2019年高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时达标68坐标系理

2019年高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时达标68坐标系理
[解密考纲]高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，两种不同方式的方程的互化是考查的热点，常以解答题的形式出现．
1．求椭圆x 2
4
＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝12x ，y ′＝y
后的曲线方程．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，
y ′＝y
得到⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2x ′，
y ＝y ′.①
将①代入x 24＋y 2
＝1得4x ′2
4
＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2
＝1.
因此椭圆x 2
4
＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2
＝1. 2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．
(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2)圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关
系．
解析：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线l 上，得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝a ，则a ＝2，故直线l 的方程可化为ρsin θ＋ρcos θ＝2，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.
(2)消去参数α，得圆C 的普通方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，圆心C 到直线l 的距离d ＝|1＋0－2|12＋12
＝1
2
<1，所以直线l 与圆C 相交． 3．(2017·海南模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π
4
(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．
(1)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．
解析：(1)曲线C 2：θ＝π4
(ρ∈R )表示直线y ＝x ，曲线C 1：ρ＝6cos θ 即ρ2
＝6ρcos
θ，所以x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2
＝9.
(2)∵圆心(3,0)到直线的距离d ＝32
2，r ＝3，
∴弦长AB ＝2r 2
－d 2
＝3 2. ∴弦AB 的长度为3 2.
4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2
＝
21＋sin 2
θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝4
2sin θ＋cos θ
. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；
(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．
解析：(1)根据 ρ2
＝x 2
＋y 2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的直角坐标方程为
x 2＋2y 2＝2，直线l 的直角坐标方程为x ＋2y ＝4.
(2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离为
d ＝
|2sin θ＋2cos θ－4|3
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－43
≥
23
，
当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π
4(k ∈Z )时取等号．
∴Q 点到直线l 距离的最小值为
23.
5．(2017·泰州模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若直线的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝3 2.
(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)已知P 为椭圆C ：x 216＋y 2
9＝1上一点，求P 到直线的距离的最大值．
解析：(1)把直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32展开得
ρ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2
2
sin θ－22cos θ
＝32，化为ρsin θ－ρcos θ＝6，得到直角坐标方程x －y ＋6＝0.
(2)∵P 为椭圆C ：x 2
16＋y 2
9
＝1上一点，
∴可设P (4cos α，3sin α)，利用点到直线的距离公式得d ＝
|4cos α－3sin α＋6|
2＝
α－φ－6|2
≤|－5－6|2
＝112
2.
当且仅当sin(α－φ)＝－1时取等号． ∴P 到直线的距离的最大值是112
2
.
6．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，求△AOB (其中O
为极点)的面积．
解析：由题意知A ，B 的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB 的面积S △AOB ＝
12OA ·OB ·sin∠AOB ＝12×3×4×sin π6
＝3.
7．在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2，求曲线C 2的极坐标方程．
解析：设 P (ρ1，θ)，M (ρ2，θ)，
由|OP |·|OM |＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝4
ρ1.
∵M 是C 1上任意一点，∴ρ2sin θ＝2， 即
4
ρ1
sin θ＝2，ρ1＝2sin θ. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
8．(2017·吉林模拟)在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π
4(ρ∈R )
交于A ，B 两点．
(1)求以AB 为直径的圆C 2的极坐标方程；
(2)在圆C 1上任取一点M ，在圆C 2上任取一点N ，求|MN |的最大值．
解析：(1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意得圆
C 1：ρ＝4cos θ化为ρ2＝4ρcos θ，
∴圆C 1的直角坐标方程x 2
＋y 2
－4x ＝0. 直线l 的直角坐标方程y ＝x .
由⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－4x ＝0，y ＝x ，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝2，
∴A (0,0)，B (2,2)，
从而圆C 2的直角坐标方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝2， 即x 2
＋y 2
＝2x ＋2y .
将其化为极坐标方程为：ρ2
＝2ρcos θ＋2ρsin θ，
即ρ＝2cos θ＋2sin θ.
(2)∵C1(2,0)，r1＝2，C2(1,1)，r2＝2，
∴|MN|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝2＋2＋2＝22＋2.。