定积分的概念-精品文档
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
区 间 [ x ,x 的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 i 1 i]
[ x , x ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) : i 1 i
T m a x x 1 , 2 ,, n . ii
就能保证分割越来越细. 则 当 T 0 时 ,
i
x n1 b
x
i
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边
梯形的面积.
前页 后页 返回
如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A , A , , A , 1 2 n
xx , 2 , , x } , 即在 [ a , b ] 上找到 n 1 个分点 { 1 n 1
积.
一分为二
y
y f x
S(A)
O
a
x
1
b
x
前页 后页 返回
y 一分为四
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
2
x
3
b
x
前页 后页 返回
y
一分为八
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
3
x 81 b
x
前页 后页 返回
一分为 n
y
y f x
S(A)
O
a x
1
x i1 x
用 T x , x , , x 或 T = , , 来 记 这 个 分 割 . 0 1 n 0 n
i
小 曲 边 梯 形 A 近 似 看 作 矩 形 , 即 任 取 2.近似: 把 i
[ x , x ] , 在 [ x , x ] 上 把 f ( x ) 近 似 看 作 常 数 i 1 i i 1 i
3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是 矩形，因此黎曼和
f ( ) x 与曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ梯形的面积 S 总有差别. 当分割越来越细时，和式 f ( ) x
i 1 i i
n i 1 i
n
i
与 S 的 差 距 就会越来越小.
问题是： 越细？ ( 1 ) 如 何 刻 划 分 割 越 来
a x x xb 1 2 n 1 ,
a x1 x 2
x n 1 b
前页 后页 返回
为 方 便 起 见 ， 记 x a , x b ， 0 n
i
[ x , x ] , x x x ,1 i , 2 , , n ， i 1 i i i i 1
( 2 ) 如 何 刻 划 f () x 来 越 逼 近 于 S ? i i越
n i 1
下面依次讨论这两个问题.
前页 后页 返回
( 1 ) 对 于 一 般 的 T : a x x x b , 不 能 0 0 1 n
用 n 来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
f ( x ) d x l i m f ( ) x . 定积分,记作 J i i a
SA ( ) S f( i i) x i.
n
i 1 i 1 n n
f ( ) . 此 时 A 的 面 积 S 约 为 fx ( ) , 所 以 i i i i i
上 述 和 式 f () x 为 积 分 和 或 黎 曼 和 . i i称
i 1
前页 后页 返回
§1 定积分的概念
在很多数学和物理问题中，经常需要 求一类特殊的和式的极限，这类特殊
的和式的极限问题导出了定积分的概 念.
前页 后页 返回
三个典型问题
( x ) , xa [ ,] b , 求曲边梯形 A 的面积 1. 设 yf
S (A), 其中
A ( x , y ) | x [ a , by ] , 0 f ( x ) .
S . f ( )x－
i 1 i i n
对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和
的极限.
总结以上分析，下面给出定积分定义.
前页 后页 返回
f 是 定 义 在 [ a , b ] 上 的 函 数 ， J R . 定义1 设
对 任 意 分 割 若 0 ， 0 ,
y
y f x
S(A)
O
a
b
x
前页 后页 返回
2. 已知质点运动的速度为， v () t ,t [, a b ] . 求从时 刻 a 到时刻 b，质点运动的路程 s. 3.已知非匀速分布线状物体的密度函数 (x) ,
x [ a ,b ] ,求线状物体的质量 m .
f ( x ) c 为 常 值 函 数 时 ， S ( A ) c () b a ; 显然, 当
当 vt () v 匀 速 运 动 时 ， s v ( b a ) ; 当 质 量 是 0为 0
m ( b a ). 均 匀 分 布 时 ， 即 x 为 常 数 时 ,
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下
前页 后页 返回
可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题
及任意
x , x , i 1 , 2 ,, n , 当 T m a x x 时 , 必 有
i i 1i
T : a x x x b , 0 0 1 n
J , f ( )x－
i1 i i
n
i
则 称 f 在上 [ a , b ]可 积 ， 并称 J 为 f 在 [a,b]上的
是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形，
来解决这些问题呢？ 如何 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题
合理地归为一类特殊的和式的极限.
中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
前页 后页 返回
代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的 时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面
n i 1
( 2 ) 要 刻 划 f ( ) x 能 无 限 逼 近 S , 需 对 任 意 i i
前页 后页 返回
0 ,使 得 当 给定的 0, 能够找到
T m a x x 时 , 对 任 意 [ x ,] x , i i i 1 i
都有
[ x , x ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) : i 1 i
T m a x x 1 , 2 ,, n . ii
就能保证分割越来越细. 则 当 T 0 时 ,
i
x n1 b
x
i
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边
梯形的面积.
