上海市封浜高中2018_2019学年高二数学上学期期中试题

2018学年上海市封浜高中第一学期高二数学期中考试试卷
（2018.11）
（满分：100分 考试时间：90分钟）
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.
1. 已知()1,3a =-
，则a = ___________.
2. 方程组21
320
x y x y -=⎧⎨
+=⎩的增广矩阵为_______________________.
3. 行列式101
213131
--- 中3-的代数余子式的值为___________.
4. 已知R a ∈，若11
321
lim
22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34
n n
n n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.
7. 已知3a = ，4b = ，5a b +=
，则a 与b 的夹角为.
8. 已知()1,2a =，(),4b m =
，()
||2a a b + ，则实数m 的值为_____________.
9.
设向量()3,0a =- ，()2,6b =-
，则b 在a 上的投影为______________.
10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则
=∞→2
lim
n
n
n a S __________．
11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =
，()1,1b =
，a 与a b λ+ 的夹
角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________. 12. 如图所示：矩形n n n n A B PQ 的一边n n A B 在x 轴上，另两个
顶点,n n P Q 在函数2
2()(0)1x
f x x x
=
>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*
,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B PQ 的面积记为n S ，则lim n n S →∞
=.
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的.
13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）
（A ）若0 =a ，则0=a ； （B ）若b a
=，则b a =或b a -=；
（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b 是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a
．
14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2
n n a +-=，则此数列…………………………（ ）
（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞
不存在．
15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n
=-+-++-- ，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B)11
2224k a k k +-++
(C)122k a k ++(D)11
2122
k a k k +-++
16. 有下列四个命题：
①若2
2lim A a n n =∞
→，则A a n n =∞
→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞
→lim ，则0>A ；
③若()0lim =-∞
→n n n b a ，则n n n n b a ∞
→∞
→=lim lim ；④若A a n n =∞
→lim ，则2
2
lim A a n n =∞
→.
其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.（本题满分10分）
已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点，
(1) 求向量AB
的坐标及AB ；
(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．
18.（本题满分10分）
用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1
323
mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.
19. （本题满分10分）
已知O 为坐标原点，()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---
.
（1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；
（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.
20．（本题满分10分）
已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11
lim(
)12
n n a q q →∞
-=+，求首项1a 的取值范围.
21.（本题满分12分）
已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点 ，n A 是线段21n n A A --的中点， （1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；
（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.
2018学年第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。

一、填空题：
121
320
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
3.5
- 4. 2 5.
1
4
-
6.
4
5
7.
2
π
8. 2 9. 2 10.
1
4 11. ()
5
,00,
3
⎛⎫
-⋃+∞
⎪
⎝⎭
12. 2
二、选择题：
13. A 14. D 15. D 16. A
三、解答题：
17.解：
（1）()
8,6
AB=-
……………………………………………………………………2分
10
AB
∴==
………………………………………………………4分（2）()()()
3,45,102,14
OC OA OB
=+=--+-=-
……………………………6分
OC==
8分
1010
OC
OC n
OC
⎛
∴==-
⎝⎭
与同向的单位向量…………………………………10分18. 解：
由已知可得：
1
(3)
3
m
D m m
m m
==-+
-
，
11
(3)
23
x
D m
m m
-
==-+
+-
，
1
2(3)
323
y
m
D m m
m m
-
==+
+
………………………………………………………3分当0
D≠，即03
m m
≠≠-
且时，方程组有唯一解
1
2
x
y
D
x
D m
D
y
D
⎧
==
⎪⎪
⎨
⎪==-
⎪⎩
；………………6分
当0D =，即0m =时，0x D ≠，方程组无解；………………………………………8分
当0D =，即3m =-时，0x y D D ==，方程组有无穷多解13t x y t
+⎧=
⎪⎨⎪=⎩.…………10分
19.解：由已知得，()()()6,33,43,1AB OB OA =-=---=
，…………………1分 ()()()5,33,42,1AC OC OA m m m m =-=-----=--
，………………………2分
A B C 、、三点共线
| | AB AC ∴
………………………………………………………………………………3分
3(1)2,21m m m -=-=1
2
m ∴=
……………………………………………………………………4分
（2）ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形
AB AC=0∴⋅
……………………………………………………………………………5分
()()()312,1321740m m m m m ⋅--=-+-=-=，
………………………………6分 即7
4
m =
…………………………………………………………………………………7分
AB ∴=
………………………………………………………………………………8分
AC = ………………………………………………9分
1152244
Rt BAC
S AB AC ∴=== ……………………………………………10分 20.解：
由题意可知，lim n
n q →∞
一定存在，则01q <<或1q =.…………………………………2分
当1q =时，111
lim(
)1122
n n a a q q →∞-=-=+，则13a =.…………………………………4分
当01q <<时，111lim()112
n
n a a q q q →∞-==++，则121a q -=，10211a <-<，解得101
a <<且11
2
a ≠.………………………………………………………………………8分
综上，{}1110,,1322a ⎛⎫⎛⎫∈⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
………………………………………………………10分
21. 解：
（1） ()122,3n n n x x x n --=+≥……………………………………….4分 （2）12311
,,24
a a a a a a ==-
=……………………………….5分 推测()1*
1
(),2
n n a a n N -=-∈……………………………………….7分
0111121
2121111111
(1)1,(),2
1
2,()2
1
=()
211
()()
221111
()()2222
k k n n n
k k k k k k k k k k k k k k k n a a a n k a a a x x a x x x x x x x x x x x a a a -++++++++++-+-==-===-=-∴=-+∴=+-=-=-=--=- 用数学归纳法证明
当时等式成立；...................8分
（）假设时等式成立,
又等式也成立...*11
12,()2
n n n N a a -∈=-........................11分
由（）(）可得，对一切等式都成立。

................12分。