二自由度系统的振动PPT课件

率ω1、 ω2的简谐振动的合成。（ ω1 < ω2 ）
分别将ω1和ω2称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频 率，各阶固有频率所对应的振动分别称为系统的第一阶固 有振动和第二阶固有振动。 每个根对应一种固有振动
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
一些概念：
k11 m12
k21
k22
k12 m22
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
坐标变换：
ui qi
（i=1,2）
代入原微分方程得到： Mqi Kqi fi
B1、B2待定
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
代入微分方程组得到
k1 k2 m12
k2
k2
k2 m2
2
B1 B2
0 0
由
det
k1
k2
m1
k2
2
k2
k2
m22
0
12 22
B11 B21
B12 B22
B11
B21
B12
B22
（固有振型矩阵）
k2 (u1 u2 ) c2 (u1 u2 )
u2 f2 m2
k3u2 c3u2
6.1 建立系统微分方程组
写成矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c 2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2

k2
k2 k2 k3
u1
u2
f1 f2
6.2.1坐标的选择与方程耦合
1 l2
J J
ml22 ml1l2
J J
ml1l2 ml12
••
x1
••
x2
k1 0
0 k2
x1 x2
0 0
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
6.2.1 二自由度无阻尼系统固有振动
微分方程组：
Mu(t) Ku(t) 0 u(0) u0 ,u(0) u0
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
例题:
u1
设如图系统物理参数为： m1=m2=m；k1=k2=k3=k；系统运动 的初始条件为：
k1
k2
m1
1 u(0) 0 ,
u(0)
0 0
确定系统固有振动及自由振动，并作出振型图。
1
1
固有振动
0.5
固有振动
0.5
u2 k3 m2
0 -0.5
-1 0
自由振动
0.5
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
定义：
def
H () Z 1() (K 2M )1
( r )
则
U H ()F
H(ω)为系统的位移频响函数矩阵。
其元素hij(ω)反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励 sinωt后，第i个自由度的稳态位移响应幅值。因此， H(ω)又 称为动柔度矩阵。
qr (t) ar cosrt br sinrt (r 1,2,, n)
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
例题: 已知系统运动微分方程是
m1
0
0 m2
u1 u2
k1 k
k2
2
k2 k2 k3
u1 u2
0 0
固有振型为：
1 1
1 1
要求对系统进行解耦。
u1 u2
动刚度矩阵Z(ω)或频响函数矩阵H(ω)在频率域反映了系统 的全部动态特性。从实验角度来说，多自由度系统的频响 函数矩阵比动刚度矩阵易于测取，所以获得广泛应用。
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
6.3.2 求解二自由度无阻尼受迫振动 （模态分析方法）
m1、m2上分别作用简谐激励力 f1=F1sinωt 和 f2=F2sinωt。 运动微分方程为
6.3.1 频域分析
首先分析受谐波激励的情况： 系统运动微分方程组是 Mu(t) Ku(t) F sin t
F
f1 f2
方程特解为： 代入到方程中得到：
u(t) U sint (K 2M )U F
U
u1
u2
定义：
def
Z () K 2M
为系统的动刚度矩阵。
其元素zij反映了系统第j个自由度具有单位位移响应 sinωt，而其余坐标不动时，应施加在第i个自由度 上的正弦广义力的幅值。
第六章：二自由度系统的振动