前页 后页 返回
如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A , A , , A , 1 2 n
xx , 2 , , x } , 即在 [ a , b ] 上找到 n 1 个分点 { 1 n 1
积.
一分为二
y
y f x
S(A)
O
a
x
1
b
x
前页 后页 返回
y 一分为四
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
2
x
3
b
x
前页 后页 返回
y
一分为八
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
3
x 81 b
x
前页 后页 返回
一分为 n
y
y f x
S(A)
O
a x
1
x i1 x
用 T x , x , , x 或 T = , , 来 记 这 个 分 割 . 0 1 n 0 n
i
小 曲 边 梯 形 A 近 似 看 作 矩 形 , 即 任 取 2.近似: 把 i
[ x , x ] , 在 [ x , x ] 上 把 f ( x ) 近 似 看 作 常 数 i 1 i i 1 i
3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是 矩形，因此黎曼和
f ( ) x 与曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ梯形的面积 S 总有差别. 当分割越来越细时，和式 f ( ) x
i 1 i i
n i 1 i
n
i
与 S 的 差 距 就会越来越小.
问题是： 越细？ ( 1 ) 如 何 刻 划 分 割 越 来
a x x xb 1 2 n 1 ,
a x1 x 2
x n 1 b
前页 后页 返回
为 方 便 起 见 ， 记 x a , x b ， 0 n
i
[ x , x ] , x x x ,1 i , 2 , , n ， i 1 i i i i 1
( 2 ) 如 何 刻 划 f () x 来 越 逼 近 于 S ? i i越
n i 1
下面依次讨论这两个问题.
前页 后页 返回
( 1 ) 对 于 一 般 的 T : a x x x b , 不 能 0 0 1 n
用 n 来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
f ( x ) d x l i m f ( ) x . 定积分,记作 J i i a
SA ( ) S f( i i) x i.
n
i 1 i 1 n n
f ( ) . 此 时 A 的 面 积 S 约 为 fx ( ) , 所 以 i i i i i
上 述 和 式 f () x 为 积 分 和 或 黎 曼 和 . i i称
i 1
前页 后页 返回
§1 定积分的概念
在很多数学和物理问题中，经常需要 求一类特殊的和式的极限，这类特殊
的和式的极限问题导出了定积分的概 念.
前页 后页 返回
三个典型问题
( x ) , xa [ ,] b , 求曲边梯形 A 的面积 1. 设 yf
S (A), 其中
A ( x , y ) | x [ a , by ] , 0 f ( x ) .
S . f ( )x－
i 1 i i n
对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和
的极限.
总结以上分析，下面给出定积分定义.
前页 后页 返回
f 是 定 义 在 [ a , b ] 上 的 函 数 ， J R . 定义1 设
对 任 意 分 割 若 0 ， 0 ,
y
y f x
S(A)
O
a
b
x
前页 后页 返回
2. 已知质点运动的速度为， v () t ,t [, a b ] . 求从时 刻 a 到时刻 b，质点运动的路程 s. 3.已知非匀速分布线状物体的密度函数 (x) ,
x [ a ,b ] ,求线状物体的质量 m .
f ( x ) c 为 常 值 函 数 时 ， S ( A ) c () b a ; 显然, 当
当 vt () v 匀 速 运 动 时 ， s v ( b a ) ; 当 质 量 是 0为 0
m ( b a ). 均 匀 分 布 时 ， 即 x 为 常 数 时 ,
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下
前页 后页 返回
可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题
及任意
x , x , i 1 , 2 ,, n , 当 T m a x x 时 , 必 有
i i 1i
T : a x x x b , 0 0 1 n
J , f ( )x－
i1 i i
n
i
则 称 f 在上 [ a , b ]可 积 ， 并称 J 为 f 在 [a,b]上的
是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形，
来解决这些问题呢？ 如何 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题
合理地归为一类特殊的和式的极限.
中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
前页 后页 返回
代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的 时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面
n i 1
( 2 ) 要 刻 划 f ( ) x 能 无 限 逼 近 S , 需 对 任 意 i i
前页 后页 返回
0 ,使 得 当 给定的 0, 能够找到
T m a x x 时 , 对 任 意 [ x ,] x , i i i 1 i
都有