九年级数学用函数观点看一元二次方程

答：水流的落地点D到A的距离是5m。
边观察边思考
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 的图象如图所示。 y = x 2 - x +1 2
y = x +x- 2
2
y = x - 6x +9
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
1、理解二次函数图像与x轴的交点的个数 的情况
2.理解二次函数图像与一元二次方程的根的关 系 3.会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴 的交点问题
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常
二次函数
数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。 图象：是一条抛物线。 图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。 （2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最 高点）。 y y
复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
＞ 0 = 0 ＜ 0
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
，
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2= 15 ，如果h=20，那50-20t2= 20
如果h=0，那50-20t2= 0
b2 – 4ac= 0 b2 – 4ac< 0 （方程没有实数根）
（方程有两个不相等的实数根）
（方程有两个相等的实数根）
思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2-4ac ≥0
.
练习:看谁算的又快又准。 1.不与x轴相交的抛物线是( D ) A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3 2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实 1 个 1 ,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 数根,则m=＿＿ 交点. 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿ . (0,2) ,与x轴交 4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿ (1,0) (2,0) 于点＿＿＿ ＿.
(1)求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有 交点，并指出当m为何值时，只有一个交点。 （2）当m为何值时，函数y的图像经过原点。 （3）指出（2）的图像中，使y＜0时， x的取 值范围及使y＞0时， x的取值范围
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击 1 8 y =x + x 球，其飞行路线满足抛物线 ，其 5 5 中y（m）是球的飞行高度,x（m）是球飞出的水 平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m． （1）请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行 的最大水平距离．
练习一：
y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求 水流的落地点D到A的距离是多少？
分析：根据图象可知，水流的 落地点D的纵坐标为0，横坐 标即为落地点D到A的距离。
即：y=0 。
-1 A 0
y B
解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0，
D x
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)
∴球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即 飞出到落地用了4s 。
为一个常数 （定值）
那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?它们的关系如何? 一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
想一想，这一个旋转喷水 头，水流落地覆盖的最大 如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋 面积为多少呢？ 转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数
两个交点
二 轴次 的函 交数 点与
b2-4ac>0
b2-4ac=0 b2-4ac<0
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
x
一个交点 点
没有交点
作业
课本：p23页 复习巩固 第1题 拓展探索 第6题 选做题：如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y＝－x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的 中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面 的高度为2.25米，请问他距离篮框中 心的水平距离是多少?
。如果要想求t的值，那么我
们可以求
方程
的解。
问题1:如图,以
40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单 位:s)之间具有关系:h=20t–5t2 2 考虑下列问题:
20= 20 t 20 –20 5ttt 20.5= –– 55 t2t2 15=
2个根， 2个相等的根,无实数根
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
分析
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交 点,则b2-4ac的情况如何。
b2 – 4ac ＜0
Y
b2 – 4ac =0
b2 – 4ac ＞0
.
O X
(1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间? (2) 球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间? 0= 20 t – 5 t2 h=0 (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间?
(4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
h t
解：（1）解方程15=20t-5t2
在对称轴的右侧，即当 b x ﹥ - 2a 时， y随x的增 大而减小。简记左增右减。 抛物线有最高点， 当x=- b 2a 2 4ac-b 时， y最大值=
4a
y
o
x
引言
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数 及其图象有关的问题。 如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行； 抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等． 利用二次函数的有关知识研究和解决这些问 题，具有很现实的意义。 本节课，我将和同学们共同研究解决这些问 题的方法，探寻其中的奥秘。

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系
二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线
y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在 向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.
当a﹥0时：抛物线开口向上。
二次函数y=ax2+bx+c的性质
4ac-b2 b b 对称轴是x=,顶点坐标是 （， ) 2a 2a 4a 当a﹥0时,在对称轴的左侧，即当x＜- b 时， 2a
升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax 2 +bx+c 与x轴有公共点(x 0 ,o), 那么x=x 0 就是方程 ax 2 +bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
B
0
6.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人 梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线
3 y=－ x 2＋3x＋1 5
的一部分，如图
（1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起 跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明 理由。
解（1）
∵
3 y=－ x 2＋3x＋1 5
=
-
3 5 19 ( x - )2 + 5 2 4
3 － ＜0 5
∴函数的最大值是
19 4 19 4
答：演员弹跳的最大高度是 （2）当x＝4时，
米
3 y=－ 42＋3 4＋1 5
＝3.4＝BC，所以这次表演成功。
例1：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1
2-4×4.1＜0，所以方程无解， 因为 (-4) 那么为什么 你能结合图 那么为什么 从上面我们看出， 对于二次函数 只在一个时 形指出为什 ∴球的飞行高度达不到 20.5m。 2 两个时间球 h= 20 t – 5 t 中，已知h 的值，求时间 间求得高度 么在两个时 2 2-4t=0 （ 4 ）解方程 0=20t-5t 即： t 的高度为零 为20m呢？t？其实就是把函数值h换成常数，求 间球的高度 呢？ t1=0,t2=4 为15m吗？一元二次方程的解。
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系
二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图 象向左（或向右）平移得到： 当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2 当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
即： t2-4t+3=0
h
20 10 o
t1=1,t2=3
∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。
（2）解方程20=20t-5t2
1 2
即： t2-4t+4=0
h = 20t - 5t
3
4
2
∴当球飞行2s时，它的高度为20m。 （3）解方程20.5=20t-5t2 即： t2-4t+4.1=0
t
t1=t2=2
有两个交点 有一个交点 没有交点
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
体会两种思想：
数形结合思想
分类讨论思想
下课!
结束寄语
•
•
时间是一个常数,但对勤奋者来说, 是一个“变数”. 用“分”来计算时间的人比用“小 时”来计算时间的人时间多59倍.
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2
的图象向上（或向下）平移得到： 当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k 当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位，得y=ax2+k
2
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行 的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应 满足怎样的抛物线，求出其解析式．
●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 桌，然后告诉老师？ 论
这节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系 交
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定，求x的值时，二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时， 二次函数就为一元二次方程。
y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧，即当x ﹥ - b 2a 时， y随x的增大而增大。 简记左减右增。抛物线有最 低点，当x=- b 时， y最 2a 2 小值= 40时：抛物线开口向下。 b 4ac-b2 b 对称轴是x=2a ,顶点坐标是(- 2a ， 4a ) 在对称轴的左侧，即当x ＜- b 时，y随x的 2a 增大而增大；
二次函数与一元二次方程 的关系
（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共 点，公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函 数值为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的 一个根
二次函数与一元二次方程
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 情况如何？（b2-4ac如何） 2 – 4ac > 0 b （1）有两个交点 （2）有一个交点 （3）没有交点
K≠0 5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 2-4ac≥0 b 2
图象知,关于x的方程ax +bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ -3.3 6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ B ）
7 4 7 B:k ? 且k 4 7 C :k <4 7 D:k <且k 4 A:k ? 0