人教A版高中数学选修一教学质量评估.docx

高中数学学习材料
唐玲出品
肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012学年第一学期统一检测题
高二数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在空间中，下列命题正确的是
A ．垂直于同一平面的两条直线平行
B ．垂直于同一平面的两个平面平行
C ．平行于同一直线的两个平面平行
D ．平行直线的平行投影重合 2．下列是全称命题且是真命题的是
A ．0,2>∈∀x R x
B ．0,,2
2>+∈∀y x R y x
C ．Q x Q x ∈∈∀2
, D ．1,200>∈∃x Z x
3．双曲线
14
252
2=-y x 的渐近线方程是 A ．x y 52±
= B ．x y 25±= C ．x y 254±= D ．x y 4
25±= 4．命题“若a >-3，则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知点P （3，m ）在过M （-2，1）和N （-3，4）两点的直线上，则m 的值为
A ．15
B ．14
C ．-14
D ．-16 6．函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是
A ．ab =0
B ．a +b =0
C ．a =b
D ．02
2=+b a
7．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．异面
8．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+k y x 的离心率为2
1，则实数k 等于 A ．3 B ．
32 C ．38 D ．2
3 9．若圆02)1(2
22=-+-++m my x m y x 关于直线01=+-y x 对称，则实数m 的值为
A ．-1或3
B ．-1
C ．3
D ．不存在
10．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则
该几何体体积为
A ．34
B ．32
C ．4
D ．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11．用一个平面截半径为25的球，截面面积是225π，则球心到截面的距离为 ▲ .
12．双曲线14
22
2=-y x 的离心率等于 ▲ . 13．若动点P 在122
+=x y 上，则点P 与点Q （0，-1）连线中点的轨迹方程是 ▲ .
14．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =4，
CD =2. E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF =3， EF //AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积 比为 ▲ .
2
俯视图正视图
侧视图
232
A B
C D
E
F
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）
求满足下列条件的直线的方程：
（1）经过点A （3，2），且与直线4x +y -2=0平行；
（2）经过点B （2，-3），且平行于过点M （1，2）和N （-1，-5）的直线； （3）经过点C （3，0），且与直线2x +y -5=0垂直.
16．（本小题满分13分）
如图，一个高为H 的三棱柱形容器中盛有水. 若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、A 1C 1、B 1C 1的中点E 、F 、E 1、F 1. 当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？
17．（本小题满分13分）
如图，三棱锥V —ABC 中，VO ⊥平面ABC ，O ∈CD ，VA =VB ，AD =BD . （1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）证明：AC =BC .
18．（本小题满分14分）
求与x 轴相切，圆心在直线3x -y =0上，且被直线x -y =0截得的弦长为72的圆的方程.
19．（本小题满分14分）
如图，棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点.
A
B
C
A 1
B 1
C 1E F E 1
F 1A 1
B C 1
E
F
M
N
A
B
C
D
O
V
（1）求证：B 、D 、E 、F 四点共面； （2）求证：平面AMN //平面BEFD ； （3）求点A 1到平面AMN 的距离．
20．（本小题满分14分）
已知F 1、F 2分别为椭圆C 1：)0(122
22>>=+b a b
x a y 的上、下焦点，其中F 1也是抛物
线C 2：y x 42
=的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且3
5||1=
MF . （1）求椭圆C 1的方程；
（2）已知A （b ，0），B （0，a ），直线 y =kx （k >0）与椭圆C 1相交于E 、F 两点. 求四边形AEBF 面积的最大值.
