2021-2022年高考数学四海八荒易错集专题03函数的图像与性质

2021年高考数学四海八荒易错集专题03函数的图像与性质
1．(xx·课标全国乙)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )
答案 D
解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0
＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除
C ，故选D.
2．(xx·山东)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12，则f (6)等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2 答案 D
3．(xx·上海)设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个为增函数；②若f (x )＋g (x )，
f (x )＋h (x )，
g (x )＋
h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数，
下列判断正确的是( ) A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 答案 D
解析 ①不成立，可举反例，
f (x )＝⎩⎨
⎧
2x ，x ≤1，－x ＋3，x >1，
g (x )＝⎩⎨⎧
2x ＋3， x ≤0，－x ＋3，0<x <1，
2x ，x ≥1，
h (x )＝⎩⎨
⎧
－x ，x ≤0，2x ，x >0.
②f (x )＋g (x )＝f (x ＋T )＋g (x ＋T )，
f (x )＋h (x )＝f (x ＋T )＋h (x ＋T )，
g (x )＋
h (x )＝g (x ＋T )＋h (x ＋T )，
前两式作差，可得g (x )－h (x )＝g (x ＋T )－h (x ＋T )， 结合第三式，可得g (x )＝g (x ＋T )，h (x )＝h (x ＋T )， 也有f (x )＝f (x ＋T )．
∴②正确．故选D.
4．(xx·北京)设函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x 3
－3x ，x ≤a ，
－2x ，x ＞a .
(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；
(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)
(2)f (x )的两个函数在无限制条件时图象如图．
由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.
当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－1.
5．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x
与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( )
答案 B
6．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1
5，则f (log 220)等于( )
A ．1B.45C ．－1D ．－45
答案 C
解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，
因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0.
又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫log 245＝－1.故选
C.
7．已知函数f (x )＝1
ln
x ＋1－x
，则y ＝f (x )的图象大致为( )
答案 B
解析 方法一 由题意得，⎩⎨
⎧
x ＋1>0，
x ≠0，
解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1
， 当－1<x <0时，g ′(x )>0； 当x >0时，g ′(x )<0.
∴f (x )在区间(－1,0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 本题也可取特值，用排除法求解：
f (2)＝
1
ln3－2
<0，排除A.
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝1ln 12＋12＝1
ln e 2
<0，排除C ，D ，选B.
8．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 24
，0<x ≤4，
4－2x ，x >4，
若h (t )>h (2)，则实
数t 的取值范围为________． 答案 (－2,0)∪(0,2)
易错起源1、函数的性质及应用
例1、(1)已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是( ) A.1
4≤m <2 B.1
4≤m ≤2 C ．2<m ≤4
D ．2≤m ≤4
(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
25－x ，0≤x ＜1，其
中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
92，则f (5a )的值是________．
答案 (1)A (2)－2
5
解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增． 故由f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
－2≤log 2m ≤2，
－2≤log 4
m ＋2≤2，log 2
m <log
4
m ＋2，
m >0，m ＋2>0，
解－2≤log 2m ≤2，得1
4≤m ≤4；
解－2≤log 4(m ＋2)≤2，得1
16
≤m ＋2≤16， 即－31
16
≤m ≤14.
由log 2m <log 4(m ＋2)，得log 4m 2<log 4(m ＋2)，
故有⎩⎨⎧
m 2>0，
m ＋2>0，
m 2
<m ＋2，
解得－1<m <2，且m ≠0.
综上可知，m 的取值范围是1
4≤m <2，故选A.
(2)由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝1
10
. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
92，则－12＋a ＝110，a ＝35，
∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－2
5
.
【变式探究】(1)(xx·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )
＝4x
，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＋f (1)＝________.
(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2
x ＋1
，0≤x ≤1，其
中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，则a ＋3b 的值为________．
答案 (1)－2 (2)－10
解析 (1)因为f (x )是周期为2的函数， 所以f (x )＝f (x ＋2)． 而f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )．
所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，
故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－52＋f (1)＝－2.
【名师点睛】
(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)<f(x2)的形式．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”)．
(2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.
常见结论：
(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|.(a≠0)
(2)f(x＋a)＝
1
f x
⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|.(a≠0)
(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝a＋b
2
对称．
易错起源2、函数图象及应用
例2、(1)函数y＝sin2x
2x＋2－x
的图象大致为( )
(2)已知函数f (x )＝
ax 3
3＋
ax －x 2＋3
2
，g (x )＝a 2x 3－2ax 2
＋x ＋a (a ∈R)．在同一直角坐标系中，函数
f ′(x )与
g (x )的图象不可能的是( )
答案 (1)A (2)B
解析 (1)首先根据函数表达式可知y ＝sin2x
2x ＋2－x
为(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (0)＝0，排除C ，
D ；当x ＝1
100时，11100
100
2sin
100
02
2
-
>+，
显然排除B ，故选A. (2)因为f (x )＝
ax 33
＋
ax －x 2＋3
2
，
所以f ′(x )＝ax 2－x ＋a
2
，
若a ＝0，则选项D 是正确的，故排除D.
若a <0，选项B 中的二次函数的判别式Δ＝1－4a ·a 2＝1－2a 2<0，所以a 2>12，又a <0，所以a <－2
2
.
