(易错题精选)初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题及答案解析

（易错题精选）初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题及答案解析
一、选择题
1．解分式方程
14322x x
-=--时，去分母得（ ） A ．13(2)4x --= B ．13(2)4x --=- C ．13(2)4x ---=- D ．13(2)4x --= 【答案】B
【解析】
【分析】
根据等式性质计算即可.
【详解】
在方程的两边同时乘以x-2，得13(2)4x --=-，
故选：B.
【点睛】
此题考查解分式方程，等式的性质，正确计算是解题的关键，此题中容易出现错误的地方是原方程中的分母是互为相反数，注意符号不要弄错.
2．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A ．60(125%)6060x x ⨯+-=
B ．6060(125%)60x x
⨯+-= C ．606060(125%)x x
-=+ D ．606060(125%)x x
-=+ 【答案】D
【解析】
【分析】 设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里，根据题意即可列出分式方程.
【详解】
解：设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里， 依题意得：
606060(125%)x x -=+． 故选：D ．
【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
3．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22
240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程
1311y a y y
+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y
+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
方程()22
240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0，
解得a ⩽2
∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y
+-=-- 解得y=2
a +2 ∵y 有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2，
符合条件的a 的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
4．把分式方程
11122x x x --=--，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1
B ．1+(1-x)=1
C ．1-(1-x)=x-2
D ．1+(1-x)=x-2
【答案】D
【解析】
【分析】
本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2－x ，首先要化成x －2；②、等式右边的常数项不要漏乘．
【详解】
解： 11122x x x
--=-- 11+122
x x x -=-- 两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2
故选：D
【点睛】
本题考查解分式方程．
5．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于
12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭
，则a 的值为( )
A ．1a =-
B ．7a =-
C ．1a =
D ．13
a = 【答案】D
【解析】
【分析】 根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423
a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系．
【详解】
根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，
则P 点横纵坐标的和为0，
故11+423
a a -+=0， 解得：a=
13. 故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.
6．关于x 的分式方程
2x a 1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1>
B ．a 1<
C ．a 1<且a 2≠-
D ．a 1>且a 2≠
【答案】D
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围．
【详解】
分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-，
因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-，
解得：a 1>且a 2≠，
故选D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．
7．分式方程
22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1
B ．x ＝2
C ．x ＝﹣1
D ．无解
【答案】D
【解析】
【分析】
观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得．
【详解】
方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得：
x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2，
解方程得：x ＝﹣1，
检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0，
所以x ＝﹣1不是方程的解．
故选：D ．
【点睛】
此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键
8．方程1235
x x =+的解为( ). A ．1x =-
B ．0x =
C ．3x =-
D ．1x = 【答案】D
【解析】
【分析】
方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解.
【详解】
方程两边同乘以3x （x+5）得，
x+5=6x ，
解得x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解.
故选D.
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.
9．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x x
--=--有正数解，且使关于y 的不等式组21142
y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2．
【详解】 解方程
2311a x x x
--=--，得： 12
a x +=， ∵分式方程的解为正数，
∴1a +>0，即a>-1，
又1x ≠， ∴12a +≠1，a ≠1，
∴a>-1且a≠1，
∵关于y的不等式组
21
1
4
2
y a y
y a
->-
⎧
⎪
⎨
+
⎪⎩…
有解，
∴a-1<y≤8-2a，
即a-1<8-2a，
解得：a<3，
综上所述，a的取值范围是-1<a<3，且a≠1，
则符合题意的整数a的值有0、2，有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．
10．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（）
A．
111
103020
+=
--+
x x x
B．
111
103020
+=
++-
x x x
C．
111
103020
-=
++-
x x x
D．
111
102030
+=
-+-
x x x
【答案】B
【解析】
【分析】
设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，
列方程为
111
103020
+=
++-
x x x
.
