山东巨野县第一中学等差数列经典例题 百度文库

一、等差数列选择题
1．已知数列{}n a 的前项和2
21n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）
A ．20
B ．17
C ．18
D ．19
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
4．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11
B ．10
C ．6
D ．3
5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8
B ．13
C ．26
D ．162
6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前10项的和为（ ） A ．
89
B ．
910
C ．10
11
D ．
1112
7．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7
B ．10
C ．13
D ．16
8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2
B ．
43
C ．4
D ．4-
9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161
B ．155
C ．141
D ．139
10．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,
n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则
n a =（ ）
A ．21n -
B ．43n -
C ．54n -
D ．n
11．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a += B ．560a a += C ．670a a += D ．890a a += 12．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ）
A ．9
B ．12
C ．15
D ．18
13．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =.定义数列{}n b 如下：
()*1m m b m m
+∈N 是使不等式()
*
n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++
+=（ ）
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100 15．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）
A ．24
B ．23
C ．17
D ．16
16．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若(
)*
111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）
A ．0m S <且10m S +>
B ．0m S >且10m S +>
C ．0m S <且10m S +<
D ．0m S >且10m S +<
17．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60
B ．120
C ．160
D ．240
19．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项
B ．133项
C ．134项
D ．135项
20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15
B ．20
C ．25
D ．30
二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！
23．若不等式1(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
24．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3n n n S a +=，则1
n n a a -的值不可能为
（ ） A ．2
B ．5
C ．3
D ．4
25．若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为
（ ） A ．
1
5
B ．
25
C ．
45
D ．
65
26．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．681a a >
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为6T
27．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的
是（ ） A ．110S =
B ．10n n S S -=（110n ≤≤）
C ．当110S >时，5n S S ≥
D ．当110S <时，5n S S ≥
28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310
S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S (
)*
n N ∈，公差0d ≠，6
90S
=，7a 是3a 与9
a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-
B ．1
20a =-
C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值
D ．当0n
S <时，n 的最小值为22
30．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）
A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；
B ．2n n a a d +-=（d 为常数，
*n N ∈）；
C ．(
)
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和2
1
n S n n =++（*n N ∈）.
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一、等差数列选择题
1．C 【分析】
根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】
因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ． 2．C 【分析】
利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，
212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =
故选：C 3．C 【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，
S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C 4．A 【分析】
利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】
由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，
213a a d =+=，
解得12,1a d ==，
则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 5．B 【分析】
先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据
()
11313713132
a a S a +=
=求解出结果.
【详解】
因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，
又()
1131371313131132
a a S a +=
==⨯=， 故选：B. 【点睛】
结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，
（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2
m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.
6．C 【分析】 首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设1
1111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】
当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…. 故选：C 7．C 【分析】
由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
141,16a S ==，
41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.
故选：C 8．C 【分析】
由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：
()111116
11111322
a a S a
+⨯=
==，
612a ∴=，
又
5620a a +=，
58a ∴=，
654d a a ∴=-=.
故选：C ． 9．B 【分析】
画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】
所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得155
48x y =⎧⎨=⎩
.
故选：B. 10．A 【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】
11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,
令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-
令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2
311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，
与已知矛盾，故解得31a t =+
{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =
则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 11．B 【分析】
由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()
110101002
a a S +=
=，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．A 【分析】
在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】
在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，
所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 13．A 【分析】
由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得154
52252
a ⨯+
⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 14．B 【分析】
先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121
2
k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】
由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =，可得21n a n =-，
因为n a m ≥，即21n m -≥，解得1
2
m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1
m m b k m +=，即()()11212
m m m mk m b m m +===++， 即2121
2
k k b --=
， 从而()135191
13519502
b b b b ++++=
++++=.
故选：B. 15．A 【分析】 由题意可得52820
45252
a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，52820
45252
a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 16．D 【分析】
由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02
m m m a a S ++++=<. 故选：D. 17．B 【分析】
由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得
10a .
【详解】
()122n n a a n --=≥，且11a =，
∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
通项公式为()12121n a n n =+-=-，
10210119a ∴=⨯-=，
故选：B. 18．B 【分析】
利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】
因为7916+=a a ，
所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()
11515815151581202
a a S a +===⨯=． 故选：B 19．D 【分析】
由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则
()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：2135
15
n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 20．B 【分析】
设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()51154
55254202
S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B
二、多选题
21．无 22．无
23．ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n
-<恒成立，当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1
2+a n
-<恒成立，
由12+n 递减，且1
223n
<+≤，
所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1
2a n
<-恒成立， 由12n -
第增，且31
222n ≤-<， 所以3
2
a <
， 综上可得：322
a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 24．BD 【分析】 利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵2
3
n n n S a +=
， ∴2n ≥时，1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=
-，
化为：112111
n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
单调递减， 可得：2n =时，
21n -取得最大值2． ∴1
n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 25．ABC
【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及135
a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
【详解】
数列{}n a 满足112,02121,12
n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215
a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,
,,5555
. 故选：ABC.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.
26．AD
【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.
【详解】 ①671,1a a >>, 与题设67101
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.
③671,1,a a <<与题设67101
a a -<-矛盾.
④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .
∴B ，C ，错误.
故选：AD.
【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q
n N -=∈. 27．BC
【分析】
设公差d 不为零,由
38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】
设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+，
即1127a d a d +=--， 解得19
2
a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭
，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222
n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+
=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭
，解得0d >，()()22510525222
n d d d n n S n S =
-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC
28．AD
【分析】 由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误.
【详解】
由已知得：780,0a a ><,
结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列，
∴A 正确，B 错误，D 正确，
310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,
这在已知条件中是没有的，故C 错误.
故选:AD.
【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
29．AD
【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n
S <解不等式可判断D ． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①
由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2
111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②
由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，
21(20222)212
n S n n n n =+-=-， 由2
2144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.
30．AC
【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．
【详解】
A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，
B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；
C 选项中()
*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；
D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不
为等差数列．故错误．
故选：AC
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。