在实际工程中，仅用一个独立坐标常常难以正 确描述系统的运动。本章介绍二自由度系统的动力 学问题。
最简单的多自由度系统是二自由度系统。然而 自由度由一增加到二，会产生质的变化，带来一系 列新的物理概念。而二自由度和三自由度以及更高 自由度的区别，仅仅在数量上和系统的复杂程度上。
其中：
T M M q
T K Kq
模态坐标下的质量矩阵 模态坐标下的刚度矩阵
均为对角阵
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
系统方程变成： M qq(t) Kqq(t) 0
M1 0 0
Mq
0
M2
0
0
0
M
n
K1 0 0
Kq
0
K2
0
0
0
K
n
Mr
T r
M
r
第r阶模态质量
q1 q2
u1
u2
k1
k2 m1
m2
k3
k1 k2 k3 k m1 m2 m
2m
0
0 2m
q1 q2
2k
0
0 6k
q1 q2
0 0
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
求解系统固有振型的一种方法是伴随矩阵法。
首先求出系统特征矩阵的伴随矩阵。然后取伴随矩阵的任意
一列非零向量，将第 i 阶特征根代进去，就可以得到第 i 阶
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
固有振动的初始条件
无阻尼系统的固有振动仅是可能存在的运动形式。要使 系统真正产生固有振动，还应满足一定的运动初始条件。
系统产生第 r 阶固有振动的运动初始条件为：
u(0) r sinr
u(0) rr cosr
r = 1,2
即初始位移的幅值组成的向量和初始速度的幅值组成的向 量都是某阶固有振型，则该振动就是该阶固有振动。
固有振型。（ i =1、2…..）
例：对二自由度系统，系统特征矩阵为： 2 1
1
3
2
系统特征方程为：2
1 0
1 3 2
解得特征根： 1 1,
2 2.5
特征矩阵的伴随矩阵为： 取矩阵第一列将 1 1, 2 2.5
3 2 1
1
2
代入得到主振型为：
1
1 1
2
2
1
6.3 无阻尼二自由度系统受迫振动
m1u1 (k1 k2 )u1 k2u2 F1 sin t
u1
u2
k1
k2
m1
m2
f1
f2
m2u2 k2u1 k2u2 F2 sin t
二阶常系数线性非齐次微分方程
通解为两种固有振动的叠加，特解为稳定的等 幅振动，频率与激振力相同。
设对应齐次 方程的解为
u1 B1 sint u2 B2 sint
M
m1
0
0
m2
K
k11 k21
k12
k22
u1
k1
k2
m1
u2 k3 m2
由于单自由度无阻尼系统自由振动是简谐振动，所以可以设 想二自由度无阻尼系统也有类似的作简谐振动的自由振动。
由于系统有两个自有度，它们的各自运动未必有相同 的幅值，所以方程解的形式为：
其中，
uu((tt))为解sin的(二t 维 )向def量，12 φsi表n(示t 振 幅) 的二频 但维率 振向、 幅量相 不。位 同相。 同 ，12
k2 k2 k3
u1
u2
f1 f2
二自由度微分方程组特点：
1、形式上与单自由度系统受迫振动微分方程相同。但M，K，C 不是常数，而是矩阵。
2、通常K，C矩阵不是对角阵，说明系统运动是关联的。这种运 动的关联称为耦合，是二自由度区别于单自由度的基本特征
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
k11
k12 12m1
s2
def
12 22
k11
k12 22m1
定义向量
1
21
s1 1
2
22
s2
1
分别为第一、二阶固有振动的振型，简称固有振型。反映了 二自由度系统作固有振动时的形态。
无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的固有模态，因 此固有振型向量也称为模态向量。
1 2 n 为固有振型矩阵，为所有模态向量组成。
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将解的形式代入到方程组得到： sin(t )(K 2M ) 0
要使方程任意时刻成立，必须： (K 2M ) 0
即
k11 m12
k21
k22
k12 m2
2
12
0 0
为两个未知数的齐 次线性方程组。
要使方程组有非零解，则它 的系数行列式必须为零，即
det
k11
m12 k21
k22
k12
m2
2
0
行列式展开得到：
(2 )2 ( k11 k22 )2 k11k22 k122 0
