东营区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试数学

东营区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知a=log23，b=8﹣0.4，c=sinπ，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
2．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
3．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（）
A．（0，1） B．（e﹣1，1）C．（0，e﹣1）D．（1，e）
4．三个数60.5，0.56，log0.56的大小顺序为（）
A．log0.56＜0.56＜60.5B．log0.56＜60.5＜0.56
C．0.56＜60.5＜log0.56 D．0.56＜log0.56＜60.5
5．已知双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>，
12
,F F分别在其左、右焦点，点P为双曲线的右支上
的一点，圆M为三角形
12
PF F的内切圆，PM所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐
近线平行且距离为
2
，则双曲线C的离心率是（）
A B．2 C D．
2 6．直线：（为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
7．487被7除的余数为a（0≤a＜7），则展开式中x﹣3的系数为（）
A．4320 B．﹣4320 C．20 D．﹣20
8．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 设命题p ：函数y=sin （2x+
）的图象向左平移
个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A ．p 为假
B ．￢q 为真
C ．p ∨q 为真
D ．p ∧q 为假
10．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10
11．复数z 满足（1+i ）z=2i ，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
12．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x <<
二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数
()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和
()22,B x y ，则12x x +的值为__________．
14．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2
f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，
对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222
b a c
+的最大值为__________． 15．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．
16．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
17．一质点从正四面体A ﹣BCD 的顶点A 出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB 由A 到B ，第2次运动经过棱BC 由B 到C ，第3次运动经过棱CA 由C 到A ，第4次经过棱AD 由A 到D ，…对于N ∈n *，第3n 次运动回到点A ，第3n+1次运动经过的棱与3n ﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n 次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为 ．
18．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若
，则实数的取值范围为______．
三、解答题
19．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
20．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．
21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
22．已知p ：﹣x 2+2x ﹣m ＜0对x ∈R 恒成立；q ：x 2+mx+1=0有两个正根．若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求m 的取值范围．
23．（本题满分12分）设向量))cos (sin 2
3
,
(sin x x x -=，)cos sin ,(cos x x x +=，R x ∈，记函数 x f ⋅=)(.
（1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若2
1
)(=A f ，2=a ，求ABC ∆面积的最大值.
24．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足=+1（n ≥2）．
（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =（n ∈N *
），求使不等式b 1+b 2+…+b n ＞
成立的最小正整数n ．
东营区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：1＜log23＜2，0＜8﹣0.4=2﹣1.2，sinπ=sinπ，
∴a＞c＞b，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据对数函数，指数函数以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
2．【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．
又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．
根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a﹣c．
所以2a﹣c=，所以e=．
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
3．【答案】D
【解析】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．
由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，
所以f（x）=lnx+e，
f′（x）=，x＞0．
∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，
令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞）
可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增，
g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0，
∴x0∈（1，e），g（x0）=0，
∴x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（1，e ） 故选：D ．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．
4． 【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1， 0＜0.56＜0.50=1， log 0.56＜log 0.51=0． ∴log 0.56＜0.56＜60.5． 故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知()1,0到直线0bx ay -=
2=
，得a b =，则为等轴双曲
故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将用,a c 表示,令两边同除以或2
a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
6． 【答案】D
【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：
圆
：
圆心（2,1），半径2． 圆心到直线的距离为：
，所以直线与圆相交。

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。

故答案为：D 7． 【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣
+…+
﹣1， ∵487被7除的余数为a （0≤a ＜7）， ∴a=6，
∴
展开式的通项为T r+1=，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴
展开式中x ﹣3
的系数为
=﹣4320，
故选：B ．.
8． 【答案】A
【解析】解：lgx ，lgy ，lgz 成等差数列，∴2lgy=lgx •lgz ，即y 2
=zx ，∴充分性成立，
因为y 2
=zx ，但是x ，z 可能同时为负数，所以必要性不成立，
故选：A ．
【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．
9． 【答案】C
【解析】解：函数y=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin （2x+）的图象，
当x=0时，y=sin =，不是最值，故函数图象不关于y 轴对称，
故命题p 为假命题；
函数y=|2x
﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q 为假命题； 则￢q 为真命题； p ∨q 为假命题； p ∧q 为假命题， 故只有C 判断错误， 故选：C
10．【答案】B 【解析】
考
点：球与几何体 11．【答案】A
【解析】解：∵复数z 满足（1+i ）z=2i ，∴z==
=1+i ，它在复平面内对应点的坐标为（1，1），
故选A ．
12．【答案】B
考
点：函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1
二、填空题
13．【答案】
56
27
【解析】
14．
【答案】2
【解析】试题分析：根据题意易得：()'2f x ax b =+，由()()'f x f x ≥得：()2
20ax b a x c b +-+-≥在R
上恒成立，等价于：0{ 0a >≤，可解得：()22444b ac a a c a ≤-=-，则：22
2222241441c b ac a a
a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
令1,(0)c t t a =->
，2442222t y t t t t
==≤=++++，故22
2
b a
c +
的最大值为2． 考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用
15．【答案】
5﹣4 ．
【解析】解：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A （2，﹣3），半径为1，圆C 2的圆心坐标（3，4），半径为3，
|PM|+|PN|的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：
﹣
4=5
﹣4．
故答案为：5﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
16．【答案】甲．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
17．【答案】D．
【解析】解：根据题意，质点运动的轨迹为：
A→B→C→A→D→B→A→C→D→A
接着是→B→C→A→D→B→A→C→D→A…
周期为9．
∵质点经过2015次运动，
2015=223×9+8，
∴质点到达点D．
故答案为：D．
【点评】本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题．
18．【答案】
【解析】令，则
所以为奇函数且单调递增，因此
即
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α，
cotθ=tanα=2，
∴sinθ=，
|AB|==40．
线段AB的长为40．
【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=的灵活运用．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB=，
又∵B为锐角，
∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，
∴a2+c2﹣ac=36，
∵a+c=8，
∴ac=，
∴S△ABC==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．【答案】
【解析】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2
+c2=b2=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．
22．【答案】
【解析】解：若p为真，则△=4﹣4m＜0，即m＞1 …
若q为真，则，即m≤﹣2 …
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假
若p真q假，则，解得：m＞1 …
若p假q真，则，解得：m≤﹣2 …
综上所述：m≤﹣2，或m＞1 …
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n≥2），
所以是首项为1，公差为1的等差数列，…
则=1+（n﹣1）1=n，…
从而S n=n2．…
当n=1时，a1=S1=1，
当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
因为a1=1也符合上式，
所以a n=2n﹣1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n===，…
所以b1+b2+…+b n=
==，…
由，解得n＞12．…
所以使不等式成立的最小正整数为13．…
【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。