高中数学苏教版必修一《3.1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质》课件

判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否 符合 y＝ax(a>0，a≠1)这一结构形式，其具备的特点为：
函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，求 a 的值．
【解】 ∵函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，
a2－3a＋3＝1， ∴a>0， a≠1，
解得 aa＝ >01，或a＝2， a≠1，
∵－1.8>－2.6，
∴(23)－1.8<(23)－2.6.
(2)考察函数 y＝(56)x，它在 R 上是单调减函数．
2
5
∵－3<0，∴
>(6)0＝1，∴
>1.
(3)由指数函数性质知 1.80.4>1.80＝1,0.75.1<0.70＝1，故 1.80.4>0.75.1.
【思路探究】 本题主要考查指数型函数的定义域与值 域，求值域时，关键由定义域、单调性和指数函数的值域求 解．
一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域 A，再由函数的定义域 A 求内函数的值域 B，然后以内函数的 值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如第(4)小题是 由函数 y＝t2＋2t－1 和函数 t＝3x 复合而成，先求得原函数的 定义域为 R，再由 x∈R，得 t>0(即得到内函数的值域 B)，然 后由 t>0，得到原函数的值域为{y|y>－1}．
3．解型如 af(x)>ag(x)(a>0 且 a≠1)的不等式，主要依据 指数函数的单调性，当 a>1 时，可转化为 f(x)>g(x)，当 0<a<1 时，可转化为 f(x)<g(x).
1．下列函数中是指数函数的序号是________． (1)y＝x4；(2)y＝2－x；(3)y＝－2x； (4)y＝(－2)x；(5)y＝πx. 【解析】 (1)(3)不满足指数函数的基本形式，即 y＝ax， 故不是指数函数； (4)中 a＝－2<0，不是指数函数；
对指数函数的概念理解不深刻致误 判断下列函数是否为指数函数． ①y＝2x＋2；②y＝ ；③y＝(13)－x. 【错解】 ①②是指数函数，③不是指数函数． 【错因分析】 忽略了指数函数的解析式是单项式，误 认为①是指数函数；忽略了自变量在指数位置，误认为②是 指数函数；没有将 y＝(13)－x 变形为 y＝3x，误认为③不是指数 函数．
解指数不等式问题，需注意三点： (1)形如 ax>ay 的不等式，借助 y＝ax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论； (2)形如 ax>b 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂 的形式，再借助 y＝ax 的单调性求解； (3)形如 ax>bx 的形式，利用图象求解．
(1)函数 y＝ 的定义域是________，值域是________． (2)函数 y＝(23)－|x|的值域是________，
【解析】 (1)由 x－3≠0，得 x≠3， ∴定义域为{x|x≠3}．
1 又x－3≠0，∴ ≠1， ∴y＝ 的值域为{y|y>0 且 y≠1}． (2)定义域为 x∈R， ∵|x|≥0，∴－|x|≤0， ∴y＝(23)－|x|的值域为{y|y≥1}． 【答案】 (1){x|x≠3} {y|y>0 且 y≠1} (2){y|y≥1}
【防范措施】 对指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的解析式， 要把握如下特点：①自变量在指数位置，②底数是大于 0 且 不等于 1 的常数，③解析式是单项式且系数为 1.
【正解】 ①②不是指数函数，③是指数函数．
1．准确理解指数函数的定义 在指数函数的定义表达式 y＝ax(a>0，且 a≠1)中， ax 前的系数必须是 1，自变量 x 在指数的位置上，否则不 是指数函数． 2．幂的大小比较 幂的大小比较常用的方法有：作差(商)法，函数单调 性法，中间值法以及数形结合法．
∴a＝2.
