十三种高考补充函数归类 (学生版)

十三种高考补充函数归类
目录
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】放大镜函数
【题型二】高斯函数(取整函数)【题型三】保值函数
【题型四】一元三次函数
【题型五】分式型反比例函数【题型六】对数型反比例函数
【题型七】对数型无理函数
【题型八】对数型绝对值函数【题型九】对勾函数
【题型十】指数型对勾函数
【题型十一】指数型双刀函数
【题型十二】指数型“反比例函数”【题型十三】抽象函数赋值型
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
知识梳理与二级结论二级结论一、抽象公式应用思维：
如：f(x+y)=f(x)+f(y)
1、正用：f(x+y)=f(x)+f(y)⇒f(5)=f(2+3)=f(2)+f(3)
2、逆用:f(x)+f(y)=f(x+y)⇒f(2)+f(3)=f(5)
3、变用：f(x+y)=f(x)+f(y)⇒f(x+y)-f(x)=f(y)=f(x+y-x)
得到了：f(x)-f(y)=f(x-y)
二、抽象函数赋值经验：
字母取0，1，-1，x，-x，-1×x
奇偶性赋值：x，-x
方向或者目标：f(-x)=±？f(x)；变化的：f(-x)±？f(x)=0三、对数公式积累应用
(1)log
a b M=1
b
log a M
(2)log a b
M c =
c
b
log a M (α∈R )(3)重要的，用于不等式计算：无中生有思想技巧t =log a a t ;t =a log a t
四、图像变换：
1.奇函数变换，又叫原点变换：
y =f x ⇒原点对称⇒x →-x
y →-y
引申：关于点a ,b 对称，则x →2a -x
y →2b -y 2.偶函数变换，又叫y 轴变换：
y =f (x )⇒y 轴对称⇒x →-x
y →y
x =h 轴对称⇒x →2h -x
y →y
3.轴变换，又叫直线镜面变换：
y =f (x )⇒y =x 对称⇒x →y
y →x
引申：y =x +b (必须斜率是k =1，就是直线反解)对称⇒x →y -b
y →x +b
(1)y=f x ⇒y=-x对称⇒
x→-y y→-x
引申：y=-x+b(必须斜率是k=-1，就是直线反解)对称⇒
x→b-y y→-x+b
(2)y=f(x)⇒x=a对称⇒
x→2a-x y→y
(3)若是一般直线(斜率不是正负1)对称，就需要用解析几何斜率等知识常规求解了
五、“反比例”函数图像特征及其重要技巧：“分离常熟”
形如y ax-b
cx-d，必有对称中心，对称中心为(x0，y0
)，可通过如下计算求得
(1)cx0-d=0⇒x0=d c;
(2)ax0
cx0
=a
c
;
(3)中心(x0，y0)=d
c ,a c
;
(4)x=0,1判断是“一三”还是“二四”象限
1(基础型)y=k
x ,y=-k
x
(k>0)
2(分子、分母系数为1)y=x
x+1=x+1-1
x+1
=1-1
x+1
3(分子系数为2)y=2x-1
x+1=
2(x+1)-3
x+1
=2-3
x+1
4(分母系数为2)y=x-1
2x+1=
1
2
(2x+1)-3
2
2x+1
=1
2
-
3
2
2x+1
5(高次)y=x2-1
x2+1=x2+1-2
x2+1
=1-2
x2+1
6(换元型分离)y=x2-1
x+1
=
t=x+1
(t-1)2-1
t
热考题型归纳
【题型一】放大镜函数
【典例分析】
1设函数f x 的定义域为R，满足f(x-2)=2f(x)，且当x∈-2,0
时，f(x)=-2x(x+2)．若对任意x
∈m,+∞
，都有f(x)≤3
4，则m的取值范围是()
A.2
3,+∞
B.
3
4
,+∞
C.
1
2
,+∞
D.
