上海理工大学附属中学高数学下册对数函数图像与性质教案沪教版

上海理工大学附属中学高一数学下册对数函数的图像与性质1教案
沪教版
【教学目标】
1、学会求含对数的简单复合函数的单调性及单调区间
2、能正确判断含对数的简单复合函数的奇偶性
3、学会求含对数的简单复合函数的值域
【教学重点与难点】
含对数的简单复合函数的单调性及单调区间、奇偶性、最值；会求解含对数的简单的不等式。

【教学过程】
2
例1、讨论函数y=log a(x - 2x-3)单调性
2
解：x — 2x — 3 0 , x 3 or x — 1
x・ 3, V ，f(x)=x2-2x-3 单调递增；
1，f (x) =x2 -2x -单调递减.
当a 1时：
2
y = log a(x -2x-3)在3上单调递增
2
y = loga(x -2x-3)在-：：，-1上单调递减
当0 ：： a ::: 1 时：
2
y = log a(x - 2x-3)在上单调递减
2
y=log a(x -2x-3)在, -1上单调递增
注：根据复合函数的单调性规律判定其单调性和单调区间.复合函数y=f[g(x)]的单调规律
是“同则增，异则减”即f(t)与g(x)若有相同的单调性则y=f[g(x)]必为增函数，若具有不同的单调性则y=f[g(x)]必为减函数.
例2：判断下列函数奇偶性：
2 _ x
⑴心―亍(a 0，厂“
(2) f (x) = ln( x -2) ln( x 2)
f (x) To
g 2 x 1「X2
2 +x 卜2
丿2 —x 」
解：1厂°得x「2,2
i‘2 + x = log a r; 2 -X
2 + x」
2 + x
f (-X) f(X)二lo
g a log a
2 —x
(2) 由x —2・°=. x .2
函数的定义域关于原点
不对称，
[x + 2 > 0 .该函数不具有奇偶性.
(3) 由 / _x 2 > 0，得—1c x c 1 •又 2+x —2=2 + x — 2=xH0，
得函数的定义域是
(—1 ,o )U (o ,1),
x j l —X 2
--------------- 2
1 r
，■” f (x) = log 2 --------------------- = log 2 P 1 - x (x 乏(一1 , 0) U (0 , 1)),
x
故该函数为偶函数.
说明：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件
例 3:若 x • [2 ,4]，求函数
f (x)二(lo
g 1
x)2 - log 1 x 2
5 的最大值.
4 4
x 厂 x [2 ,4] , t [-1 ,-丄], 2
1
而y 二t 2 -2t 5 =(t-1)2 4在[-1 ,--]上是单调递减的,
所以，当t = -1即X = 4时，得f max ( x) 8 •
2
1 1
例 4:设 f (x)二 2(log 2
x) 2 a log 2
b ,已知 x 时 f (x)有最小值 -8 , x 2
(1)求a 、b 的值；(2)在(1)的条件下，求 f (x) A0的解集.
(1)令 t=log 2
x(x 0) ,t R , y = 2t 2-2at b ,
2
4 2b —4a
1 a log
2 - 2
2
4 2b-4a 2
4 2
(2)由 f (x)
0 得：2t 2 4t - 6
0 二 t 1 或 t ：： -3 ,
由 log 2
x 1 或 log 2
x ： —3 得 x 2 或 0 ：： x ： 1
,
8
即原不等式的解集为
(0 ,丄)(2 ,:：).
8
冋题拓展:
例1:(1)若y=lg[(1 -a 2)x 2 • (1-a)x • 1]的定义域为 R ，求实数a 的取值范围. (2)若y = lg[(1 -a 2)x 2 • (1-a)x • 1]的值域为R ，求实数a 的取值范围.
解：⑴当a = 1时，y = lg1 = 0 , x 三R ，符合题意； 当a = _1时，y = lg(2 x 1)，不符合题意； 当 a 泣
士 1 时，由题意，二次函数
f (x) = (1 - a 2)x 2 • (1 - a)x • 1 . 0 丄1 - a 2
—
3
对一切实数
x 均成立，必须
2
2
= - 一 ：：： a ：：： 1 ,
分析：令
二 log
分析: 2时，得ym .
