河北省邯郸市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

高三数学考试（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数1z i =-+，则2
2
z z z +=+（ ）
A ．-1
B ．1
C ．i -
D ．i
2.
设全集()U =+∞，集合
2
{|142}A x x =<-≤，则U C A =（ ） A
．()+∞ B
．()+∞ C
．()+∞ D
．[)+∞
3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能
进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ） A ．0.56 B ．0.336 C ．0.32 D ．0.224
4.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c .已知sin 20sin ab C B =，2241a c +=，且8cos 1B =，则b =（ ）
A ．6 B
．C
． D ．7
5.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体
积为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6.若函数
2
21,1()1,1x x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,3] B ．[2,)+∞ C ．[1,3]D ．[1,)+∞
7.记不等式组
22220x y x y y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪+≥⎩
，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(,)x y .有下面四个命题：
1p ：P ∀∈Ω，x y -的最小值为6；2p ：P ∀∈Ω，224
20
5x y ≤+≤；
3p ：P ∀∈Ω，x y -的最大值为6；4p ：P ∀∈Ω
，225x y ≤+≤其中的真命题是（ ） A ．
1p ，4p B ．1p ，2p C ．2p ，3p D ．3p ，4p
8.若(12)n x x -的展开式中3x 的系数为80，其中n 为正整数，则(12)n
x x -的展开式中各项系数
的绝对值之和为（ ）
A ．32
B ．81
C ．243
D ．256 9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.若仅存在一个实数(0,)2t π∈，使得曲线C ：sin()(0)
6y x π
ωω=->关于直线x t =对称，
则ω的取值范围是（ ）
A ．17[,)33
B ．410[,)33
C ．17(,]33
D ．410(,]33
11.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --的
H R =
（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
12.设双曲线Ω：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点与右焦点分别为A ，F ，以线段AF 为
底边作一个等腰AFB ∆，且AF 边上的高
h AF
=.若AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线
上，且Ω的离心率为e ，则下列判断正确的是（ ）
A ．存在唯一的e ，且3
(,2)
2e ∈
B ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3
(,2)
2内 C ．存在唯一的e ，且
3
(1,)
2e ∈ D ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3
(,2)
2内
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.在平行四边形ABCD 中，若AD AC BA λμ=+
，则λμ+= ．
14.若圆C ：
22
1()2x y n m ++
=的圆心为椭圆M ：
22
1x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为 ．
15.若2
2cos ()422παβ--13sin()αβ=+-，,(0,)
2π
αβ∈，则tan tan α
β= ．
16.
已
知
集
合
1
{
|}
2
M x x
=≥-，
32{|310}
A x M x x a =∈-+-=，
{|20}B x M x a =∈--=，若集合A B 的子集的个数为8，则a 的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n n n b a -=+，且12
22n n
n S T n ++=+-. （1）求
n n T S -；
（2）求数列{
}2n n b 的前n 项和n R .
18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个
蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：
①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.
（1）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）； （2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为X ，求X 的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.
19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱
111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点，
M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1MN C N =.
（1）证明：
1A E ⊥平面1AC D ；
（2）若NE 与平面11BCC B
所成角的正弦值为，
求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.
20.已知0p >，抛物线1C ：22x py =与抛物线2C ：
2
2y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线
1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与
y 轴交于点C .
（1）若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ，Q
，且
PQ =OP OQ ⋅
；
（2）证明：BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值.
21.已知函数2
()3x f x e x =+，()91g x x =-.
（1）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明；
（2）当0x a <≤时，45()x xe x f x a ++->，且
2
(3)350m m e m m --++=(02)m <<，证明：0a m <<.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线M
的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩
t 为参数，且0t >），以坐标
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数
()413
f x x x =-+--.
（1）求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.
高三数学详细参考答案（理科） 一、选择题
1-5: ABDAC 6-10: ACCBD 11、12：CA 二、填空题
13. 2 14. 22
(1)4x y ++= 15. 2 16. 51[,1)(1,)28---
三、解答题
17.解：（1）依题意可得113b a -=，225b a -=， (21)
n
n b a -=+， ∴
n n T S -1212()()n n b b b a a a =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2(222)n
n =+++⋅⋅⋅+122n n +=+-. （2）∵2n n n S S T =+()n n T S --2n n =-，∴
22n n n
S -=， ∴
1n a n =-.
又21n n n b a -=+，∴
2n
n b n =+. ∴12
2n n
n b n =+， ∴n R n =+212()222n n ++⋅⋅⋅+，则1122n R n =+23112()
222n n +++⋅⋅⋅+， ∴112
2n R n =+21
111()2222n n n +++⋅⋅⋅+-， 故
1
11
22
21
12n n R n +-=+⨯-
2222n n n n n +-=+-. 18.解：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为110，
平均数为
1(10
1
11
++++
1
1++
+
1438
13111=
≈.