3
2
,+∞
2(2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期 4 月月考试卷数学试题)已知定义域为(0, +∞)的函数f x 满足：对任何x∈(0,+∞)，都有f3x
=3f x ，且当x∈(1,3]时，f x =3-x．在下列结论：
(1)对任何m∈Z，都有f3m
=0；
(2)任意n∈Z，都有f3n+1
≠17；
(3)函数f x 的值域是[0,+∞)；
(4)“函数f x 在区间a,b
上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得(a,b)⊆3k,3k+1
”．
其中正确命题是()
A.(1)(2)
B.(1)(2)(3)
C.(1)(3)(4)
D.(2)(3)(4)
【提分秘籍】
满足f x =af kx +b 形式，一般情况下，b 多是0或者1.俗称为“放大镜函数”。

(1)如果函数在D 上满足f x +T =2f x ，则此类函数在局部范围上具有与周期函数相类似的性质．(2)复杂函数的零点，可以转化为熟悉函数图像的交点来处理．
【变式演练】
1(安徽省黄山市屯溪第一中学2021-2022学年数学试题)定义在R 上函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 ，则使得f x ≤116
在m ,+∞ 上恒成立的m 的最小值是.2设函数f (x )的定义域为R ，
满足f (x +1)=2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )=x (x -1)．若对任意x ∈(-∞,m ]，都有f (x )≥-1
2，则m 的取值范围是()
A.-∞,
32
B.-∞,
10-24
C.-∞,
52
D.-∞,
10+24
3设函数f x 的定义域为R ，且f x =1
3
f x +1 ，当x ∈-1,0 时，f x =x x +1 ，若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≥-8116
，则实数m 的取值范围是()A.-∞,
73
B.-∞,114
C.-∞,94
D.-∞,3
【题型三】保值函数
【典例分析】
1.对于函数y =f x ，
若存在区间a ,b ，当x ∈a ,b 时，f x 的值域为ka ,kb ，则称y =f x 为k 倍值函数．若f x =x +ln x 是k 倍值函数，则k 的取值范围为()
A.0,
1
e
B.
1
e
,+∞ C.1,1
e
+1 D.
1
e +1,+∞
2函数y =sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为-1,12
，则b -a 的最大值是．
【提分秘籍】
一般地，若f x 的定义域为a ,b ，值域为ka ,kb ，则称a ,b 为f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若
f x 的定义域为a ,b ，值域也为a ,b ，则称a ,b 为f x 的“跟随区间”，
把函数h (x )存在区间m ,n ，使得函数h (x )为m ,n 上的k 倍域函数，结合函数的单调性，转化为
h (m )=km h (n )=kn 是解答的关键.
【变式演练】
1(四川省内江市高中零模2022届高二期末考试数学试题）
对于函数y =f x ，若存在区间a ,b ，当x ∈a ,b 时，f x 的值域为ka ,kb ，则称y =f x 为k 倍值函数.若f x =e x 是k 倍值函数，则k 的取值范围为()
A.0,
1
e
B.1,e
C.e ,+∞
D.
1
e ,+∞
2设函数f x 的定义域为D ，
若函数f x 满足条件：存在a ,b ⊆D ，使f x 在a ,b 上的值域是a 2,b 2 ，则称f x 为“倍缩函数”，若函数f x =log 22x +t 为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是()A.0,
1
4
B.-∞,
14
C.0,
14
D.-∞,
14
3(河南省2021-2022学年高三上学期质量检测(五))数学试题设函数f x =ln x
x
，若存在a ,b ⊆1e ,e ，使得f x 在a ,b 上的值域为ka ,kb ，则实数k 的取值范围为A.1e 2,12e
B.1e
2,1
C.12e ,1e
D.1
2e ,1
【题型二】高斯函数(取整函数)
【典例分析】
1(山西省2022届高三一模数学(理)试题)高斯函数也称取整函数，
记作[x ]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6,[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于高斯函数y =[x ]的性质叙述错误的是()
A.y =[x ]值域为Z
B.y =[x ]不是奇函数
C.y =x -[x ]为周期函数
D.y =[x ]在R 上单调递增
2高斯是德国著名的数学家，
近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，y =[x ]也被称为“高斯函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f (x )=[x +1]-x ，下列说法中正确的是()
A.f (x )是周期函数
B.f (x )的值域是[0,1]
C.f (x )在(0,1)上是减函数
D.∀x ∈R ，[f (x )]=0
【提分秘籍】
取整函数y =x ,x 表示不超过x 的最大整数，又叫做“高斯函数”，
【变式演练】
1高斯是德国著名数学家，
近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用x 表示不超过x 的最大整数，则y =x 称为高斯函数，例如-2.1 =-3，2.1 =2.已知函数f x =sin x +sin x ，
函数g x =f x ，则()
A.函数g x 的值域是0,1,2
B.函数g x 是周期函数
C.函数g x 的图象关于x =π
2对称
D.方程π
2
⋅g x =x 只有一个实数根
江苏省南通市2020-2021学年高一下学期期初数学试题
2(江苏省无锡市第一中学2021-2022学年高三上学期10月阶段性质量检测数学试题）
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学
家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，
例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2．已知函数f (x )=e x 1+e
x
-1
2，则关于函数g (x )=[f (x )]的叙述中正确的是()A.g (x )是偶函数 B.f (x )是奇函数
C.f (x )在R 上是增函数
D.g (x )的值域是{-1,0,1}
3(上海市行知中学2020-2021学年高三上学期数学试题)对于正整数k ,设函数f k (x )=kx -k x ，其中a 表示不超过a 的最大整数，设g (x )=f 2(x )+f 4(x )，则g (x )的值域为
.
