人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1(第1课时)等差数列的概念及通项公式【课件】
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类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究
从函数角度认识等差数列
思考：
观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示： 由于 = + − = + ( − )，
所 以 当 ≠ 0 时 ， 等 差 数 列 { } 的 第 n 项 是 一 次 函 数 = +
个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.
（符号语言） +1 − = 为常数， ∈ ∗
概念解析：
(1) “每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，
强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(2) 定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则
= 1 + − 1
思考：上面的推导采用了不完全归纳法，还有其他的方法吗？怎么做?
提示：还可以用累加法
解：因为
− = ，
− = ，
− = ，
……
− − = ( ≥ )
将上述（n-1）个式子相加得
− = − ( ≥ ) ，
如果用{ }表示数列 ①，那么有
− = ， − = ，…，
− = .
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
数列②~④也有这样的取值规律.
新知讲解
等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这
25，24，23，22，21. ③
新知导入
4. 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按
照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b（=
付给银行的利息（单位：元）依次为
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
）元，每月支
新知讲解
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
4.2.1 等差数列的概念及
通项公式
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
数列是一种特殊的函数.
在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律
的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深
了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非
常有用的函数模型.
所以 = + − ( ≥ ) .
当n=1时，
上 式 为 = + − = ，
符合上式，
所以 = + − ( ∈ ∗ )
合作探究
已知等差数列{ }的首项为 ，公差为d
递推公式
通项公式
an－an－1＝d (n≥2)
= + = + + = + ，
归纳可得
……
= + − ( ≥ ).
当n=1时，上式为 = + − =
这就是说，上式当n=1时也成立.
合作探究
等差数列的通项公式
首项为 ，公差为d的等差数列{ }的通项公式为
+
首项为 ( + ), 公差为b
合作探究
例1
（1）已知等差数列{ }的通项公式为 = − ，求{ }的公差和首项；
事实上，公差 ≠ 的等差数列{ }的图象是
点(n, )组成的集合，这些点均匀分布在直线
= + −
上.
反之，任给一次函数 = +
(k, b为常数)，
则
= + ， = + ， … , = +
构成一个等差数列
25，24，23，22，21.
③
38，40，42，44，46，48.
②
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
思考： 你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
对于①，我们发现
换一种写法，就是
Hale Waihona Puke 18=9+9 ， 27=18+9 ， …， 81=72+9 ，
18-9=9，27-18=9，…，81-72=9.
探究:
等差数列的通项公式
你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{ }的首项为 ，公差为d.根据等差数列的定义，
可得，
+ − = ，
所以,
于是
− = ， − = ， − = ，… .
= + ，
= + = + + = + ，
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究
从函数角度认识等差数列
思考：
观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示： 由于 = + − = + ( − )，
所 以 当 ≠ 0 时 ， 等 差 数 列 { } 的 第 n 项 是 一 次 函 数 = +
个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.
（符号语言） +1 − = 为常数， ∈ ∗
概念解析：
(1) “每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，
强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(2) 定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则
= 1 + − 1
思考：上面的推导采用了不完全归纳法，还有其他的方法吗？怎么做?
提示：还可以用累加法
解：因为
− = ，
− = ，
− = ，
……
− − = ( ≥ )
将上述（n-1）个式子相加得
− = − ( ≥ ) ，
如果用{ }表示数列 ①，那么有
− = ， − = ，…，
− = .
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
数列②~④也有这样的取值规律.
新知讲解
等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这
25，24，23，22，21. ③
新知导入
4. 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按
照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b（=
付给银行的利息（单位：元）依次为
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
）元，每月支
新知讲解
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
4.2.1 等差数列的概念及
通项公式
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
数列是一种特殊的函数.
在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律
的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深
了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非
常有用的函数模型.
所以 = + − ( ≥ ) .
当n=1时，
上 式 为 = + − = ，
符合上式，
所以 = + − ( ∈ ∗ )
合作探究
已知等差数列{ }的首项为 ，公差为d
递推公式
通项公式
an－an－1＝d (n≥2)
= + = + + = + ，
归纳可得
……
= + − ( ≥ ).
当n=1时，上式为 = + − =
这就是说，上式当n=1时也成立.
合作探究
等差数列的通项公式
首项为 ，公差为d的等差数列{ }的通项公式为
+
首项为 ( + ), 公差为b
合作探究
例1
（1）已知等差数列{ }的通项公式为 = − ，求{ }的公差和首项；
事实上，公差 ≠ 的等差数列{ }的图象是
点(n, )组成的集合，这些点均匀分布在直线
= + −
上.
反之，任给一次函数 = +
(k, b为常数)，
则
= + ， = + ， … , = +
构成一个等差数列
25，24，23，22，21.
③
38，40，42，44，46，48.
②
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
思考： 你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
对于①，我们发现
换一种写法，就是
Hale Waihona Puke 18=9+9 ， 27=18+9 ， …， 81=72+9 ，
18-9=9，27-18=9，…，81-72=9.
探究:
等差数列的通项公式
你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{ }的首项为 ，公差为d.根据等差数列的定义，
可得，
+ − = ，
所以,
于是
− = ， − = ， − = ，… .
= + ，
= + = + + = + ，