山东省济南市历城第二中学高三上学期模拟考试——数学

山东省济南市历城第二中学 2019届高三上学期模拟考试
数学（理）试题
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M={x|x 2
﹣4x ＞0}，N={x|m ＜x ＜8}，若M∩N={x|6＜x ＜n}，则m+n=（ ） A ． 10 B ． 12 C ． 14 D ．16 2.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A ． B ． C ． D ．
3．已知函数
()sin2sin23
x x f x -=-+，则
()()34lg log 4lg log 3f f +=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦( )
A. 0
B. 3
C. 6
D. 9
“”“” 11
()( )22
x f x m m a a =+->4.若是函数的图象不过第三象限的必要不充分条件，
则实数的取值范围是（）
5．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A ． B ． C ． D ． 6.已知函数f （x ）=﹣2sin （2x+φ）（|φ|＜π），若，则f （x ）的一个单调递增区间可以是（ ） A ． B ． C ． D ．
7.我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》 中提出了计算多项式()1
1n
n n n f x a x a x
--=++的值
的秦九韶算法，即将改写成如下形式：
()()()(1
2n
n n f x a x a
x a x --=+++L
L
，
首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项 式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图 表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ） A ． B ． C ． D ．
28.850 10| 6
y x P N M A B C D MN MN MP MP ===已知抛物线，为其上一点，点（，），点满的最小值为（ ）．4 ，，则 ．2
9.1,,0,0,1BD xBA CE yCA x y x y C E B B A D C ==>>+=在边长为的正三角且，则的最大值是形中，( )
A ．
B ．-
C ．
D ．
10.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若c 2
=（a ﹣b ）2
+6，△ABC 的面积为，则C=
A ．
B ．
C ．
D ．
11.过正方体的顶点作平面，使棱、、所在直线与平面所成角都相等，则这样的平面可以作（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
12.已知函数2()ln (0),f x x ax a =->若存在实数,且时有f(m)=f(n)成立，则实数a 的取值范围是（ ）
ln 3ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 2ln 2.0, .[,] .(,) .(,)553533A B C D --⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某所学校计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件25,
2,6.x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
则该校招聘的教师人
数最多是 名．
14．若()()2
105
01211x x a a x a x -=+-+-，则 ．
15.已知F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为
16.在正三棱锥V ﹣ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（12分）已知在数列{a n }中，a 1=3，（n+1）a n ﹣na n+1=1，n ∈N *
． （1）证明数列{a n }是等差数列，并求{a n }的通项公式； （2）设数列{}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜．
18.（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC=2，BD=，E 是PB 上任意一点． （Ⅰ）求证：AC ⊥DE ；
（Ⅱ）已知二面角A ﹣PB ﹣D 的余弦值为，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值．
19.（12分）蔬菜大棚的推广极大的丰富了我们的“菜篮子”，使我们一年四季都能吃到新鲜的蔬菜。

某农户有4个蔬菜大棚，决定于2018年采取科学种植，采用水培无土栽培方式种植各类蔬菜,根据过去50周的无土水培栽培方式种植的资料显示,该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周,不低于50且不超过70的周数大约有35周,超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：
（Ⅰ）依据数据的折线图,用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程,估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？ （Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响,为该农户提供了部分光照控制仪,该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制,
,则该台光照控制仪周亏损800元,欲使商家周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台？
附：回归方程系数公式：12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑,．
20.（12分）已知点是椭圆的左顶点，过点B （1,0）的直线与椭圆相交于两点，.且当轴时，△的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若过，请指出并说明
理由，若不过说明为什么.
21.（12分）已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．
（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（10分）已知直线l
的参数方程为
1
22(
1
2
x
t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
为参数），椭圆C的参数方程为参数）.在平
面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(2, ()求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标
()直线l与椭圆C交于P,Q两点,求△APQ的面积
23．（10分）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．
（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
参考答案
C A C C
D B A C B A D B 13.10 14.251 15.2 16.
