确定性时间序列模型

原序列项数为 12 项，则移动平均所的趋势值项数为 10 项，首尾各丢失 1 项；② 偶数项移动平均时，趋势值项数＝原数列项数－K，这样首尾各少
K 项。所以，移动平均法使数列首尾各丢失部分信息量，而且移动平均时间越长， 丢失项数越多。因此，移动平均时间不宜过长。 （二）指数平滑法 指数平滑是另一种计算长期变动趋势的方法。移动平均法在逐期进行移动平 均时，将每个样本点的作用等同对待。但在时间序列中，越靠近当前时刻的观察 值越能反映当前时刻的性质，而远离当前时刻的观察值对当前时刻的代表性越 弱。指数平滑法在计算移动平均时引入一个权数使离当前时刻越近的样本点所起
Y = S ⋅C ⋅ I ； T
若再求出季节变动 S，用 S 去除，则可得不含长期趋势及季节变动的时间序 列：
Y /T =C⋅I S
（2）
如果时间序列中仅含长期趋势和季节变动两个因素， 则可以按以上相除的方
法将两种因素分解开来分别进行分析。 2、加法模型 假设四因素变动相互独立时，则时间序列中的观察值是四个构成因素之和， 即为加法模型：
二、时间序列的分解模型
进行时间序列分析的一个重要前提，就是了解四种变动因素：长期趋势 T、 季节变动 S、循环变动 C 和不规则变动 I 以什么样的形式相结合（假设在时间数 列中均包含有四种因素。当然，实际中并非如此） 。把这四个影响因素同时间序 列的关系用一定的数学关系式表示出来，就构成了时间序列的分解模型。将各影 响因素分别从时间序列中分离出来并加以测定的过程，称为时间序列的构成分 析。 按四种因素对时间序列的影响方式不同，时间序列可分解为多种模型，如乘 法模型、加法模型、混合模型等。各种模型都是在一定的假定情况下成立的。其
除其他成分变动， 从而揭示出数列长期直线趋势的方法。 当现象的逐期增长量 （一 次差）大体相同时，可以考虑拟合直线趋势方程。直线趋势方程的一般形式为：
ˆ Yt = a + b ⋅ t ˆ 其中： Yt 为时间数列 Yt 趋势值；
t 为时间
（6）
ˆ a 为截距项，是 t=0 时 Yt 的初始值; ˆ b 为趋势线斜率，表示时间 t 变动一个单位时趋势值 Yt 的平均变动数
t ＝1，2，……n
（4）
【例】表 1 是某厂各月生产机器台数的数据，采用 3 项、4 项和 5 项移动平 均法分别进行修匀，计算其各个移动平均数，如表 1 所示，图 2 是其图形。
表1
某机器厂各月生产机器台数的移动平均数 月份 机器台数 3 项移动平均 5 项移动平均
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
时间序列的变动一般都是以上四种构成要素或其中一部分要素的影响而形成
600000 500000 400000 300000 200000 100000 0
700000
图1
某航线每月旅客人数93－2004 年每月旅客人数时间序列数据的图形，可 以看出， 它包含明显的长期增长趋势和季节变动趋势。 时间序列分析的任务之一， 就是对时间序列中的这几种构成要素进行统计测定和分析，从中划分出各种要素 的具体作用，揭示其变动的规律和特征，为认识和预测事物的发展提供依据。
41 42 52 43 45 51 53 40 51 49 56 54
－ 45 45.7 46.7 46.3 49.7 48 48 46.7 52 53 －
－ － 44.6 46.6 48.8 46.4 48 48.8 49.8 50 － －
60
55
50
机器台数（台）
45
40
35
30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.移动平均后的数列，比原数列项数要少。移动时采用的项数愈多，虽能更好 地修匀数列，但所得趋势值的项数就越少。一般情况下，移动平均项数(设为 K) 与趋势值的项数关系为： ①奇数项移动平均时， 趋势值的项数＝原数列项数-K+l， 这样首尾各少
K −1 项，共丢失 K－1 项。如上例中，3 项移动平均时，即 K＝3， 2 K 项，共丢失 2
P SE