—(1 - a) — 4(1 - a ) ：：：0 5
3
综上可得： a • ( —_ , 1 ].
5
(2)令t = (1「a2)x2• (1「a)x T ,则y = lg t ,因为y取遍一切实数, 所以t应取遍一切正数.
当a=1时，y=lg1 =0 ,不符合题意；
1
当a =-1时，y=lg(2x・1),只须x即可符合题意；
当a -二1时，由题意，
二次函数t = (1 -a2)x2• (1 - a)x • 1的函数值要取遍一切正数，
必须1 -
a
2 1
：： a ::: 1 c
a 0 3
2 2nl
3 =—1ca 兰一—，二(1 —a)2—4(1 - a2) _ 0 a E—^ 或a_1 5
综上可得：a [-1，-汀
1 2
例2:当X，(0，-)时，不等式3x -log a x：：：0恒成立，求实数a的取值范围.
3
解：原不等式等价于：3x2< log a x，在同一个平面直角坐标系内，
1
分别作函数y^ 3x2，y2= log a x , x (0 ，)的图像，
3
当x ：= (0，—)时，y^ 3x2，且y t ”：y2在x ：= (0，—)时恒成立，
3 3 3
1 1
.只能0 ：：：a ：：：1，且必须y2• log a - - 1成立，
3 3
丄1 1 1
即a3^1^ < a <1 ,则a的取值范围是[1, 1).
3 27 27
巩固练习
1. 已知函数 f(x) =log a |x - 1 | 在区间(-1 , 0)上有 f(x) 0，则 f(x) 在区间(-：：,-1)
上的单调性如何？
0<a<1 二")^
1"
11
(0
心")
x 乏(一悶，-1)
二」f
(x)
=lo
ga (
-x-° (Oc”1
)故，由复合函数的单调性
X € (_°0，- 1)
便知f (x)在区间(-:：，-1)上单调递增.
2. 若函数y-log'xjkx-k)在区间(山，1-J3)上是增函数，求实数
2
k 的取值范围.
分析：令 t = g(x) =x 2「kx 「k - J 则y =log j t 关于 t (0，■：：)递减，
2
因为y 关于x E (-°° ,1-J3)递增，所以t 关于x 运(-°° ,1-J 3)递减 且t 恒大于0,由二次函数的图象可知 一土—3
* 2
二
2-2yl3<k<2 .
、g(1 - J 3)启0
1
3. 定义在R 上的偶函数 f (x)在(0，：：)上是增函数，且f()=0,
3 求满足f (log 1
x) 0的x 的取值范围.
8
分析：；y = f(x)(x ・R)为偶函数，其图像关于 y 轴对称-
— 1
有f (x)在(-：-,0)上是减函数，且
f (
)=0 - 3
1 1
利用f (x)的“图像”可得：log 1 x --或log 1 x ：：：——
1 3 8 3
— 1
=0 ：：： x 或x 2 .即满足 f (log 1 x) 0的x 的取值范围
分析:
f (x)
x (-1,0)
'log a |x + 1A 0 xe (_1，0)
kg a (x + 1) a 0 0 £ X + 1 £ 1
2 8
是x (0,1) (2，::).
2
【教学反思】:
本节课是继学生学习了对数函数的图像与性质并结合第三章《函数的基本性质》等知识,
对对数函数的单调性、奇偶性、最值等作进一步的学习和研究，是幕函数、指数函数等基本
初等函数研究的继续；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础•在本节课的学习中，涉及到整体代换、数形结合、分类讨论等数学思想，对培养学生的综合思维能力，提高学生的思辨能力有很大的帮助•教学中教师要启发学生归纳总结，提升解题能力•同时要根据学生的基础对例题作适当的取舍，要注意学生发展的差异性：每个学生基础各不相同，能力趋向也各不相同，潜能的
发挥更是有很大的发展空间，因此要关注每个学生在自己基础上的提高，各种能力的不断
培养和潜能的不断激发，使学生人人求提高；促使学生发展的持续性，教师要关注学生发展的科学性、基础性和潜在性，精心呵护和培养学生发展的每一种可能，并为可能的发展提
供良好的环境，使学生人人求发展.。