天津河北区2017届高三质量检测(二)模数学(理)试卷(含答案)

河北区2016－2017学年度高三年级总复习质量检测（二）
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规
定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，
用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
· 如果事件A ，B 互斥，那么
P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )
· 如果事件A ，B 相互独立，那么
P (AB )＝P (A )P (B )
· 球的表面积公式 S ＝2
4R π
球的体积公式 V ＝34
3
R π
其中R 表示球的半径
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{x ∈R | x ≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为
（A ）{1，2，3} （B ）{3，4，5}
（C ）{1，2} （D ）{4，5}
（2）若x 、y 满足 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，
y ≥0，且 z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为
（A ）2
（B ）－2
（C ）1
2
（D ）－1
2
（3）在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π
3
，△ABC 的面积为3，则AC 的长为
（A ）3 （B ）13
（C ）21 （D ）57
（4）执行如图所示的程序框图．如果输入 n ＝5，
则输出的S 值为 （A ）4
9
（B ）89
（C ）5
11
（D ）1011
（5）已知条件 p ：|x ＋1|＞2，条件 q ：x ＞a ，且 ¬p 是 ¬q 的充分不必要条件，
则 a 的取值范围是 （A ）a ≤1
（B ）a ≥1
（C ）a ≥－1 （D ）a ≤－3
（6）已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的 斜率为 （A ）－2
（B ）－4
3
（C ）－3
4
（D ）－1
2
（7）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足 (OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →
)＝0， 则△ABC 的形状为
（A ）直角三角形
（B ）等腰三角形
（C ）等腰直角三角形
（D ）等边三角形
（8）对任意的x ＞0，总有 ()|lg |f x a x x =--≤0，则a 的取值范围是 （A ）(－∞，lge －lg(lge)] （B ）(－∞，1]
（C ）[1，lge －lg(lge)] （D ）[lge －lg(lge)，＋∞)
河北区2016－2017学年度高三年级总复习质量检测（二）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2．用钢笔或圆珠笔答在答题纸
．．．上。

3．本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.
（9）i是虚数单位，复数3＋2i
2－3i
＝______________．
（10）某三棱锥的三视图如图所示，则该
三棱锥的体积为______________．
（11）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限
内围成的封闭图形的面积为______________．
（12）若(a＋x)5展开式中x2 的系数为10，则实数a＝_________．
（13）在极坐标系中，直线ρcosθ－3ρsinθ－1＝0 与圆ρ＝2cosθ 交于A、B两点，则|AB|＝______________．
（14）设函数y＝f(x)是定义在R上以1为周期的函数，若g(x)＝f(x)－2x在区间[2，3] 上的值域为[－2，6]，则函数g(x)在[－2017，2017] 上的值域为．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若a ＋c ，b ABC 的面积．
（16）（本小题满分13分）
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为1
7，现有甲、乙两人
从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求取球次数X 的分布列和数学期望．
如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的一点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）如图（1），若PE＝1
3
PB，求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）如图（2），若E是PB的中点，且二面角P－AC－E 的余弦值为
6 3，
求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
图（1）图（2）
（18）（本小题满分13分）
已知等差数列{ a n } 满足：a1＝1，a n+1＞a n (n∈N*)，a1＋1，a2＋1，a3＋3成等比数列，a n＋2log2b n＝－1．
（Ⅰ）求数列{ a n }，{ b n } 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{ a n·b n } 的前n项和T n．
椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1 (a＞b＞0) 的离心率e＝
3
2，a＋b＝3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，
直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，试证明：2m－n为定值．
已知函数 ()ln f x x x =，2()3g x x ax =-+-． （Ⅰ）求函数 f (x ) 在 [t ，t ＋2] (t ＞0) 上的最小值；
（Ⅱ）对一切 x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）探讨函数 12
()ln e e x
F x x x
=-+ 是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点；若不存在，请说明理由．
河北区2016－2017学年度高三年级总复习质量检测（二）
数 学 答 案（理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）i ； （10）1
6；
（11）4；
（12）1；
（13）2；
（14）[－4030，4044]．
三、解答题：本大题共6小题，共80分． （15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由 2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1， 得 sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
． …… 2分
∴ ()2sin sin cos cos 1A C A C -=． ∴ ()1
cos 2
A C +=-． …… 4分
∴ 1
cos 2
B =
． …… 6分 又 0B <<π, ∴ 3
B π
=
． …… 7分 （Ⅱ）由 2222cos b a c ac B =+-，得 ()2
23a c ac b +-=， …… 9分
又 a ＋c ，b ∴ 4ac =． …… 11分
∴ 11sin 422ABC S ac B ∆=
=⨯=． …… 13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球，
由题意知 C 2n
C 27＝n (n －1)27×62
＝n (n －1)7×6
＝17， …… 4分
所以 n (n －1)＝6．
