couette-taylor流的力学机理与能量转换

视为角动量，将矢量场分解为惯性力矩，内转矩，耗散力矩和外力矩，不同的力矩的耦合视
为不同的动力模式，通过分析各种力矩与Couette-Taylor流的不同模态的因果关系，揭示各
Taylor 站 沌的生成机理目前还没有文献涉及.
Couette-Taylor
Couette-Taylor 弱
的轨道从一个不稳定的平衡点移动到另一个不稳定的平衡点，相应地，轨道和平衡点之间的
距离随参数和时间的不同而变化.我们发现 ，卡西米尔(Casimir)函数与距离有密切关系 ， 关于洛伦茨吸引子的可预测性和能量可以通过能量转换来进行研究［18］.因此，通过引入卡
西米尔函数的导数，我们给出了 Couette-Taylor流系统的能量转换，并且分析了它们的动力 学和能量转换.
No.1
(
)J
我们探讨了具有明确物理意义的Couette-Taylor流问题，讨论的Couette-Taylor流三模混沌
系统属于物理混沌系统(具有物理背景和物理意义的混沌系统)，研究了 Couette-Taylor流的
动力机制，物理意义和能量转换.把Couette-Taylor流三模态系统(见文献［12］)的状态变量c)
(d)
图1 Couette-Taylor流的演化
混沌系统按其各项及相互作用是相当复杂的.如果从力学角度对混沌进行研究 ，可以从 中发现更多的混沌基本成因.从力学角度研究混沌系统已经有了良好的开端，阿诺德［13］用
Kolmogorov
Pelino［14l Lorenz
(Lorenz)
药］
Casimir
Chen
Pasini (Kolmogorov)牙
量转换，揭示了能量转换和轨道与平衡点间的距离 ，并估计了混沌吸引子的界.文献 ［16］研
Chen
Chen
Kolmogorov
通过不同力矩的结合分析和研究了 Chen混沌系统产生混沌的关键因素和物理意义.研究了
哈密顿能量，动能和势能之间的相反转换•讨论了能量与雷诺数之间的关系•文献 ［17］研
Supported by the NSFC (11572146) and the Doctor Science Foundation of Shenyang Normal University (054-91900302009)
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数学物理学报
Vol.40A
从层流过渡到湍流的方式及仿宾等，而对流动的生成机理，能量转换及物理意义等问题很少 Couette-Taylor 将
王贺元Couette-Taylor流的力学机理与能量转换
究了齐四翼混沌系统的力学机理与能量转换，通过与Kolmogorov系统和欧拉方程的比较，
把四翼混沌系统的矢量场分解为惯性力矩、内力矩、耗散和外力矩来探讨产生混沌的基本因
Lie-Poisson 了四翼混沌吸引子不同类型力矩的功能和作用以及产生不同类型动力学模式的关键因素.
此外，借助扩展的Kolmogorov系统，Pelino等［18］研究了洛伦兹系统的能量转换.上述几 篇文献开启了从力学角度研究混沌系统的先河，但文献［15-17］中的混沌系统均为数值混沌
2020,40A(1):243-256
数学物理学报
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Couette-Taylor流的力学机理与能量转换
(1沈阳师范大学数学与系统科学学院
i，2王贺元
沈阳110034; 2辽宁工业大学理学院
辽宁锦州121001)
摘要：同轴圆筒间Couette-Taylor流问题是典型的旋转流动问题，它是层流到湍流过渡的范 例，国内外众多学者对其进行了深入的研究•该文探讨Couette-Taylor流问题的力学机理与 能量转换，通过将Couette-Taylor流三模混沌系统转换成Kolmogorov形系统，把系统的力 矩分为四种类型：惯性力矩，内力矩，耗散力矩和外力矩.通过不同力矩的结合分析和研究了 Couette-Taylor流产生混沌的关键因素和物理意义.研究了哈密顿能量，动能和势能之间的相 互转换.讨论了能量与雷诺数之间的关系.研究表明四种力矩的耦合是产生混沌的必要条件， 而且只有耗散力矩和驱动力矩(外力矩)相匹配时，系统才能产生混沌，其中任何三种力矩耦 合均不可能产生混沌.圆筒旋转产生的外力矩供给系统能量，能量增长导致流动失稳，从而产 生泰勒漩涡和混沌，进而得出了 Couette-Taylor流的能量转换和物理意义.引进Casimir函 数分析系统的动力学行为和能量转换，并估计混沌吸引子的界.Casimir函数反映了能量转 换和轨道与平衡点间的距离，数值结果仿真出它们之间的关系.
以往的研究工作大都侧重于从流动的稳定性和分岔理论开展研究，主要是利用分岔理 论来解释和分析实验中观察到的流动发展到湍流前的各种涡流及其相互演化的过程，以及
收稿日期：2018-03-22;修订日期：2019-04-20 E-mail: 987236994@ 基金项目：国家自然科学基金(11572146)和沈阳师范大学博士启动基金(054-91900302009)
关键词：Couette-Taylor流；力学机理；Kolmogorov系统；混沌.
MR(2010)主题分类：34G20; 35Q30; 37N10 中图分类号：0175.1文献标识码：A
文章编号：1003-3998(2020)01-243-14
1引言
同轴圆筒间旋转流动的Couette-Taylor流问题是近一个世纪以来人们普遍关注的热点问 题，由于其流动形态的可观测性以及它在湍流研究中的基础性地位及其在流体机械、石油化 工等领域的广泛应用，国际上将其列为非线性科学的范例之一.国内外众多学者对其复杂的 动力学行为进行了大量深入的研究，相关文献非常丰富(文献［1-12］只是2000多篇文献中 较少的一部分)•如果内圆筒旋转，外圆筒静止，这种流动历经Couette流、Taylor涡流、 Taylor行进波、波状螺旋漩涡、调制波状螺旋漩涡、湍状Taylor涡流等十几种波形最终进 入湍流(见图1),如果内外圆筒同时正向或反向旋转 ，可以观察到更为丰富的流动 ，具体见 文献［3-12］.