2015年普通高等学校招生全国统一考试理数(重庆卷)及解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
理科数学
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2015高考重庆卷,理1)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( D )
(A)A=B (B)A∩B=⌀ (C)A⫋B (D)B⫋A
解析:因为A={1,2,3},B={2,3},
所以A≠B,A∩B={2,3}≠⌀;
又1∈A且1∉B,
所以A不是B的子集,故选D.
2.(2015高考重庆卷,理2)在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6等于( B )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)6
解析:由等差数列的性质知a2+a6=2a4,
所以a6=2a4-a2=0,故选B.
3.(2015高考重庆卷,理3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:
则这组数据的中位数是( B )
(A)19 (B)20 (C)21.5 (D)23
解析:由茎叶图知,平均气温在20 ℃以下的有5个月,在20 ℃以上的也有5个月,恰好是20 ℃的有2个月,由中位数的定义知,这组数据的中位数为20.故选B.
4.(2015高考重庆卷,理4)“x>1”是“lo(x+2)<0”的( B )
(A)充要条件(B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件
解析:当x>1时,x+2>3>1,又y=lo x是减函数,
所以lo(x+2)<lo1=0,则x>1⇒lo(x+2)<0;当lo(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo(x+2)<0⇒/ x>1.故“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分而不必要条件.故选B.
5.(2015高考重庆卷,理5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A )
(A)+π(B)+π
(C)+2π(D)+2π
解析:由三视图知,该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体.
V=V三棱锥+V圆柱=××2×1×1+×π×12×2=+π.故选A.
6.(2015高考重庆卷,理6)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( A )
(A)(B)(C)(D)π
解析:因为(a-b)⊥(3a+2b),
所以(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒
3|a|2-|a|·|b|·cos a,b-2|b|2=0.
又因为|a|=|b|,
所以|b|2-|b|2·cos a,b-2|b|2=0.
所以cos a,b=,
因为a,b [0,π],
所以a,b=.故选A.
7.(2015高考重庆卷,理7)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是( C )
(A)s≤(B)s≤(C)s≤(D)s≤
解析:k=2,s=;k=4,s=+=;k=6,
s=++=;k=8,s=+++=.
此时循环结束,所以判断框中可填入的条件是s≤.故选C.
8.(2015高考重庆卷,理8)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|等于( C )
(A)2 (B)4(C)6 (D)2
解析:圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|===6.故选C.
9.(2015高考重庆卷,理9)若tan α=2tan,
则等于( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:====,
因为tan α=2tan ,
所以==3.故选C.
10.(2015高考重庆卷,理10)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A )
(A)(-1,0)∪(0,1)
(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(C)(-,0)∪(0,)
(D)(-∞,-)∪(,+∞)
解析:由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B c,,C c,-,k AB=,
因为CD⊥AB,
所以k C D=,
所以直线CD的方程为y+=(x-c).由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得x D=+c,点D到直线BC的距离为c-x D,
所以<a+=a+c,b4<a2(c-a)·(c+a)=a2·b2,b2<a2,2<1,又该双曲线的渐近线的斜率为或-,所以双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).故选A.
二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.
11.(2015高考重庆卷,理11)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .
解析:复数a+bi(a,b∈R)的模为=,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.答案:3
12.(2015高考重庆卷,理12)x3+5的展开式中x8的系数是(用数字作答).
解析:二项展开式的通项为T r+1=(x3)5-r·r=·,令15-3r-=8,得r=2,于是展开式中x8的系数
为×=×10=.
答案:
13.(2015高考重庆卷,理13)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC= .
解析:依题意知∠BDA=∠C+∠BAC,由正弦定理得=,
所以sin∠C+∠BAC=,
因为∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,
所以∠C+∠BAC=45°,
所以∠BAC=30°,∠C=30°.
从而AC=2·ABcos 30°=.
答案:
考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.
14.
(2015高考重庆卷,理14)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,则BE= .
解析:由切割线定理得PA2=PC·PD,
得PD===12,
所以CD=PD-PC=12-3=9,即CE+ED=9,
因为CE∶ED=2∶1,
所以CE=6,ED=3.
由相交弦定理得AE·EB=CE·ED,即9EB=6×3,得EB=2.
答案:2
15.(2015高考重庆卷,理15)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为.
解析:直线l的普通方程为y=x+2,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4(x≤-2),故直线l与曲线C的交点为(-2,0),对应极坐标为(2,π).
答案:(2,π)
16.(2015高考重庆卷,理16)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= .