二次函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝1
2a ；
三次函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，
所以g ′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －13a ，
令g ′(x )>0，得x <1a 或x >1
3a ，
令g ′(x )<0，得1a <x <1
3a
，
所以函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 的极大值点为x ＝1a ，极小值点为x ＝1
3a ；
由B 中的图象知13a <12a .但a <－22，所以13a >1
2a ，
所以选项B 的图象是错误的，故选B.
【变式探究】(1)函数f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )
(2)已知三次函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2
＋bx 的导函数为f ′(x )，则函数f (x )与f ′(x )的图象可能是( )
答案 (1)D (2)B
【名师点睛】
(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断此类试题的基本方法．
(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
易错起源3、基本初等函数的图象和性质
例3、(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50. 6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
(2)若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案(1)C (2)C
解析(1)根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y＝1.5x 在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.
(2)方法一由题意作出y＝f(x)的图象如图．
显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)．
故选C.
方法二对a分类讨论：
当a>0时，∴a>1.
当a<0时，∴0<－a<1，
∴－1<a<0，故选C.
【变式探究】(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的图象可能是( )
(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln2f(ln2)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
答案(1)D (2)C
解析(1)方法一分a>1,0<a<1两种情形讨论．
当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a递增较快，排除C；
当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除A.由于y＝x a递增较慢，所以选D.
方法二幂函数f(x)＝x a的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D正确；C项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
(2)构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减．因为函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，所以y＝f(x)是奇函数，由此可知函数y＝g(x)是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单
调递增．又a ＝g (20.2)，b ＝g (ln2)，c ＝g (－2)＝g (2)，由于ln2<20.2
<2，所以c >a >b . 【名师点睛】
(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．
(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性． 【锦囊妙计，战胜自我】
1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1
2
，－1五种情况．
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1
x
C ．y ＝2x ＋1
2x
D ．y ＝x ＋e x
答案 D
解析 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.
2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 3
C ．f (x )＝(12)x
D ．f (x )＝3x
答案 D
3．函数f (x )＝x ＋cos x 的大致图象是( )
答案 B
解析 ∵f (x )＝x ＋cos x ，∴f (－x )＝－x ＋cos x ， ∴f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )， 故函数f (x )是非奇非偶函数，排除A 、C ； 当x ＝π2时，x ＋cos x ＝π
2
＝x ，
即f (x )的图象与直线y ＝x 的交点中有一个点的横坐标为π
2
，排除D.故选B.
4．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
1－2a x ＋3a ，x <1，
ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1，12
C.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫
－1，12
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，12 答案 C
解析 要使函数f (x )的值域为R ，
需使⎩⎨
⎧
1－2a >0，ln1≤1－2a ＋3a ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a <12
，
a ≥－1.
所以－1≤a <1
2
，故选C.
5．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23
答案 A
解析 函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，
所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，
当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －1单调递减，
所以由43<32<53，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫53.
即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，故选A.
6．已知符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧
1，x >0，
0，x ＝0，
－1，x <0，
f (x )是R 上的增函数，
g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则
( )
A ．sgn[g (x )]＝sgn x
B ．sgn[g (x )]＝－sgn x
C ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]
D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B
解析 因为a >1，所以当x >0时，x <ax ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (x )<f (ax )，所以g (x )＝f (x )－f (ax )<0，sgn[g (x )]＝－1＝－sgn x ；同理可得当x <0时，g (x )＝f (x )－f (ax )>0，sgn[g (x )]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x )＝0，sgn[g (x )]＝0＝－sgn x 也成立．故B 正确．
7．设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f x 1－f x 2
x 1－x 2
>0恒成立，
则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3]
B ．[－3,0)
C ．(－∞，3]
D ．(0,3]
答案 C
8.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，
O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，
记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2
，y 与x 的函数关系为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象是( )
答案 A
解析 当x ∈[0，π]时，y ＝1.
当x ∈(π，2π)时，O 1P →＝O 2P →－O 2O 1→，设O 2P →与O 2O 1—→的夹角为θ，|O 2P →|＝1，|O 2O 1—→
|＝2，所以θ＝x －π，所以y ＝|O 1P →|2＝(O 2P →－O 2O 1—→
)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，所以函数y ＝f (x )的图
象是曲线，且单调递增，排除C ，D.
当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →，OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→|＝1，所以α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P →|2＝(OP →－OO 1→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12
x ，x ∈[2π，4π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.
9．给出下列四个函数：
①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .
当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22恒成立的函数的序号是________． 答案 ②④
解析 由题意知，满足条件的函数图象形状为：
故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .
10．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 3－a x －a x <1，log a x x ≥1
在(－∞，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范
围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，3 解析 由题意得⎩⎨⎧ 3－a >0，a >1，
3－a －a ≤log a 1，解得32
≤a <3. 11．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，
下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．
①f (x )＝e x ＋e －x ； ②f (x )＝ln 5－x 5＋x
； ③f (x )＝tan x 2
； ④f (x )＝4x 3＋x .
答案 ②③④
12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧ f x ，x >0，－f x ，x <0.若f (－1)＝0，且对任意
实数x 均有f (x )≥0成立．
(1)求F (x )的表达式；
(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，
∴b ＝a ＋1，
∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.
∵f (x )≥0恒成立，
∴⎩⎨⎧ a >0，
Δ＝a ＋12－4a ≤0，
即⎩⎨⎧ a >0，a －12≤0.
∴a ＝1，从而b ＝2，
∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，
∴F (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.
(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，
∴k －22≤－2或k －22≥2，
解得k ≤－2或k ≥6.
∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．。