【题型四】一元三次函数
【典例分析】
1(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，
经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三次函数的拐点(使二阶导数f x =0的点)正好是它的图像的对称中心．若
f x =13x 3-12x 2+3x -512，则f 1n +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1
n
=．(n ≥2且n ∈N )
2(重庆市江津中学校2021-2022学年高三第二次阶段考试数学(理)试题)已知函数g x =13
x 3
+2x -m +
m
x
m >0 是1,+∞ 上的增函数.当实数m 取最大值时，
若存在点Q ，使得过点Q 的直线与曲线y =g x 围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q 的坐标为()
A.0,0
B.2,-3
C.0,-3
D.0,3
【提分秘籍】
所有的三次函数f x =ax 3
+bx 2
+cx +d a ≠0 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y =f x 的图像的对称中心，
设f
x 是函数f x 的导数，f
x 是f
x 的导数，若方程f
x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数f x =ax 3
+bx 2
+cx +d a ≠0 的“拐点”．
【变式演练】
1对于三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)，
定义：设f (x )为函数f (x )的导数，f x 是函数f (x )的导数，若方程f (x )=0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f (x )的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点'；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点'就是对称中心.”请你将这一发现视为
条件，已知函数f (x )=2x 3-3x 2+x +1，则它的对称中心为；f 12021 +f 22021 +f 3
2021 +⋅⋅⋅+f 20202021
=.
2经研究发现：
任意一个三次多项式函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的图象都只有一个对称中心点x 0,f x 0 ，其中x 0是f (x )=0的根，f (x )是f (x )的导数，f (x )是f (x )的导数.若函数f (x )=x 3+ax 2+x +b 图象的对称点为(-1,2)，且不等式e x -mx e (ln x +1)≥f (x )-x 3-3x 2+e x e 对任意x ∈(1,+∞)恒成立，则()
A.a =3
B.b =1
C.m 的值可能是-e
D.m 的值可能是-1
e
【题型五】分式型反比例函数
【典例分析】
1(2022秋·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中)已知函数y =f x 满足f 4-x =-f x +10，若函数g x =5x +8
x -2与y =f x 图像的交点为x 1,y 1 ，x 2,y 2 ，⋯，x m ,y m ，
则m
i =1
x i +y i =()
A.m
B.4m
C.6m
D.7m
2(2023秋·四川眉山·高一校考期末)已知函数y =g x 关于-2,-3 成中心对称，函数f (x )=1-3x
x +2
的图像与g x 的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于(
)A.-10110
B.-5050
C.10110
D.5050
【提分秘籍】
形如：y =
ax -b
cx -d。

对称中为P (x 0，y 0)，其中
(1)cx 0-d =0；
(2)y 0=
ax
cx
(3)一、三或者二、四象限，通过x =0,1计算判断
【变式演练】
1(2023春·上海嘉定·高三校考开学考试)已知f x =ax +1
x +2
在区间-∞,-2 上是严格增函数，则a 的取值范围是
．
2(2023·全国·高三专题练习)已知f x =x 1+x ，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 +f 1
2
+f 13
+⋯+f 12022
=3(2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校联考阶段练习)若∀x ∈[1,2]，不等式x ≤k
x -k
恒成立，则实
数k 的取值范围是
．
【题型六】对数反比例函数
【典例分析】
1(2023春·云南红河·高三模拟)若f x =sin2x ln
2x -3
2x +b
为偶函数，则实数b =
．
2(2023春·四川绵阳·高三期末)若f x =ln 1
x +1
+k
+h 为奇函数，则实数h =．
【提分秘籍】
形如对数与反比例复合型，是奇函数：
y =log a m -nx m +nx ，y =log a m +nx m -nx ，如：log a 1-x 1+x ，log a 1-kx 1+kx
，log a x
-1
x +1【变式演练】
1(2023·河北·校联考一模)若函数f (x )=ln
4-mx
4-2x
的图象关于原点对称，则实数m 的值为
.
