北师大初二数学8年级下册 第1章(三角形的证明)自我综合评价(含答案)

北师大初二数学8年级下册第1章（三角形的证明）自我综合评价(一) [测试范围:第一章　三角形的证明　时间:40分钟　分值:100分]
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.如果a>0,b>0,那么a+b>0
B.直角都相等
C.两直线平行,同位角相等
D.若a=b,则|a|=|b|
2.如果等腰三角形的一个外角为140°,那么该等腰三角形的底角为( )
A.40°
B.60°
C.70°
D.40°或70°
3.如图1-Z-1,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在( )
图1-Z-1
A.AC,BC两边上的高所在直线的交点处
B.AC,BC两边上的中线的交点处
C.∠A,∠B两内角平分线的交点处
D.AC,BC两边垂直平分线的交点处
4.如图1-Z-2,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地相距( )
图1-Z-2
A.30海里
B.40海里
C.50海里
D.60海里
5.如图1-Z-3,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD,则△BDC的周长是( )
图1-Z-3
A.9
B.10
C.11
D.15
6.如图1-Z-4,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD为△ABC的角平分线,若AC=12,则△ABD中AB边上的高为( )
图1-Z-4
A.3
B.4
C.5
D.6
7.如图1-Z-5,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,S△ABC=5.6,DE=1.6, AB=4,则AC的长是( )
图1-Z-5
A.6
B.5
C.4
D.3
8.如图1-Z-6,长方体的底面边长分别为2 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B,那么所用细线最短需要( )
图1-Z-6
A.11 cm
B.234cm
C.(8+210)cm
D.(7+35)cm
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.如图1-Z-7,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 .
图1-Z-7
10.用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是直角”时,第一步应假设　.
11.在△ABC中,AB=AC,BC=4,∠A=60°,则△ABC的周长是 .
12.如图1-Z-8,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P,连接PB,PC.若∠A=75°,则∠BPC 的度数是 .
图1-Z-8
13.如图1-Z-9,已知S△ABC=8 m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC= m2.
图1-Z-9
14.如图1-Z-10,∠BOC=60°,A是BO延长线上的一点,OA=10 cm,动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动,如果点P,Q同时出发,用t s表示移动的时间,当t= 时,△POQ是等腰三角形.
图1-Z-10
三、解答题(本大题共3小题,共38分)
15.(12分)如图1-Z-11,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.
图1-Z-11
16.(12分)如图1-Z-12,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD 于点O.
(1)求证:AD垂直平分EF;
(2)若∠BAC=60°,写出DO与AD之间的数量关系,并证明.
图1-Z-12
17.(14分)如图1-Z-13所示,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=6 cm,点D从点A开始以1 cm/s 的速度向点C运动,点E从点C开始以2 cm/s的速度向点B运动,两点同时运动,同时停止,运动的时间为t s,过点E作EF∥AC交AB于点F,连接DE,CF.
(1)当t为何值时,△DEC为等边三角形?
(2)当t为何值时,△DEC为直角三角形?
(3)求证:DC=EF.
图1-Z-13
教师详解详析
1.[解析] C A 项,“如果a>0,b>0,那么a+b>0”的逆命题是“如果a+b>0,那么a>0,b>0”,是假命题;B 项,“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”,是假命题;C 项,“两直线平行,同位角相等”的逆命题是“同位角相等,两直线平行”,是真命题;D 项,“若a=b ,则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|,则a=b ”,是假命题.故选C .
2.[答案] D
3.[答案] C
4.[解析] B 连接AC.由题意得∠ABC=60°,AB=BC ,∴△ABC 是等边三角形,∴AC=AB=40海里.故选B .
5.[解析] B 由垂直平分线的性质,得AD=BD ,
∴△BDC 的周长=BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故选B .
6.[解析] B 如图,过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠CBA=60°.
∵BD 平分∠CBA ,∴∠DBA=∠CBD=30°=∠A ,
∴AD=BD ,CD=12BD=12AD.∵AD+CD=AC=12,∴CD=4.∵DE ⊥AB ,∠C=90°,BD 平分∠ABC ,∴DE=CD=4.故选B .
7.[解析] D ∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,∴DF=DE=1.6.∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,AB=4,∴5.6=12×4×1.6+12AC×1.6,∴AC=3.故选D .
8.[答案] B
9.[答案] AC=BC (答案不唯一)
10.[答案] 一个三角形中有两个角是直角
11.[答案] 12
12.[答案] 150°
[解析] 如图,连接AP.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=105°.∵PE 是AB 的垂直平分线,∴PA=PB ,∴∠PAB=∠PBA.同理,∠PAC=∠PCA ,∴∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PAC=∠
BAC=75°,∴∠PBC+∠PCB=105°-75°=30°,∴∠BPC=180°-30°=150°.故答案为150°.
13.[答案] 4　
[解析] 如图,延长BD 交AC 于点E.
∵AD 平分∠BAE ,AD ⊥BD ,
∴∠BAD=∠EAD ,∠ADB=∠ADE=90°.
在△ABD 和△AED 中,
∵∠BAD=∠EAD ,AD=AD ,∠ADB=∠ADE ,
∴△ABD ≌△AED (ASA),
∴BD=ED ,
∴S △ABD =S △ADE ,S △BDC =S △CDE ,
∴S △ABD +S △BDC =S △ADE +S △CDE =S △ADC ,
∴S △ADC =12S △ABC =12×8=4(m 2).
故答案为4.
14.[答案] 103或10
[解析] 当点P 在OA 上,PO=QO 时,△POQ 是等腰三角形,如图①所示.
∵PO=AO-AP=(10-2t )cm,OQ=t cm,
∴10-2t=t ,解得t=103;
当点P 在OB 上,PO=QO 时,△POQ 是等腰三角形,如图②所示.∵PO=AP-AO=(2t-10)cm,OQ=t cm,
∴2t-10=t ,解得t=10.
故答案为103或10.
15.解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.
又∵∠C=42°,
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°.
(2)证明:∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF∥AC,
∴∠F=∠CAD,
∴∠BAD=∠F,
∴AE=FE.
16.解:(1)证明:∵AD为△ABC的角平分线,
DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°.
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∵DE=DF,AD=AD,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF.
∵DE=DF,AE=AF,
∴点A,D都在线段EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF.
AD.
(2)DO=1
4
AD.证明:∵AD为△ABC的角平分线,∠BAC=60°,∴∠EAD=30°,∴DE=1
2
∵∠EAD=30°,DE⊥AB,AD⊥EF,
∴∠DEO=30°,
∴DO=1
DE,
2
∴DO=1
AD.
4
17.解:由题意得AD=t cm,CE=2t cm,则DC=(6-t)cm.
在△ABC中,∵∠A=90°,∠B=30°,∴∠ACB=60°.
(1)若△DEC为等边三角形,则CE=DC,
∴2t=6-t ,解得t=2,
∴当t=2时,△DEC 为等边三角形.
(2)若△DEC 为直角三角形,当∠CED=90°时,
∵∠ACB=60°,∴∠CDE=30°,
∴CE=12DC ,∴2t=12(6-t ),解得t=1.2;
当∠CDE=90°时,同理可得∠CED=30°,∴12CE=DC ,
∴12×2t=6-t ,解得t=3,
∴当t=1.2或t=3时,△DEC 为直角三角形.
(3)证明:∵∠A=90°,∠B=30°,AC=6 cm,∴BC=12 cm,
∴BE=(12-2t )cm .
∵EF ∥AC ,
∴∠BFE=∠A=90°.
∵∠B=30°,
∴EF=12BE=12(12-2t )=(6-t )cm .
又∵DC=(6-t )cm,∴DC=EF.
[点评] 本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质,正确地识别图形是解题的关键.。