2011—2012学年第一学期统一检测题 高二数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A
C
A
B
C
D
C
D
C
B
A
B M
O
E F 1
x
y F
二、填空题
11．20 12．3 13．2
4x y = 14．7:5
三、解答题
15．（本小题满分12分）
解：（1）由直线4x +y -2=0得直线的斜率为-4， （2分） 所以经过点A （3，2），且与直线4x +y -2=0平行的直线方程为
y -2=-4(x -3)，即4x +y -14=0. （4分） （2）由已知，经过两点M （1，2）和N （-1，-5）的直线的斜率
2
7
1125=----=
k ， （6分）
所以，经过点B （2，-3），且平行于MN 的直线方程为
)2(2
7
3-=
+x y ，即7x -2y -20=0. （8分） （3）由直线2x +y -5=0得直线的斜率为-2， （9分） 所以与直线2x +y -5=0垂直的直线的斜率为
2
1
. （10分） 所以，经过点C （3，0），且与直线2x +y -5=0垂直的直线方程为
)3(2
1
-=
x y ，即x -2y -3=0. （12分）
16．（本小题满分13分）
解：当侧面AA 1B 1B 水平放置时，水的体积V 等于 四棱柱ABFE —A 1B 1F 1E 1的体积， （2分）
H S V V ABFE ∙==梯形四棱柱. （4分）
当底面ABC 水平放置时，设水面高为h ，则水的体积h S V ABC ∙=∆. （6分） 因为E 、F 为AC 、BC 的中点，所以ABC CEF S S ∆∆=4
1
， （8分） 所以ABC ABFE S S ∆=
4
3
梯形. （9分） 由h S H S ABC ABFE ∙=∙∆梯形，即h S H S ABC ABC ∙=∙∆∆43，得H h 4
3
=. （12分）
故当底面ABC 水平放置时，液面高为H 4
3
. （13分）
A
B
C
A 1
B 1
C 1
E F
E 1
F 1
17．（本小题满分13分）
解：（1）因为VO ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ， 所以VO ⊥AB . （2分）
因为VA =VB ，AD =BD ，即VD 为等腰ΔVAB 底边上中线， 所以VD ⊥AB . （4分）
又因为VO ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，且VO ∩VD =V ， 所以AB ⊥平面VCD . （6分）
又AB ⊂平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD . （8分） （2）由（1），得AB ⊥平面VCD ，且CD ⊂平面VCD ，（9分） 所以AB ⊥CD . （10分） 又AD =BD ，所以CD 为线段AB 的垂直平分线. （12分） 故AD =BD. （13分）
18．（本小题满分14分）
解：设所求的圆的方程是)0()()(2
22>=-+-r r b y a x ， （2分）
则圆心到直线x -y =0的距离为
2
||b a -， （4分）
所以222
)7()2
||(
+-=b a r ，即14)(222+-=b a r ① （6分）
因为所求的圆与x 轴相切，所以2
2
b r = ② （8分） 又因为所求圆心在直线3x -y =0上，所以3a -b =0 ③ （10分）
联立①②③，解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,3,1r b a 或⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=.3,3,1r b a （12分）
故所求圆的方程为9)3()1(22=-+-y x 或9)3()1(2
2=+++y x . （14分）
19．（本小题满分14分）
A
B
C
D
O
V
（1）证明：如图，连接B 1D 1. 因为E 、F 为B 1C 1、C 1D 1的中点， 所以EF //B 1D 1. （2分） 又因为BD //B 1D 1，
所以EF //BD . （3分） 故B 、D 、E 、F 四点共面. （4分） （2）证明：连接EN .
因为M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点，所以MN //B 1D 1.
又EF //B 1D 1，所以MN / / EF . （5分） 因为EF ⊂平面BEFD ，所以MN //平面BEFD . （6分） 因为E 、N 为B 1C 1、A 1D 1的中点，所以EN //A 1B 1，且EN =A 1B 1. 又AB //A 1B 1，且AB =A 1B 1，所以NE / / AB ，且NE =AB .
所以四边形ABEN 为平行四边行，故AN //BE . （7分） 因为BE ⊂平面BEFD ，所以AN //平面BEFD . （8分） 因为MN ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，且MN ∩AN =N ，
所以平面AMN //平面BEFD . （9分） （3）证明：设A 1到平面AMN 的距离为d . 在∆AMN 中，a a a AN AM 254122=+
=
=，a a a MN 2
2
414122=+=， 所以2
228
3162452221a a a a S AMN =-⨯⨯=
∆. （11分） 因为MN A A AMN A V V 1
1--=三棱锥三棱锥， （12分） 即a a d a ⨯⨯=⨯⨯228
1
318331， （13分） 解得3a d =,故A 1到平面AMN 的距离为3
a
. （14分）
20．（本小题满分14分） 解：（1）设)0)(,(000<x y x M .
A
B
C D A 1
B 1
C 1
E F
M
N A
B
M
F 1
y F
由C 2：y x 42
=，得F 1（0，1）. （1分）
因为M 在抛物线C 2上，故02
04y x =. ① （2分）
又35||1=
MF ，则3
5
10=+y . ② （3分） 解①②得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=.32,36200y x （4分） 因为点M 在椭圆上，故1)
362()32(22
22=-+b a ，即138942
2=+b
a ③ （5分） 又c =1，则12
2
+=b a ④ （6分）
解③④得⎪⎩⎪⎨⎧==.
3,
42
2
b a 故椭圆C 1的方程为
13422=+x y . （7分） （2）不妨设),(11y x E ，),(22y x F ，且21x x <.
将kx y =代入13422=+x y 中，可得4
312
22+=k x ， （8分） 即4
3322
12+=
-=k x x ，所以4
3322
12+=
-=k k y y . （9分）
由（1）可得2||,3||==OB OA . （10分）
故四边形AEBF 的面积为
222232322
1
2221y x y x S S S AEF BEF +=⨯⨯+⨯⨯=
+=∆∆. （11分） 所以4
3341324
364
334222++
∙=++
+=
k k
k k k S （12分）
因为k k 34432
≥+，所以
14
3342≤+k k
. （13分）
所以62≤S ，当且仅当3
3
2=
k 时，等号成立. 故四边形AEBF 面积的最大值为62. （14分）。