（2）X 的可能取值为2，5，10，
(10)
P X =2722
35C =
=
，
(5)
P X =113327935C C C ==， (2)
P X =21342
722435C C C ==， 则X 的分布列为
故
249()253535E X =⨯
+⨯2113103535+⨯=.
这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，
故共有14次抽奖机会.
所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为113
1445.235⨯=元.
19.解：（1）证明：由已知得111A B C ∆为正三角形，D 为棱11A B 的中点，
∴
111C D A B ⊥，
在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，则11AA C D ⊥.
又
1111A B AA A = ，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∴11C D A E ⊥. 易证
1A E AD ⊥，又1AD C D D = ，∴1A E ⊥平面1AC D .
（2）解：取BC 的中点O ，
11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥，1OO BC ⊥，
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则(0,1,0)B ，(0,1,1)E ，
1(0,1,2)C -
，
1,2)2D ，
设11C N C D λ=
3(,,0)
22λ=，
则11NE C E C N =-
3(0,2,1),,0)2λ=-
-3(,2,1)2λ=--，
易知(1,0,0)n =
是平面
11BCC B 的一个法向量，
∴
cos ,NE n <>
=
=，解得13λ=.
∴3(,1)2NE =- ，112C M C D λ=
=，11BM BC C M =+
1,2)=-，，
∴cos ,NE BM <>
13
2---=
=， ∴异面直线NE 与BM
所成角的余弦值为40
.
20.（1）解：由212y x x py =+⎧⎨=⎩，消去y 得2220x px p --=.
设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
则122x x p +=，122x x p =-.
∴
PQ =
=0p >，∴1p =.
∴
1212OP OQ x x y y ⋅=+
1212(1)(1)x x x x =+++121221x x x x =+++4211=-++=-. （2）证明：由22
22y px x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p .
设直线AM ：12(2)y p k x p -=-，与2
2x py =联立得221124(1)0x pk x p k ---=. 由222111416(1)0p k p k ∆=+-=，得
2
1(2)0k -=，∴12k =. 设直线BM ：22(2)y p k x p -=-，与2
2y px =联立得
222224(1)0k y py p k ---=. 由
22222416(1)0p p k k ∆=+-=，得2
2(12)0k -=，∴
21
2k =
.
故直线AM ：22(2)y p x p -=-，直线BM ：1
2(2)2y p x p -=
-，
从而不难求得(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ，
∴2BOC S p ∆=，2
3ABM S p ∆=，∴B O C ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为
2221
32p p p =
-（为定值）.
21.（1）解：()()f x g x >. 证明如下：
设()()()h x f x g x =-2391x e x x +-+，∵
'()329x h x e x =+-为增函数， ∴可设0'()0h x =，∵'(0)60h =-<，'(1)370h e =->，∴0(0,1)x ∈.
当
0x x >时，'()0h x >；当0x x <时，'()0h x <.
∴
min 0()()h x h x =02
00391x e x x =+-+， 又003290x e x +-=，∴
00329x e x =-+， ∴
2min 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)x x =--. ∵0(0,1)x ∈，∴00(1)(10)0x x -->， ∴
min ()0h x >，()()f x g x >.
（2）证明：设
()45()x x xe x f x ϕ=++-2
(3)45(0)x x e x x x =--++>，
令
'()(2)(2)0x
x x e ϕ=--=，得1ln 2x =，22x =， 则()x ϕ在(0,ln 2)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.
2(2)92e ϕ=-<，设()2(ln 22)t t ϕ=<<，
∵
2(3)350m m e m m --++=(02)m <<， ∴
2(3)45m m e m m m --++=(02)m <<，即()m m ϕ=(02)m <<. 当0a t <<时，()(0)2x a ϕϕ>=>，则
45()x
xe x f x a ++->. 当t a m ≤≤时，min ()()x a ϕϕ=，∵
45()x xe x f x a ++->，∴()a a ϕ>，∴t a m ≤<. 当2m a <<或2a ≥时，不合题意. 从而0a m <<
.
22.解：（1）∵y t x =
，∴
x x =
，即2)y x -，
又0t >
0>，∴2x >或0x <，
∴曲线M
的普通方程为2)y x =-（2x >或0x <）.
∵4cos ρθ=，∴24c o s ρρθ=，∴
22
4x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=.
（2
）由2
22)
40y x x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x -+=，
∴11x =（舍去），2
3x =，
则交点的直角坐标为
，极坐标为)6π
. 23.解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282x x ≥⎧⎨-≤⎩
， 解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[0,5].
（2）()413f x x x =-+--22,10,1428,4x x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩， 作出函数()f x 的图象，如图所示，
直线2y kx =-过定点(0,2)C -，
当此直线经过点(4,0)B 时，12k =；
当此直线与直线AD 平行时，2k =-. 故由图可知，1(,2)[,)2k ∈-∞-+∞ .。