2(2023·云南·校联考二模)f (x )=e x -1e x
+1
+ln e -x
e +x (-2≤x ≤2)，其最大值和最小值的和为．
3(2023秋·高一单元测试)已知函数f x =ln x +1
x -1
+m +1(其中e 是自然对数的底数，e ≈2.718⋯)是奇函数，则实数m 的值为
.
【题型七】对数无理函数型
【典例分析】
1(2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数f x =x 3+ln x 2+1+x ，若不等式f 2x -4x +f m ⋅2x -3 <0对任意x ∈R 均成立，则m 的取值范围为
.
2(2022秋·山西·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+e -x +2x +4，若a ，b ∈R ，a +b =2022，则f (a +22)+f (b -2044)=
．
【提分秘籍】
对数与无理式复合是奇函数：
y =log a ((kx )2+1±kx )，如：y =log a ((x )2+1+x )
【变式演练】
1(2023春·贵州黔南·高三模拟)若函数f x =ln x +ax 2+1 是奇函数，
则a 的值为．
2(2023春·河南新乡·高一统考期末)已知n ∈N ,f x =x n ln e 2x +1 -x 为奇函数，则n 的值可以为
．(写出一个满足条件的即可)
3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ln x +x 2+1 +1，若正实数a ､b 满足f 4a +f 4b -1 =2，则
1a +1
b
的最小值为.
【题型八】对数绝对值型函数
【典例分析】
1(2020秋·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考阶段练习)已知函数f x =
ln x
,0<x≤e
2-ln x,x>e
，若
实数0<a<b<c互不相等，且f a =f b =f c ，则b+c-a的取值范围为．
2(2020·云南·模拟预测)已知λ∈R，函数f(x)=
x+1
，x<0
lg x
，x>0
，g(x)=x2-4x+1+4λ．若关于x的方
程f[g(x)]=λ有8个解，则λ的取值范围为．【提分秘籍】
对数绝对值
对于f(x)=|log a x|，若|log a x|=a有两个零点，则满足
1.0<x1<1<x2
2.x1x2=1
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
【变式演练】
1(2022·浙江·模拟预测)已知函数f(x)=
x+2
,x≤0,
log2x
,x>0.
若方程f(x)=a有四个解x
1
,x2,x3,x4，且x1
<x2<x3<x4，则-x3x1+
x2 +
1
x23x4
的取值范围为.
2(2023春·江西新余·高三模拟)设函数f(x)=
log2(x-1)
,1<x≤3
(x-4)2,x>3
，f(x)=a有四个实数根x1，
x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则1
4
x3+x4
x1+
1
x2的取值范围是()
A.10
3,9 2
B.(0,1)
C.52,103
D.32,2
3(2021·全国·高三专题练习)f x =
-x2-2x,x≤0
1+ln x
,x>0
，若存在互不相等的实数a，b，c，d使得f a
=f b =f c =f d =m，则下列结论中正确的为()
①m∈0,1
；
②a+b+c+d∈2e-1-2,e-2-1
，其中e为自然对数的底数；
③函数y=f x -x-m恰有三个零点.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
【题型九】对勾函数【典例分析】
1(2020秋·广东深圳·高三校考期中)已知定义在(0，3]上的函数f x =x+1-a+b
x+1
+a-1的值域为
[4，5]，若b-a∈-1,5
，则a+b的值为 .