01 20 AY M 00 20 P SE 00 20 N JA 99 19 AY M 98 19 P SE 98 19 N JA 97 19 AY 6 M 9 19 P SE 96 19 N JA 95 19 AY M 94 19 P SE 94 19 N JA 93 19 AY M 92 19 P SE 92 19 N JA 91 19 AY M 90 19 N JA 90 19
中最常用的是乘法模型。 1、乘法模型 假设四因素变动相互交叉影响时，则时间序列中的观察值是四个构成因素之 积，即为乘法模型：
Y = T ⋅ S ⋅C ⋅ I
其中： Y ——时间序列中的指标数值。
（1）
根据这个模型，要求出某个构成因素的影响，用其余构成部分除时间序列即 可。例如，当求出长期趋势 T 以后，以 Y 除以 T，则可得不含长期趋势的派生时 间序列：
变动那样有明显的按月或按季的固定周期规律，循环变动的规律性不甚明显，通 常较难识别。 4、不规则变动(I) 不规则变动指现象受众多偶然因素影响，而呈现的无规则的变动。包括由突 发的自然灾害、意外事故或重大政治事件所引起的剧烈变动，也包括大量无可名 状的随机因素干扰造成的起伏波动。是时间序列长期趋势、季节变动和循环变动 后余下的变动。
确定性时间序列模型
一、时间序列的构成要素
（一）构成要素 现象在其发展变化过程中，每一时刻都受到许多因素的影响。在诸多影响因 素中，有的是长期起作用的，对事物的发展变化发挥决定性作用的因素；有的只 是短期起作用，或者只是偶然发挥非决定性作用的因素。在分析时间序列的变动 规律时，事实上不可能对每一个影响因素都一一划分开来，分别去作精确分析。 但是，我们可以将众多影响因素，按照对现象变化影响的类型，划分为若干种时 间序列的构成要素，然后，对这几类构成要素分别进行分析，以揭示时间序列的 变动规律性。影响时间序列的构成要素通常可归纳为四种：即长期趋势、季节变 动、循环变动、不规则变动。
月份 实际值 3项移动平均 4项移正平均
应用移动平均法分析长期趋势时，应注意下列几个问题： 1.用移动平均法对原时间序列修匀，修匀程度的大小，与平均的项数多少有 关。例如，用 5 项移动平均比 3 项移动平均效果要好些(如图 3)。这就是说，修 匀的项数越多，效果越好，即趋势线越为平滑。 2.移动平均法所取项数的多少，应视资料的特点而定，原时间数列如果有较 明显的周期性波动，则移动平均的项数要以周期的长度为准。事实证明，当移动 平均的时期长度等于周期长度整数倍时，就能把周期性的波动完全抹掉，从而使 时间数列只显露长期趋势的影响。例如，当数列资料为季度资料时，可采用四季 移动平均；若根据各年的月份资料，则应取 12 项移动平均，这样可消除季节性 变动的影响，能较准确地揭示现象发展的长期趋势。 3.移动平均法，采用奇数项移动平均比较简单，一次即得趋势值。采用偶数 项移动平均数，由于偶数项移动平均数都是在两项中间位置，需进行一次“移正 平均” ，即将第一次移动平均值再进行两项移动平均，得出移正值时间序列，以 显示出现象变动趋势。
的作用越大。用数学公式表示指数平滑的递推公式为：
Ft +1 = αX t + (1 − α ) Ft
（5）
其中， X t 表示时间序列第 t 时期的实际值， Ft 表示第 t 期的预测值， α 称 为平滑系数， （1- α ）称为阻尼系数，是介于 0 到 1 之间的数。 系数 α 的大小决定了平滑的程度，它与移动平均的间隔有类似的性质，适当 选取 α 值是决定指数平滑结果优劣的重要因素。一般通过多次试算，然后比较各 种 α 的趋势线以选出一个最优值。 需要注意的是，以指数平滑预测的结果存在滞后偏差，即当时间序列呈下降 趋势时，预测值往往偏高；反之，则偏低。另外，一次指数平滑预测只能做下一 期的预测。 （三）直线趋势方程拟合法 直线趋势方程拟合法是利用直线回归的方法对原时间序列拟合线性方程，消
Y = T ⋅ S + I ， Y = S + T ⋅ C ⋅ R 等。
在实际工作中，具体应用哪种模型进行分析，需根据研究对象的性质、目的 和掌握的资料等情况而定，但一般以乘法模型应用较多。 对时间数列各个构成因素的分析，通常以长期趋势和季节变动为主。