m1 m2
m1m2
可看作是关于ω2的二次方程，解得一对根为：
2 1,2
m1k22 m2k11 2m1m2
1 2
( m1k22 m2k11 ) 4(k11k22 k122 )
初始条件：
u1(0) u2 (0)
u10 u20
uu•• 12((00))
u•• 10 u20
对三个以上自由度系统，可以用同样的方法得到微分方程组。
简写为
Mu(t) Cu(t) Ku(t) f (t)
质量 矩阵
阻尼 刚度 矩阵 矩阵
加速度向量 速度向量 位移向量 激励向量
6.1 建立系统微分方程组
0
-0.5
1
-10
自由振动
0.5
1
1 1
1 1
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
振 型 图：
一阶： 二阶：
节点
1
1 1
2
1 1
节点：在系统振动中始终不动的点。
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
二自由度系统的运动解耦
由于二自由度系统的运动微分方程是耦合的，因此 需要把耦合的方程在一个新的坐标空间内解耦。
因此二自由度系统是本章的重要基础部分。
第六章：二自由度系统的振动
建立系统微分方程 无阻尼二自由度系统自由振动 固有频率和主振型
6.1 建立系统微分方程组
6.1.1 分离体受力分析方法-牛顿定律 k1
假设：u1 u2 u1 u2
c1
k1、c1拉伸；k2、c2压缩； k3、c3压缩
f1 (k1 k2 )u1 k2u2 (c1 c2 )u1 c2u2 m1u1
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
6.1.1分别以牛顿定律和拉格朗日方 程为基础导出振动方程
6.1 建立系统微分方程组
矩阵形式：
m1
0
0 m2
••u••1 u2
c1 c2
c2
c2 c 2 c3
•
u1
•
u2
k1 k2
k2
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
6.2.2 二自由度系统自由振动
如果系统不满足产生固有振动的初始条件，则自由振动将 不再是任一阶固有振动。而是这两种固有振动的线性组合。 即
u(t) 1u1(t) 2u2 (t) 11 sin(1t 1) 22 sin(2t 2 )
其中，常数α1、 α2、θ1、 θ2由初始条件决定。
Kr rT Kr
第r阶模态刚度 (r 1n)
由于Mq、Kq是对角阵，所以系统方程已是独立的n个标量
函数qr(t)的微分方程。
M rqr (t) Krqr (t) 0 (r 1,2,, n)
6.2 无阻尼二自由度系统自由振动
说明在模态坐标下，系统的运动是解耦的。 解耦的系统运动正是它的n个固有振动。
m1m2
m1m2
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将两个根代回到系统的齐次线性方程组得到非零解为：
1
11 21
2
12 22
因此，二自由度无阻尼系统可能产生的振动为：
ur
(t
)
r
sin(rt
r
)
1r 2r
sin(rt
r
)
（r =1,2）
每个根对应一种振动
说明，二自由度无阻尼系统的自由振动响应是由两种不同频
12
0 0
线性方程组
k11 m12
k12
k21
k22
m2 2
特征矩阵
r r2
特征值（特征根）
1r 2r
（r
=1,2）
与特征值对应的特征向量
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
将固有频率ω代入系统线性方程，得到系统作第一、二阶
固有振动时两质量块振幅之比，分别为：
s1
def
11 21
m1u1 (c1 c2 )u1 c2u2 (k1 k2 )u1 k2u2 f1
u1 k2
m1 c2
u2 k3
m2 c3
u1
k1u1
k2 (u1 u2 )
c1u1
f1 c2 (u1 u2 ) m1
f2 k2u1 (k2 k3 )u2 (c2 c3 )u2 c2u1 m2u2 m2u2 (c2 c3 )u2 c2u1 k2u1 (k2 k3 )u2 f2
由于在N自由度无阻尼系统总有N个线性无关的固有 振型φr，因此可以把它作为基底来张成系统运动空 间。
6.2 无阻尼多自由度系统自由振动
引入坐标变换： u q
代入到：Mu(t) Ku(t) 0
其中：u为物理坐标，q为模态坐标，Φ为固有振型矩阵。
得到：
Mq(t) Kq(t) 0
两边左乘 T
T Mq(t) T Kq(t) 0