八年级数学上册 13.1 命题与证明 课后作业

第十三章 全等三角形
13.1命题与证明
专题 命题、逆命题、证明
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A.每一个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.假命题没有逆命题
2. 写出下列命题的逆命题，并判断真假.
（1）如果x y =，那么22x y =；
（2）如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角；
（3）三角形的一条中线平分三角形的面积；
（4）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除.
3. 写出下列定理的逆命题，并判断真假，是假命题的举例说明.
（1）互为邻补角的两个角的和为180°；
（2）对顶角相等；
（3）平行于同一条直线的两条直线平行.
4. 证明：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直.
【知识要点】
1.逆命题、互逆命题
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.两个互逆的命题中，如果将其中一个称为原命题，那么另一个就是这个原命题的逆命题.
2. 逆定理、互逆定理
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原命题的逆定理，一个定理和它的逆定理是互逆定理.
3.原命题和它的逆命题的真假没有必然的联系，若要说明一个命题是假命题，只要举反例即可，若要说明一个命题是真命题，则需要证明.
【温馨提示】
1.逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
2.不是所有的定理都有逆定理.
【方法技巧】
判断命题的真假可以举反例说明：符合命题的条件，但不符合结论.
1.A 解析：假命题的逆命题不一定是假命题，定理不一定有逆定理，假命题也有逆命题.B 、C 、D 都错.
2. 解：（1）逆命题是：如果22
x y =，那么x y =.是假命题.
（2）逆命题是：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的另外一个角是钝角.是假命题.
（3）逆命题是：将三角形的面积分成相等的两部分的线是三角形的一条中线.是假命题.
（4）逆命题是：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.是假命题.
3.解：（1）逆命题是：如果两个角的和为180°，那么它们互为邻补角.是假命题，例如：∠1+∠2= 180°，但∠1和∠2不一定是邻补角.
（2）逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角.是假命题，例如：如图，∠AOC =∠BOC ,但 ∠AOC 和∠BOC 不是对顶角.
（3）逆命题是：如果两条直线平行,那么这两条直线平行于同一条直线.是假命题，例如：如图， a ∥b ，但是a ⊥c ，b ⊥c .
4.解：如图，已知AB ∥CD ，直线EF 交AB ，CD 分别于点G ，H ，∠BGH 与∠DHG 是一组同旁内角，PG 平分∠BGH ，PH 平分∠DHG ，求证：PG ⊥PH .
证明：∵AB ∥CD ，∴∠BGH +∠DHG =180°.∵PG 平分∠BGH ，PH 平分∠DHG ，∴∠PGH =
12∠BGH ，∠PHG =12∠DHG ， ∴∠PGH +∠PHG =12
（∠BGH +∠DHG ）=90°，∴∠GPH =90°，即PG ⊥PH .。