解析:当a≤-1时,f(x)=
所以f(x)min=-a-1,
所以-a-1=5,
所以a=-6.
当a>-1时,f(x)=
所以f(x)min=a+1,
所以a+1=5,
所以a=4.
综上,a=-6或a=4.
答案:-6或4
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分13分)
(2015高考重庆卷,理17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
解:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.
(2)X的所有可能值为0,1,2,且
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==.
综上知,X的分布列为
故E(X)=0×+1×+2×=(个).
18.(本小题满分13分)
(2015高考重庆卷,理18)已知函数f(x)=sin sin x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x)在上的单调性.
解:(1)f(x)=sin-x sin x-cos2x
=cos xsin x-(1+cos 2x)
=sin 2x-cos 2x-
=sin2x--,
因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.
(2)当x∈,时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,
当≤2x-≤π,
即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在,上单调递增;在,上单调递减.
19.(本小题满分13分)
(2015高考重庆卷,理19)
如图,三棱锥P ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=.D,E分别为线段AB,BC上的点,且
CD=DE=,CE=2EB=2.
(1)证明:DE⊥平面PCD;
(2)求二面角A-PD-C的余弦值.
(1)证明:由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,得PC⊥DE.由CE=2,CD=DE=得△CDE为等腰直角三角形,故CD⊥DE.
由PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,
故DE⊥平面PCD.
(2)解:由(1)知,△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=.如图,过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.
由∠ACB=得DF∥AC,
==,
故AC=DF=.
以C为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则
C(0,0,0),P(0,0,3),
A,0,0,E(0,2,0),D(1,1,0),=(1,-1,0),
=(-1,-1,3),=,-1,0.
设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),
由n1·=0,n1·=0,
得
故可取n1=(2,1,1).
由(1)可知DE⊥平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为,即n2=(1,-1,0).
从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为
cos n1,n2==,
故所求二面角A PD C的余弦值为.
20.(本小题满分12分)
(2015高考重庆卷,理20)设函数f(x)=(a∈R).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.
解:(1)对f(x)求导得f'(x)=
=,
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0.
当a=0时,f(x)=,f'(x)=,
故f(1)=,f'(1)=,
从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=(x-1),
化简得3x-ey=0.
(2)由(1)知f'(x)=.
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0解得x1=,
x2=.
当x<x1时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)为减函数;
当x1<x<x2时,g(x)>0,即f'(x)>0,故f(x)为增函数;
当x>x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)为减函数.
由f(x)在[3,+∞)上为减函数,知x2=≤3,解得a≥-,故a的取值范围为-,+∞.
21.
(本小题满分12分)
(2015高考重庆卷,理21)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;
(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.
解:(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.
设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|===2,即c=,从而b==1.
故椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)连接F1Q.
法一如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,
则+=1,+=c2,
求得x0=±,
y0=±.
由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,
从而|PF1|2=+c2+
=2(a2-b2)+2a
=(a+)2.
由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|.
因此(2+)|PF1|=4a,
即(2+)(a+)=4a,
于是(2+)(1+)=4,
解得e==-.
法二如图,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,
|QF1|+|QF2|=2a.
从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,
有|QF1|=4a-2|PF1|.
又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a,
从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.
由PF1⊥PF2,
知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,
因此e==
=
==-.
22.(本小题满分12分)
(2015高考重庆卷,理22)在数列{a n}中,a1=3,a n+1a n+λa n+1+μ=0(n∈N+).
(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a n}的通项公式;
(2)若λ=(k 0∈N+,k0≥2),μ=-1,证明:2+<<2+.
(1)解:由λ=0,μ=-2,有a n+1a n=2(n∈N+).若存在某个n0∈N+,使得=0,则由上述递推公式易得=0.重复上述过程可得a1=0,此与a1=3矛盾,所以对任意n∈N+,a n≠0.
从而a n+1=2a n(n∈N+),即{a n}是一个公比q=2的等比数列.
故a n=a1q n-1=3·2n-1.
(2)证明:由λ=,μ=-1,数列{a n}的递推关系式变为
a n+1a n+a n+1-=0,
变形为a n+1a n+=(n∈N+).
由上式及a1=3>0,归纳可得
3=a1>a2>...>a n>a n+1> 0
因为a n+1==
=a n-+·,
所以对n=1,2,…,k0求和得
=a
1+(a2-a1)+…+(-)
=a1-k0·+·++…+
>2+·=2+.
另一方面,由上已证的不等式知a 1>a2>…>>>2,得=a1-k0·+·++…
+<2+·=2+.
综上,2+<<2+.。