2(2021秋·高三单元测试)已知函数f x =x+1
x
-1，若存在x1,x2⋅⋅⋅,x n∈1
16
,1
，使得f x1
+f x2
+⋅⋅⋅+f x n-1
=f x n
，则正整数n的最大值为.【提分秘籍】
形如y=ax+b
x，(a，b>0)称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程ax=b
x(即第一象限均值不等式取等处)
【变式演练】
1(2022·全国·高三模拟练习)已知函数f(x)=3x+8
x
+a关于点(0,-12)对称，若对任意的x∈[-1,
1]，k⋅2x-f(2x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为.
2(2021秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习)设f x =4x+1
x
+a，若∃x1,x2,⋯,x n∈
1 4,1
，使f x1
+f x2
+⋯+f x n-1
=f x n
成立的最大正整数n为6，则a取值范围为．
3(2022秋·安徽合肥·高三考开学考试)已知1<a<4，函数f x =x+
9
x
,∃x1∈1,a
,x2∈a,4
，使
得f x1
f x2
≥80，则a的取值范围.
【题型十】指数对勾型
【典例分析】
1(2023·浙江衢州·高三模拟)已知函数f x =e x-1+e1-x+ax2-2ax有唯一零点，则a=．
2(2022秋·河南南阳·高三统考期中)若f x =e x+1
e x
，则f x-1
<
e2+1
e的解集是.
【提分秘籍】
指数对勾型：
形如y=a x+a-x型函数，是偶函数【变式演练】
1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =e x+e2-x+a sin
π
3
x+π
6
有且只有一个零点，则实数a
的值为．
2(2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习)设函数f x =e x+e-x -1
lg(x2+1)
，则使得f(2x+1)<f(x-2)成立的x的取值范围是.
3(2019秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习)已知函数f(x)=x2-2x+e x-1+e1-x，则不等式f(4-x)>f(1+2x)的解集是.
【题型十一】指数双刀函数型
【典例分析】
1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测)已知函数f x =x e x-e-x
-2x2，若f a-1
+
f a ≤f3a-2
+f-a
，则实数a的取值范围为.
2(2022北京·高三强基计划)已知函数f(x)=e x-e-x
⋅x2，若实数m满足f(log2m)-f log2
2m
≤2f(1)，则实数m的取值范围是．
【提分秘籍】
指数双刀函数：
形如y=a x-a-x(或a-x-a x)型函数。

(1)是奇函数
（2）图像如图：
a>1
0<a<1
【变式演练】
1(2023·全国·模拟预测)已知函数f x =e x-e-x+a-2
x2+a+1
x是定义在R上的奇函数，则f
0 =．
2(2023春·山东临沂·高二校考阶段练习)已知函数f x =e x-e-x-x，若f t2+t
+f3t
<0成立，则实数t的取值范围为．
3(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)设函数f(x)=sin(x-2)+e x-2-e2-x-x+4，则满足f(x)+ f(3-2x)<4的x的取值范围是．
【题型十二】指数型“反比例函数”
【典例分析】
1(2022秋·浙江温州·高三校联考)已知函数f x =2x-m
1+2x
是定义在R上的奇函数，若对任意x∈1,2
，
不等式f
2x
2x+1
+f a⋅2x+a
≤0恒成立，则实数a有()
A.最大值-2
9B.最大值-1
4
C.最小值-9
2
D.最小值-4
2(2023春·湖南长沙·高三长沙市长郡梅溪湖中学校考)若“函数f x =3x+a
3x+1
是奇函数”是真命题，则a
的值是.【提分秘籍】
1.y=a x+1
a x-1,y=a x-1
a x+1
,y=1-a x
1+a x
，y=
1+a x
1-a x
2.以上几个类型都是奇函数【变式演练】
1(2023·辽宁大连·校考模拟预测)已知函数f x =2-3x
2+3x
，若θ∈-π,π
，f2t2-8sinθ-
π
3
t+3
<-1
5在t∈0,+∞
时恒成立，则θ的取值范围是．
2(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知函数f x =e x-e-x
e x+e-x
+x2，则不等式f x+1
+
f x-1
<2x2+2的解集为.
3(2020·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考一模)已知函数f(x)=
1-2x
2+2x+1
，对于∀θ∈R，∃x∈R，
使得cosθ-m2<f(x)<sin2θ+m+1成立，则实数m的取值范围是.