利用指数函数的单调性比较大小
【思路探究】 因为是两个指数幂比较大小，故解答本 题可利用指数函数的图象与性质或通过寻求第三个数，将两 数进行比较．
【自主解答】 (1)考察函数 y＝(56)x. ∵0<56<1，∴函数 y＝(56)x 在(－∞，＋∞)上是减函数． 又－0.24>－14，
(2)考察函数 y＝(1π)x，∵0<1π<1， ∴函数 y＝(1π)x 在(－∞，＋∞)上是减函数． 又－π<0，∴(1π)－π>(1π)0＝1.
【自主解答】 (1)要使函数有意义，则 x－1≠0，即 x≠1， ∴函数的定义域为{x|x≠1，且 x∈R}．
∵x≠1，x－1 1≠0，∴ ≠1. ∴函数的值域为{y|y>0，且 y≠1}． (2)由 2x－1≥0，得函数的定义域为{x|x≥12}． ∵2x－1≥0，∴ 2x－1≥0，∴y＝5 2x－1≥1. ∴函数的值域为{y|y≥1}．
3.1.2
指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
数学苏教版 高中数学
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念， 掌握指数函数的图象和性质． (2)体会数形结合的思想．
2．过程与方法 (1)能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探 索指数函数图象特征． (2)展示函数的图象，让学生观察，进而研究指数函数的 性质． 3．情感、态度与价值观 (1)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类 重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生 的创新意识． (2)培养学生观察问题，分析问题的能力．
2．两函数图象有无交点？ 【提示】 有交点，其坐标为(0,1). 3.两函数的图象与 x 轴有交点吗？ 【提示】 没有交点，图象在 x 轴上方． 4．两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？ 【提示】 定义域都是 R；值域是(0，＋∞)；函数 y＝ 2x 是增函数，函数 y＝(12)x 是减函数．
●重点、难点 重点：指数函数的概念及性质． 难点：指数函数性质的归纳、概括及应用．
●教学建议 1．关于指数函数的概念的教学 建议教师先复习正整数指数函数的定义，类比此定义， 引出此概念，并分析其定义的特点，以加深认识层次． 2．关于指数函数的图象与性质的教学 建议教师从实例 y＝2x，y＝(12)x 出发，让学生画出其图象， 引导学生对比观察，类比正整数指数函数图象性质，再得出 一般指数函数的图象及性质，在教学过程中要注意多运用现 代教学工具，直观教学．
3．关于函数图象变换的教学 建议教师结合具体函数如 y＝2x，y＝(12)x 的图象让学生观 察总结规律，并给予相应的训练，强调注意点，以强化记忆．
●教学流程
演示结束
1.理解指数函数的定义(重点)．
课标 解读
2．掌控指数函数的图象和性质( 重点)． 3．能够利用指数函数的图象和
性质解题(重点、难点).
比较下列各组数的大小 (1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,1.250.2； (3)1.70.3,0.93.1.
【解】 (1)由于底数 1.7>1，所以指数函数 y＝1.7x 在(－ ∞，＋∞)上是增函数．
又因为 2.5<3，所以 1.72.5<1.73. (2)1.250.2＝0.8－0.2，由于 0<0.8<1，所以指数函数 y＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以 0.8－0.1<1.250.2. (3)由指数函数的性质得 1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90<1，所以 1.70.3>0.93.1.
a>1 图象
0<a<1
定义域 值域
R (0，＋∞)
定点 图象过点 (0,1) ，即 x＝ 0 时 y＝ 1 性
函数值 x>0 时， y>1 ； x>0 时，0<y<1 ； 质
的变化 x<0 时， 0<y<1 x<0 时， y>1
在(－∞，＋∞)上 在(－∞，＋∞) 单调性
是单调 增函数 上是单调减函数
把题设条件“a2x＋1≤ax－5”换成“a2x＋1≤1”，其余条件
不变，求相应问题．
【解】 (1)当 0<a<1 时，由 a2x＋1≤1＝a0，得 2x＋1≥0，
解得 x≥－12. (2)当 a>1 时，由 a2x＋1≤1＝a0，得 2x＋1≤0，解得 x≤－
1 2.