三、长期趋势测定
对长期趋势的测定和分析， 是时间序列分析的重要工作， 其主要目的有三个： 一是为了认识现象随时间发展变化的趋势和规律性；二是为了对现象未来的发展 趋势做出预测；三是为了从时间数列中剔除长期趋势成分，以便于分解出其他类 型的影响因素。 根据表现形态的不同，现象发展的变动趋势有线性趋势（Linear trend）和非 线性趋势（Non-linear trend） 。下面分别介绍它们的一些重要的分析方法。
Y =T +S +C + I
（3）
同样，当欲求出某种因素变动的影响时，则可用相减的形式。如当长期趋势 T 测定出来后，用 Y 减去 T，即得不含长期趋势 T 的派生时间序列。如果此时时 间序列只受两因素(T 和 S)的影响，则 Y—T＝S，得到只含季节变动的时间数列， 可直接分析季节变动这一因素了。 3、混合模型
动起到一定的修匀作用，削弱了原序列中短期偶然因素的影响，从而呈现出现象 发展的变动趋势。 设观测的时间序列为 y1 ， y 2 ，…， y n ，则 k (1 < k < n) 期的一次移动平均 的计算公式为：
M t(1) =
1 ( y t + y t −1 + L + y t − k +1 ) k
1、长期趋势（T） 长期趋势是时间序列的主要构成要素，它是指现象在较长时期内持续发展变 化的一种趋向或状态。可能呈现出不断向上增长的态势，也可能呈现为不断降低 的趋势，是受某种固定的起根本性作用的因素影响的结果。例如，中国改革开放 以来经济持续增长，表现为国内生产总值逐年增长的态势。 2、季节变动(S) 本来意义上的季节变动是指受自然因素的影响，在一年中随季节的更替而发 生的有规律的变动。现在对季节变动的概念有了扩展，对一年内或更短的时间内 由于社会、政治、经济、自然因素影响，形成的以一定时期为周期的有规则的重 复变动，都称为季节变动。例如，农业产品的生产、某些商品的销售量变动都呈 现出季节性的周期变动。 3、循环变动(C) 循环变动指某种现象在比较长的时期内呈现出的有一定规律性的周期性波 动。循环变动与长期趋势不同，它不是单一方向的持续变动，而是有涨有落的交 替波动。循环变动与季节变动也不同，循环变动的周期长短很不一致，不像季节
（一）线性趋势
线性趋势也称直线趋势，是指现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降 的线性变化规律。线性趋势的分析方法有很多，这里只介绍常用的几种。 （一）移动平均法 移动平均法是趋势变动分析的一种较简单的常用方法。当时间序列的变动趋 势为线性状态时，可采用简单移动平均法进行描述和分析。该方法的基本思想和 原理是，通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，分别 计算出一系列移动平均数，由这些平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波
根据所确定的趋势线计算出各个时期的趋势值，从而观察和描述现象发展的变动
a 、 b 参数估计公式为：
⎧ n∑ tY − ∑ t ∑ Y ⎪b = n∑ t 2 − (∑ t ) 2 ⎨ ⎪ a =Y −b⋅t ⎩
（二）非线性趋势 当现象的长期趋势不是线性的，但又有一定的规律性，这时称现象的长期趋 势为非线性趋势。若现象呈现出某种非线性状态，就需要配合适当的趋势曲线。 趋势曲线的形式很多，有抛物线型、指数曲线型、修正指数曲线型、Gompertz 曲 线型、Logistic 曲线型等等。下面介绍几种曲线的拟合方法。 (一)二次曲线 当现象发展趋势呈现抛物线型时，可拟合二次曲线。 （7）
量。 趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 通常按最小二乘法求得。该方法是根据回 归分析中的最小二乘法原理，对时间序列配合一条趋势线，使之满足条件：各实
ˆ 际观察值( Yt )与趋势值( Yt )的离差平方和为最小， 即
趋势，并对未来的趋势值进行预测。
∑ (Y
t
ˆ − Yt ) 2 =最小值。 然后，