【题型十三】抽象函数赋值型
【典例分析】
1(福建省福州市第一中学2020-2021学年高三数学试题)若对∀x,y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)-4，函数g(x)=2sin x
cos x+1
+f(x)在区间[-2021,2021]上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为()
A.4
B.8
C.12
D.16
2(2023春·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校)已知函数f(x)的定义域为R，且f(m+n)+f(m-n)=
f(m)f(n)，f(1)=1(m,n∈R)，则
20
i=1f(i)
=()
A.0
B.1
C.-2
D.-3【提分秘籍】
抽象函数的性质研究：
①赋值法求特定元素的函数值；
②利用已知抽象函数的等式性质，证明函数的单调性；
③利用单调性解不等式式.
【变式演练】
1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足：f(1)=1
4
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈
R)，则f2023
=.
2(2023春·河北石家庄·高三石家庄一中校考阶段练习)设奇函数f x 的定义域为R ，
且对任意x 1,x 2∈0,+∞ ，都有f x 1x 2 =f x 1 +f x 2 ．若当x >1时，f x <0，且f 1
4
=2，则不等式lg f x +2 <
0的解集为．
3(2022秋·湖北武汉·高三校联考期中)函数f x 是定义在0,+∞ 上的增函数，若对于任意正实数x ,y ，恒有f xy =f x +f y ，且f 3 =1，则不等式f x +f x -8 <2的解集是
.
高考真题对点练
一、单选题
1(2023·全国·统考高考真题)已知函数f x =e -(x -1)2
．记a =f 22
,b =f 32 ,c =f 6
2
，则(
)
A.b >c >a
B.b >a >c
C.c >b >a
D.c >a >b 2(山东·高考真题)函数y =
1-x
x
(x ≠0)的反函数图象大致是()
A. B.
C. D.
3(辽宁·高考真题)将函数y =2x +1的图像按向量a
平移得到函数y =2x +1的图像，
则()
A.a =(-1,-1)
B.a =(1,-1)
C.a =(1,1)
D.a =(-1,1)
4(2022·天津·统考高考真题)函数f x =
x 2
-1
x
的图像为()
A. B.
C. D.
5(2022·全国·统考高考真题)已知函数f (x )的定义域为R ，
且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1，则22
k =1
f (k )=(
)
A.-3
B.-2
C.0
D.1
6(·浙江·高考真题)设f (x )=x -1 -2,x ≤1
11+x 2
,
x >1
，则f f 12
=
()A.
12
B.
413
C.-
9
5
D.
2541
7(全国·高考真题)f (x )=lg 1-x
1+x
，若f (a )=b ，则f (-a )=()
A.b
B.-b
C.
1
b
D.-1b
8(江苏·高考真题)设f x =lg 2
1-x
+a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )．A.(-1,0)
B.(0, 1)
C.(-∞，0)
D.(-∞，0)∪(1，+∞)
9(2020·全国·统考高考真题)设函数f (x )=x 3-1
x 3
,则f (x )()
A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
10(2020·全国·统考高考真题)设函数f (x )=ln |2x +1|-ln |2x -1|，则f (x )()
A.是偶函数，且在1
2
,+∞
单调递增 B.是奇函数，且在-12,1
2
单调递减
C.是偶函数，且在-∞,-1
2
单调递增
D.是奇函数，且在-∞,-1
2
单调递减
二、填空题
11(2021·全国·统考高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f x :．
①f x 1x 2 =f x 1 f x 2 ；②当x ∈(0,+∞)时，f (x )>0；③f (x )是奇函数．
12(2021·全国·统考高考真题)已知函数f x =x 3a ⋅2x -2-x 是偶函数，
则a =.
最新模考真题
一、单选题
1(2023·黑龙江大庆·统考二模)记f 1 x =f x ，若f n x =f f n -1
x (n ≥2且n ∈N
*
)，则称y =
f n
x 是y =f x 的n 次迭代函数．若f x =x -3
x +1，则f 20232022 =()A.-2025
2021
B.