综上所述，当 0<a<1 时，x 的取值范围是{x|x≥－12}； 当 a>1 时，x 的取值范围是{x|x≤－12}.
利用指数函数的单调性解不等式
如果 a2x＋1≤ax－5(a>0，a≠1)，求 x 的取值范围． 【思路探究】 分 a>1 和 0<a<1 两种情况，并结合指数
函数的单调性求解．
【自主解答】 (1)当 0<a<1 时，由 a2x＋1≤ax－5， 知 2x＋1≥x－5，解得 x≥－6. (2)当 a>1 时，由 a2x＋1≤ax－5， 知 2x＋1≤x－5，解得 x≤－6. 综上所述，x 的取值范围是： 当 0<a<1 时，{x|x≥－6}； 当 a>1 时，{x|x≤－6}．
指数函数的概念
下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x； (4)y＝xx；(5)y＝xα(α 是常数)； (6)y＝(2a－1)x(a>12，a≠1)． 【思路探究】 依据是否符合 y＝ax(a>0，a≠1)的形式逐 一给出判断．
【自主解答】 (1)y＝10x 符合定义，是指数函数； (2)y＝10x＋1 中指数是 x＋1 而非 x，不是指数函数； (3)y＝－4x 中 4x 的系数为－1 而非 1，不是指数函数； (4)y＝xx 中底数和指数均是自变量 x，不符合指数函数定 义，不是指数函数． (5)y＝xα 中底数是自变量，不是指数函数． (6)∵a>12且 a≠1，∴2a－1>0 且 2a－1≠1. ∴y＝(2a－1)x(a>12，a≠1)符合指数函数的定义，是指数 函数．
函数 y＝2－x＝(12)x，则(2)中函数是指数函数，(5)显然也 是指数函数，故(2)(5)是指数函数．
【答案】 (2)(5)
2．函数 f(x)＝5x＋1 的值域为________．
【解析】 ∵5x>0，∴5x＋1>1，即函数的值域为(1，＋ ∞)．
【答案】 (1，＋∞)
3．(2013·宿迁高一检测)已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax， 若实数 m、n 满足 f(m)>f(n)，则 m、n 的大小关系为________．
(3)先考察函数 y＝0.8x.
∵0<0.8<1，
∴函数 y＝0.8x 在(－∞，＋∞)上是减函数．
又－2<0，∴0.8－2>0.80＝1.
∵再54考>1察，函∴数函y数＝(y54＝)x(.54)x 在(－∞，＋∞)上是增函数．
1 又－2<0，∴
5 <(4)0＝1.
综上可知 0.8－2>
.
比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以 利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以 利用指数函数图象的变化规律来判断． (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应 通过中间值来比较．
(3)函数的定义域为 R.
1
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴y＝
≥2.
∴函数的值域为{y|y≥12}． (4)函数的定义域为 R. 令 t＝3x，则 t>0，y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，其对称轴为 －1. 当 t>0 时，函数 y＝(t＋1)2－2 为单调增函数， ∴当 t>0 时，y＝(t＋1)2－2>1－2＝－1. ∴函数的值域为{y|y>－1}．
【解析】 ∵0< 52－1<1， ∴f(x)＝ax 在 R 上单调递减，又 f(m)>f(n)，∴m<n. 【答案】 m<n
4．比较下列各组数的大小． (1)(23)－1.8 与(23)－2.6；
(2)
与 1；
(3)1.80.4 与 0.75.1.
【解】 (1)考察函数 y＝(23)x，它在 R 上是单调减函数．
【问题导思】 已知 y＝2x，y＝(13)x. 1．上面两个关系式是函数式吗？ 【提示】 是． 2．这两个函数在形式上有何共同特点？
【提示】 底数为常数，指数为自变量． 一般地，函数 y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定 义域是 R.
指数函数的图象与性质 【问题导思】 1．试作出函数 y＝2x(x∈R)和 y＝(12)x(x∈R)的图象．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ【提示】