2023年广东省河源市源城区中考数学二模试卷(含解析)

2023年广东省河源市源城区中考数学二模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）
的倒数是（ ）A ．﹣2023B ．2023C ．D ．2．（3分）俄罗斯和乌克兰的战争从去年2月24日开始到现在还在持续，战争持续的主要原因是：以美国为首的北约在不断拱火，据不完全统计仅美国就先后向乌克兰提供军火价值275.8亿美元，275.8亿用科学记数法如何表示（ ）
A ．2.758×108
B ．2.758×109
C ．2.758×1010
D ．2.758×1011
3．（3分）如图的几何体是一个空心圆柱，以下给出这个几何体的两种视图正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（3分）袋子中装有标号为1，1，2，3，4，2，4，4的完全相同的八个小球，从中任取一个，则（ ）
A ．最有可能取到4号球
B ．最有可能取到2号球
C ．最有可能取到3号球
D ．取4种球的可能性一样大
5．（3分）如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）
2023
1-20231
2023
1
-
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（3分）方程x（x﹣3）＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x1＝0，x2＝2C．x1＝0，x2＝3D．x＝3
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝5，则x1x2的值是（ ）
A．1B．﹣1C．5D．0
8．（3分）“某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程
，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成
B．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成
D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝cx+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点
E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x．下列说法正确的有几个（ ）
（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；
（2）＝；
（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；
（4）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：3a3﹣2ab2＝ ．
12．（3分）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则∠BOC ＝ ．
13．（3分）当a＞b时，关于x的不等式组的解集为 ．
14．（3分）如图，△AOD和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADO＝∠ACB＝90°，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点B，则S△ADO﹣S△ABC＝ ．
15．（3分）观察以下等式：
第1个等式：（2×2+1）2﹣（1×4）2＝（2×1+1）2；
第2个等式：（3×4+1）2﹣（2×6）2＝（2×2+1）2；
第3个等式：（4×6+1）2﹣（3×8）2＝（2×3+1）2；
第4个等式：（5×8+1）2﹣（4×10）2＝（2×4+1）2；
……按照以上规律，第2023个等式是： ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）先化简，再求值：（x+2﹣）+，其中x2+x﹣5＝0．
18．（8分）为了加强中华优秀传统文化教育，培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括A（经典诵读），B（我爱戏曲），C（中华功夫），D（民族乐器）四门课程．校学生会、团委随机抽取了部分学生进行调查，以了解学生最喜欢哪一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，图中扇形“C”的圆心角度是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“经典诵读”课程，现准备从这四
人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人刚好是甲和乙的概率．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C （3，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别是点A1，B1，C1）；
（2）以点O为位似中心在第四象限内画出△A1B1C1的位似△A2B2C2，使得△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为1：2．
20．（9分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，﹣1）、B （1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
21．（9分）为了提高学生体育中考成绩，某学校打算购买A，B品牌实心球用于学生训练，若一次购买A品牌10个和B品牌5个，需花费350元；若一次购买A品牌4个和B品牌7个，需花费290元．
（1）求A品牌实心球和B品牌实心球的单价．
（2）现学校决定一次性购买A，B品牌实心球共50个，要求A品牌实心球数量不超过B
品牌实心球数量的倍，问如何安排购买方案，使学校购买的总费用最少？最少为多少元？
22．（12分）△ABC内接于⊙O，I为其内心，AI的延长线交⊙O于D，连OD交BC于E．
（1）求证：OD⊥BC；
（2）若∠BOC＝∠BIC，求∠BAC的度数；
（3）若DE＝2，BE＝4，
①求⊙O的半径r．
②当点A在优弧上移动时，OI是否有最小值，如有请求出最小值，如没有请说明理
由．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且∠OBC＝30°．OB＝3OA．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一动点，P点横坐标为m，过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，写出线段PF的长度l关于m的函数关系式；
（3）过点P作PD⊥BC于点D，当△PDF的周长最大时，求出△PDF周长的最大值及此时点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：
的倒数是﹣2023，故选：A ．
2． 解：275.8亿用科学记数法表示为275.8亿＝27500000000＝2.758×1010．
故选：C ．
3． 解：从正面看该几何体，是两个同心圆，从上面该几何体，是一个矩形，矩形的内部有两条纵向的虚线．
故选：D ．
4． 解：∵袋子中装有标号为1，1，2，3，4，2，4，4的完全相同的八个小球，∴取到1号球的可能性为＝；
取到2号球的可能性为＝；
取到3号球的可能性为；
取到4号球的可能性为；
故选：A ．
5． 解：分三种情况，如图：
∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，
∴∠ABC ＝90°﹣∠BAC ＝60°，
当BA ＝BP 时，以B 为圆形，BA 长为半径画圆，交直线BC 于P 1，P 2两个点，
2023
1
∵BA＝BP2，∠ABC＝60°，
∴△ABP2是等边三角形，
∴AB＝BP2＝AP2，
当AB＝AP时，以A为圆形，AB长为半径画圆，交直线BC于P2，
当PA＝PB时，作AB的垂直平分线，交直线BC于P2，
综上所述，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有2个，
故选：B．
6．解：∵x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故选：C．
7．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝4﹣m，x1•x2＝m，
又x1+x2＝5，
∴4﹣m＝5，
∴m＝﹣1，则x1•x2＝﹣1，
故选：B．
8．解：设实际每天整修道路xm，则（x﹣5）m表示：实际施工时，每天比原计划多修5m，