20192023
C.2022
D.2023
2(2023·黑龙江大庆·统考二模)已知函数f x =
4x
2+4x ，则()
A.f 0.1 >f 0.2
B.函数f x 有一个零点
C.函数f x 是偶函数
D.函数f x 的图象关于点12,12
对称3(2023·江苏徐州·校考模拟预测)函数f x 满足∀x 、y ∈R ，都有2f x +y =f x f y ，且f 1 =1，则()
A.f 1
2
=2 B.数列f n 单调递减C.f x 1+x
22 ≤
f x 1 +f x 2 2
D.n
i =0i ⋅f i =4-4+2n
2n
4(2023·贵州毕节·校考模拟预测)若函数f x =x 2-4x +a e 2x -4+e 4-2x 有唯一零点，则实数a =()
A.2
B.
1
2
C.4
D.1
5(2023·贵州毕节·校考模拟预测)如图，
这是函数f x 的部分图象，则它的解析式可能是()
A.f x =ln x +e x -e -x
B.f x =ln x -e x +e -x
C.f x =e x -e -x ln x
D.f x =ln x
e x -e
-x
6(2023·河北张家口·统考三模)已知函数f x =ln e 2x
+e 2
-x ，若a =f e 13
,b =f 13 ,c =f 4
3
，则(
)
A.a >b >c
B.b >a >c
C.c >a >b
D.c >b >a
7(2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()
①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023
i =1f (i )=-1
A.①②
B.②③
C.①②④
D.①③④
8(2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测)已知函数f x 定义域为R ，
满足f x +2 =12f x ，当-1≤x <1时，f x =x .若函数y =f x 的图像与函数g x =12
x +1
2 -2023≤x ≤202
3 的图像的交点为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,⋅⋅⋅,x n ,y n ，
(其中x 表示不超过x 的最大整数)，则下列说法正确的个数()
①g x 是非奇非偶函数函数；②n =2024；③n
i =1
x i =0；④n
i =1
y i =21012-2-1012.A.1 B.2
C.3
D.4
二、多选题
9(2023·湖南郴州·校联考模拟预测)已知函数f x 为R 上的奇函数，
且f x +4 +f x =0，当0≤x ≤2时，f x =2x +a
2x +1，则()
A.a =-1
B.a =-2
C.f -33 <f 40 <f 19
D.f 40 <f -33 <f 19
10(2023·海南·校联考模拟预测)已知定义在R 上的函数f x 不恒等于零，同时满足f x +y =f x f y ，且当x >0时，f x >2022，那么当x <0时，下列结论不正确的为()
A.-1<f x <0
B.f x <-1
C.f x >1
D.0<f x <
1
2022
11(2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测)“x ”表示不大于x 的最大整数，例如：3.8 =3，-1.4 =-2，-4 =-4．下列关于x 的性质的叙述中，正确的是()
A.x -y ≤x -y
B.若
y
x
≤1，
则x -y
<1
C.若数列b n 中，b n =n n +1 ，n ∈N *
，则64n =1
b n =2080D.M =23 +22
3 +23
3 +⋅⋅⋅+22022
3
被3除余数为012(2022·江苏南京·模拟预测)已知函数f x =a x +b -x
a x -b
-x a >b >1 ，
且ab =2，则()
A.f a +f -b >0
B.f a +f b >2f a +b
2 C.f a +f b ≥2f 2 D.f a +f b <f 1 +f 2 三、填空题
13(2023·海南海口·校考模拟预测)已知定义在R 上的奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )=2g (x )+x -4x 2+1
，若f 1sin θ +f (cos2θ)<f (π)-f 1
π ，则θ的取值范围是.14(2023·贵州·校联考二模)已知g x 是定义在R 上的函数，且g x =e x -e -x +2sin x ，若对任意x >0，不等式g e x -a +g -e ln ex +a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是
.
15(2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测)已知函数f x =log 3x +x 2
+1 +2e x
e x
+1
在-k ,k k >0 上的最大值与最小值分别为M 和m ，
则函数g x =M +m x +M +m x -1 -3的图象
的对称中心是.
16(2022·新疆昌吉·统考二模)已知函数f x =
16x2-24x+9,x≤1
1
9
f x-1
,x>1
，则下列结论正确的有
.
①f n
=91-n，n∈N∗
②∀x∈0,+∞
，f x <1
x恒成立
③关于x的方程f x =m m∈R
有三个不同的实根，则1
9
<m<1
④关于x的方程f x =91-n n∈N∗
的所有根之和为n2+n 3。