【详解】
设规定时间为x天，则
甲队单独一天完成这项工程的
1
10 +
x
，
乙队单独一天完成这项工程的
1
30
x+
，
甲、乙两队合作一天完成这项工程的
1
20 x-
.
则
111
103020
+=
++-
x x x
.
故选B.
【点睛】
此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.
11．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab
⊗=
-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2 【答案】B
【解析】
【分析】
利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可．
【详解】 根据题中的新定义化简得：339342x x
=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解．
故选B ．
【点睛】
本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．2019年7月30日阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为150km ，现在高速路程缩短了20km ，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为/xkm h ，则根据题意可列方程为（ ）
A ．15020150 1.52.5x x --=
B ．15015020 1.52.5x x
--= C ．15015020 1.52.5x x --= D ．15020150 1.52.5x x
--= 【答案】C
【解析】
【分析】
根据“走高速用的时间比走国道少花1.5小时”列出方程即可得出答案.
【详解】 根据题意可得，走高速所用时间150202.5x -小时，走国道所用时间150x
小时 即15015020 1.52.5x x
--= 故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是分式方程在实际生活中的应用，根据公式“路程=速度×时间”及其变形列出等
式是解决本题的关键.
13．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）
A．4050
12
x x
=
-
B．
4050
12
x x
=
-
C．
4050
12
x x
=
+
D．
4050
12
x x
=
+
【答案】B
【解析】
试题解析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时，
由题意得，
4050
12
x x
=
-
．
故选B．
14．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）
A．1010
25
3
x x
-=B．
1010
25
3x x
-=C．
10105
312
x x
-=D．
10105
312
x x
-=
【答案】D
【解析】
【分析】
设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．
【详解】
解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x
由题意得：10105
312 x x
-=
故答案为D．
【点睛】
本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
15．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为( )
A．30
x
＝
45
6
x+
B．
30
x
＝
45
6
x-
C．
30
6
x-
＝
45
x
D．
30
6
x+
＝
45
x
【解析】
【分析】
设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等即可列方程.
【详解】
设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间
相等可得30
x
=
45
6
x+
.
故选A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．
16．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（）
A．
24
x2
+
-
20
x
=1 B．
20
x
-
24
x2
+
=1
C．24
x
-
20
x2
+
=1 D．
20
x2
+
-
24
x
=1
【答案】B
【解析】
试题解析：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，
根据题意得：20204
1
2
x x
+
-=
+
，
即：2024
1
2
x x
-=
+
．
故选B．
考点：分式方程的应用.
17．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
-+
【答案】A 【解析】
设规定时间为x天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．
【详解】
解：设规定时间为x天，则慢马需要的时间为（x+1）天，快马的时间为（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍
∴900900
2
13 x x
⨯=
+-
故选A．
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．
18．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（）
A．32
1
2
x x
+=
-
B．
322
1
2
x x x
++=
-
C．
3+22
1
2
x x
+=
-
D．
311
2()1
2
x x x
++=
-
【答案】A
【解析】
【分析】
设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断．
【详解】
解：设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根
据题意，得：52
1
2
x x
+=
-
；
A、32
1
2
x x
+=
-
，与上述方程不符，所以本选项符合题意；
B、322
1
2
x x x
++=
-
可变形为
52
1
2
x x
+=
-
，所以本选项不符合题意；
C、3+22
1
2
x x
+=
-
可变形为
52
1
2
x x
+=
-
，所以本选项不符合题意；
D、311
2()1
2
x x x
++=
-
的左边化简得
52
1
2
x x
+=
-
，所以本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
19．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）
A．120150
8
x x
=
-
B．
120150
8
x x
=
+
C．
120150
8
x x
=
-
D．
120150
8
x x
=
+
【答案】D
【解析】
【分析】
首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.
【详解】
解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，
∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴120150
8
x x
=
+
，
故选D.
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.
20．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（）.
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
++
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】
设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴900900
2
13 x x
⨯=
+-
，
故选：A.【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.。