∵方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．
故选：B．
9．解：A、由抛物线y＝ax2+x+c，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知a＜0，c＞0，由直线y＝cx+a可知，图象过二，三，四象限c＜0，a＜0，故此选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2+bx+c，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知a＜0，c＜0，由
直线y＝cx+a可知，图象过一，二，三象限，c＞0，a＞0，故此选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2+bx+c，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知a＞0，c＜0，由
直线y＝cx+a可知，图象过一，二，四象限，c＜0，a＞0，故此选项符合题意；
D、由抛物线y＝ax2+bx+c，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知a＞0，c＞0，由
直线y＝cx+a可知，图象过一，三，四象限，c＞0，a＜0，故此选项不符合题意；
故选：C．
10．解：（1）如图，作EM⊥BC，垂足为点M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∵BC＝13，
∴EF＝，
∴四边形PQCD为平行四边形时，EF＝PD＝x＝；
（2）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴＝，
∵EF∥BC，
∴＝，
又∵BQ＝2DP，
∴＝；
（3）在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∵BC＝13，
∴EF＝，
又∵PD∥CG，
∴＝＝，
∴CG＝2PD．
∴CG＝BQ，即QG＝BC＝13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴＝＝＝，
∵AB＝12，
∴EM＝8．
∴S＝（+13）×8＝；
（4）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ＝PG时，QH＝GH＝QG＝，
∴2x+＝11﹣x，
解得x＝，
（ii）当PQ＝GQ时，PQ＝＝13，
解得x＝2或x＝，
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为、2或．所以正确的结论有4个．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：原式＝a（3a2﹣2b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
12．解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝160°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣160°＝20°．
故答案为：20°．
13．解：∵a＞b，
∴关于x的不等式组的解集为b＜x＜a．
故答案为：b＜x＜a．
14．解：设△OAD和△ABC的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（﹣a﹣b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴（﹣a﹣b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝6．
∴S△OAD﹣S△BAC＝﹣a2+b2＝（﹣a2+b2）＝6＝3．
故答案为：3．
15．解答：第n个等式是：[（n+1）×2n+1]2﹣[n×2（n+1）]2＝（2n+1）2．当n＝2023时，得（2024×4046+1）2﹣（2023×4048）2＝（2×2023+1）2．故答案为：（2024×4046+1）2﹣（2023×4048）2＝（2×2023+1）2．三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：原式＝2﹣﹣2+1+2×
＝2﹣﹣2+1+2
＝3﹣．
17．解：原式＝÷（﹣）+
＝÷
＝﹣+
＝
＝，
∵x2+x﹣5＝0，
∴x2+x＝5，
∴原式＝＝﹣．
18．解：（1）该校本次调查的学生数为42÷42%＝100 （名）；
图中扇形“C”的圆心角度是360°×（1﹣42%﹣12%﹣26%）＝72°；
故答案为：100，72°；
（2）C项目的人数为100﹣42﹣12﹣26＝20（名），
补全条形图为：
（3）树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中出现甲和乙的结果数为2，
所以恰好选到甲和乙的概率＝＝．
19．解：（1）如图△A1B1C1，即为所求.
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
20．解：（1）设反比例函数解析式为y＝，
∵反比例的图象过点A（﹣2，﹣1），即﹣1＝，
∴a＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
又∵点B（1，n）在函数y＝的图象上，
∴B（1，2），
又∵一次函数y＝kx+b过A、B两点，
即，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1．
21．解：（1）设A品牌实心球和B品牌实心球的单价分别为a元、b元，
答：A品牌实心球和B品牌实心球的单价分别为20元、30元；
（2）设购买A品牌的实心球x个，则购买B品牌的实心球（50﹣x）个，费用为w元，w＝20x+30（50﹣x）＝﹣10x+1500，
∵A品牌实心球数量不超过B品牌实心球数量的倍，
∴x≤（50﹣x），
解得，x≤30，
∴当x＝30时，w取得最小值，此时w＝1200，50﹣x＝20，
答：当购买A品牌实心球30个，B品牌实心球20个时，使学校购买的总费用最少，最少为1200元．
22．（1）证明：∵I为△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC；
（2）解：如图所示：
∵I为△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI＝∠ABC，∠BCI＝∠ACB，
∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝180°﹣（90°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，∵∠BOC＝2∠BAC，
∴2∠BAC＝90°+∠BAC，
解得：∠BAC＝60°；
（3）解：①在Rt△BOE中，BE＝4，OE＝OD﹣DE＝r﹣2，
由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径r＝5；
②OI有最小值为5﹣2，理由如下：
当O在AD上时，OI有最小值，如图3所示：
由（1）得：，
∴∠BDC＝∠CAD＝∠BAD，
∵∠DIB＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DI＝DB＝＝＝2，
∴OI＝OD﹣DI＝5﹣2，
即OI的最小值为5﹣2．
23．解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+3的表达式知：C（0，3），∴OC＝3，
∵∠OBC＝30°，
∴OB＝＝3，
∴B（3，0），
又OB＝3OA，即3＝3OA，
∴OA＝，
∴A（﹣，0），
将A（﹣，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，
解得：，
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）延长PF交x轴于点E，如图：
设直线BC表达式为y＝sx+t，将B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得，
∴直线BC的表达式为y＝x+3，
设点P（m，），则点F（m，m+3），
∴PF＝l＝
＝m﹣3
＝；
（3）∵∠OBC＝30°，
∴∠BFE＝60°＝∠PFD，
∵PD⊥BC，
∴∠P＝30°，
在Rt△PDF中，PD＝cos30°⋅PF＝PF，DF＝sin30°⋅PF＝PF，
∴△PDF的周长＝PD+PF+DF＝（+1+）PF＝PF，
∴PF最大时，△PDF的周长最大，
而由（2）知：PF＝l＝＝﹣（x﹣）2+，
∴当m＝时，l最大＝，即PF最大为，
此时，△PDF的周长＝，
∴点P的坐标为（，），△PDF的周长最大值为．。