解得 n ＝3 (n ＝－2，舍去)．
即袋中原有3个白球． …… 6分
（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4，5．
P (X ＝1)＝3
7； P (X ＝2)＝4×37×6＝27；
P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635； P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝3
35；
P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝1
35
．
…… 11分 所以 E (X )＝1×37＋2×27＋3×635＋4×335＋5×1
35＝2． …… 13分
（17）（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：∵ PC ⊥底面ABCD ， ∴ PC ⊥AC ． …… 1分
∵ AB ＝2AD ＝2CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ， ∴ AC ＝BC ＝2． ∴ AC 2＋BC 2＝AB 2．
∴ ∠ACB ＝90o ，即BC ⊥AC ． …… 2分 又 BC ∩PC ＝C ，
∴ AC ⊥平面PBC ． …… 3分 又 AC ⊂平面EAC ，
∴ 平面EAC ⊥平面PBC ． …… 4分 （Ⅱ）证明：连BD 交AC 于点F ，连EF ， ∵ AB ∥CD ，AB ＝2CD ，
∴
1
2
DF CD FB AB ==． …… 5分 ∵ PE ＝1
3
PB ，
∴
PE DF
EB FB
=． …… 6分 ∴ EF ∥PD ． …… 7分
又 EF ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ， ∴ PD ∥平面EAC ． …… 8分
（Ⅲ）解：以点C 为原点，建立如图的空间直角坐标系， 则 C (0，0，0)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)，
设 P (0，0，a ) (a ＞0)，则 E (12，－12，a
2
)，
∴ CA ＝(1，1，0)，CP ＝(0，0，a )，CE ＝(12，－12，a
2
)，
取 m ＝(1，－1，0)，则 m CP ＝m CA ＝0， ∴ m 为平面PAC 的法向量． …… 9分
设 n ＝(x ，y ，z ) 为平面EAC 的法向量，则 n CE ＝n CA ＝0，
∴ 00，
．x y x y az +=⎧⎨-+=⎩
取 x ＝a ，则 y ＝－a ，z ＝－2，
∴ n ＝(a ，－a ，－2)． …… 10分
∵ |cos |，m n <>＝
||
||||m n m n ＝＝63， ∴ a ＝2． …… 11分
∴ n ＝(2，－2，－2)．
设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，
则 ||2
sin |cos |3||||，PA n PA n PA n =<>==
θ． …… 12分 ∴ 直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为
2
3
． …… 13分
（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设d 为等差数列 { a n } 的公差，a 1＝1， 则 a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，
∵ a 1＋1，a 2＋1，a 3＋3成等比数列， ∴ (2＋d )2＝2(4＋2d )． …… 2分 ∵ d ＞0，
∴ d ＝2． …… 3分
∴ a n ＝2n －1． …… 4分 ∵ a n ＋2log 2b n ＝－1，
∴ log 2b n ＝－n ． …… 5分
∴ b n ＝1
2
n ． …… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知21
2
n n n n a b -⋅=，
∴ 2313521
2222n n n T -=
+++…+，…… ① …… 8分 2341113521
22222
n n n T +-=+++…+．… ②
①－② 得
231111
11212222
222n n n n T +-⎛⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭…+-， …… 10分
21111111111211
121323222112222222212
n n n n n n n n n T -*-**⎛⎫
⎪--+⎝⎭=+⨯
=+--=----， ∴ 23
32n n
n T +=-． …… 13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵ e ＝32＝c
a
， ∴ a ＝
23c ，b ＝1
3
c ． 代入 a ＋b ＝3 解得 a ＝2，b ＝1，c ＝3．
∴ 椭圆的方程为 x 24
＋y 2
＝1． …… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 B (2，0)，因为P 不为椭圆顶点，
则直线BP 的方程为 y ＝n (x －2)， (n ≠0，n ≠±1
2
)． … ①
将①代入 x 2
4＋y 2＝1，解得 P (8n 2－24n 2＋1，－4n
4n 2＋1
)． …… 6分
直线AD 的方程为 y ＝1
2x ＋1． … ②
①与②联立解得 M (4n ＋22n －1，4n
2n －1
)． …… 8分
由 D (0，1)，P (8n 2－24n 2＋1，－4n
4n 2＋1)，N (x ，0) 三点共线得 －4n 4n 2＋1－18n 2－24n 2＋1
－0＝0－1x －0
，
解得 N (4n －2
2n ＋1
，0)． …… 10分
∴ MN 的斜率为 m ＝4n
2n －1－04n ＋22n －1－
4n －22n ＋1
＝4n (2n ＋1)2(2n ＋1)2－2(2n －1)
2＝2n ＋1
4． …… 12分 ∴ 2m －n ＝2n ＋12－n ＝1
2
(定值)． …… 14分
（20）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）'()ln 1f x x =+ (0)x >， …… 2分
由 '()0f x < 得 10e x <<，由 '()0f x > 得 1
e x >，
∴ 函数 f (x ) 在 (0，1e ) 上单调递减，在 (1
e ，＋∞) 上单调递增． …… 4分
当1
0e
≤t <时，12e t +>，
∴ min 11
()()e e
f x f ==-．
当1
e
t >时，f (x )在 [t ，t ＋2] 上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==，
∴ min 1
10e e ()1ln e ， ≤，，．
t f x t t t ⎧-<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
…… 6分
（Ⅱ）原问题可化为3
2ln a x x x
≤++，
设 ()()3
2ln 0h x x x x x
=++>， 则 ()()()231'x x h x x +-=
， …… 8分 当01x <<时，'()0h x <，()h x 在 (0，1) 上单调递减； 当1x >时，'()0h x >，()h x 在 (1，＋∞) 上单调递增；
∴ min ()(1)4h x h ==．
∴ a 的取值范围为 (－∞，4]． …… 10分
（Ⅲ）令()0F x =，得12ln 0e e x x x -+=，即()2
ln 0e e
x x x x x =->，
由（Ⅰ）知当且仅当 1
e
x = 时，()ln (0)f x x x x =>的最小值是11()e e f =-，
设 ()2()0e e x x x x =->ϕ，则 1'()e
x x
x -=ϕ，
易知 ()x ϕ 在 (0，1) 上单调递增，在 (1，＋∞) 上单调递减，
∴ 当且仅当1x =时，()x ϕ取最大值，且 1
(1)e
=-ϕ． …… 12分
∴ 对()0，
x ∈+∞都有 2ln e e x x x x >-，即 12
()ln 0e e x F x x x
=-+> 恒成立． ∴ 函数 F (x ) 无零点． …… 14分。