离散期末考试题

离散期末考试题
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的一一对应关系？
A. 并集
B. 交集
C. 映射
D. 子集
2. 以下哪个命题的否定是正确的？
A. 如果今天是周一，那么明天是周二。

B. 如果下雨，那么地面会湿。

C. 如果x > 0，则x² > 0。

D. 所有的鸟都会飞。

3. 在图论中，一个连通图是指图中任意两个顶点之间都存在一条路径。

以下哪个选项描述的不是连通图？
A. 完全图
B. 树
C. 环
D. 星形图
4. 以下哪个逻辑运算符表示逻辑“或”？
A. ∧
B. ∨
C. ¬
D. →
5. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的差集？
A. ∪
B. ∩
C. -
D. ×
6. 以下哪个命题是永真命题？
A. p ∧ ¬p
B. p ∨ ¬p
C. p → ¬p
D. ¬(p → ¬p)
7. 在关系R中，如果对于任意的a, b ∈ A，都有(a, b) ∈ R和(b,
a) ∈ R，则称R是对称的。

以下哪个关系不是对称的？
A. 等价关系
B. 子集关系
C. 整除关系
D. 朋友关系
8. 在命题逻辑中，以下哪个等价于“p且q”？
A. ¬p ∨ ¬q
B. p ∧ q
C. ¬p → ¬q
D. ¬(p → ¬q)
9. 在图论中，以下哪个术语描述的是一个图中没有环的子图？
A. 路径
B. 连通图
C. 树
D. 环
10. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的笛卡尔积？
A. ×
B. ∪
C. ∩
D. -
二、填空题（每题2分，共20分）
11. 如果集合A有n个元素，那么集合A的子集个数是________。

12. 在逻辑中，一个命题的________是当原命题为真时，它为假；当
原命题为假时，它为真的命题。

13. 如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，则该图一定存在
________。

14. 在集合{1, 2, 3, 4, 5}中，满足x + y = 6的(x, y)对共有
________对。

15. 命题逻辑中的________规则表明，如果p → q为真，且p为真，则q也为真。

16. 在图论中，一个图的________是指图中所有顶点的度数之和。

17. 如果一个集合A是另一个集合B的子集，那么A中的所有元素都属于B，这可以表示为A ⊆ B，其中符号________表示“是...的子集”。

18. 在逻辑中，一个命题的________是指该命题总是为真的，无论其变量的真值如何。

19. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都通过边相连，则称该图为________图。

20. 集合{1, 2, 3}和{3, 4, 5}的交集是________。

三、解答题（每题10分，共50分）
21. 证明：如果一个图是连通的，并且每个顶点的度数至少为2，则该图至少有一个环。

22. 给定集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，求A和B的并集、交集和差集。

23. 证明：对于任意命题p和q，(p ∧ q) → p等价于p。

24. 给定一个图G，其中包含顶点集V和边集E。

如果G是无向图，证明：如果存在一个顶点的度数为奇数，则G不是二分图。

25. 给定一个逻辑表达式p ∨ (q ∧ ¬r)，使用真值表确定该表达式的真值，其中p、q和r的真值分别为真、假和真。