
10．【2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）】已知函数，关于的不等式
的解集记为.
（1）求；
（2）已知，，求证：.
11．【2018届安徽省淮南市二模】已知函数
(1)解不等式.
(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
12.【2018届河南省南阳市第一中学第十八次考】已知函数，. （1）当时，求不等式的解集；
（2），，求的取值范围.。