17.解答：
证明：（1）由（n+1）a n ﹣na n+1
=1，得1111
-1(1)1n n a a n n n n n n +==-
+++，---------2分
累加得：，即a n =2n+1，-------------4分
由a n+1﹣a n =2（n+1）+1﹣2n ﹣1=2为常数．
∴数列{a n }是公差为2的等差数列.---------------6分
（2）111111
()
2(21)(21)(21)22121n
n n n n n n n =<=-+-+-+（a -1）a --------------------8分
111111()()2323521211111111()6232132(21)3
n T n n n n ⎡⎤
∴<
+-++-⎢⎥⨯-+⎣⎦=+-=-<++----------------------12分
18.解答：（I ）证明：∵PD ⊥平面ABCD
，AC ⊂平面ABCD ∴
PD ⊥AC 又∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，BD∩PD=D ∴AC ⊥平面PBD ，-------------------------------4分 ∵DE ⊂平面PBD ∴AC ⊥DE --------------------6分
（II ）解：分别以OA ，OB ，OE 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设PD=t ，则
(10,0)(0(10,0)(00),(0,)
2t
A B C E P t -，，，，，，
由（I ）知：平面PBD 的法向量为，--------------8分
令平面PAB 的法向量为，则根据220
0n AB n AP ⎧=⎪⎨
=⎪
⎩得 因为二面角A ﹣PB ﹣D 的余弦值为，则，得------------10分 ∴
设EC 与平面PAB 所成的角为θ， ∵，
∴
2sin cos ,EC n θ=<>=
--------------------------12分
19.（Ⅰ）
,
,
,
,
所以关于的线性回归方程为,-------------4分 当时,
百斤＝550斤,
所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．-------------5分
（Ⅱ）记商家总利润为元,由已知条件可知至少需安装1台, ①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元, ②安装2台光照控制仪的情形： 当时,一台光照控制仪运行,此时元, 当时,两台光照控制仪都运行,此时元, 故的分布列为
所以
元分
③安装3台光照控制仪的情形： 当时,一台光照控制仪运行,此时元,
当时,两台光照控制仪运行,此时元,
当时,三台光照控制仪都运行,此时元,
故的分布列为
-------------------11分
所以元,
综上,为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．----------12分20.解：（Ⅰ）设点在轴上方，
由
22
1,
9
1
x y
t
x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=
⎩
解得(1,
E F,所以.
因为△的面积为，解得.
所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分（Ⅱ）过定点B(1,0)------------5分
设直线，
由
22
1,
92
1
x y
x my
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
得22
(29)4160
m y my
++-=，
则
1212
22
416
,
2929
m
y y y y
m m
--
+==
++
，………………………………………………6分,.
又直线的方程为，由
1
1
(3),
3
3
y
y x
x
x
⎧
=+
⎪
+
⎨
⎪=
⎩
解得，
同理得.所以12
12
66
(2,),(2,)
33
y y
BM BN
x x
==
++
,……………………8分
又因为12
12
66
(2,)(2,)
33
y y
BM BN
x x
⋅=⋅
++
1212
1212
3636
44
(3)(3)(4)(4)
y y y y
x x my my
=+=+
++++
1212
2
1212
4(4)(4)36
4()16
my my y y
m y y m y y
+++
=
+++
222
22
16(436)164164(29)
3216(29)
m m m
m m
-+-⨯+⨯+
=
-++
222
6457664128576
9
m m m
---++
=.…………………………11分
所以,所以以为直径的圆过点. …………………………………12分
21.解答： 解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f （x ）=（x 2
﹣2x ）•lnx ﹣x 2
+2，定义域（0，+∞）， ∴f′（x ）=（2x ﹣2）•lnx+（x ﹣2）﹣2x ．------------------2分 ∴f′（1）=﹣3， 又f （1）=1， ∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程3x+y ﹣4=0；--------------------3分
（Ⅱ）g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0， 则（x 2
﹣2x ）•lnx+ax 2
+2=x+2，即a=
---------------4分
令h （x ）=，
则h′（x ）=，---------------------------------------------------5分 令t （x ）=1﹣x ﹣2lnx ，则t′（x ）=， ∵x ＞0，∴t′（x ）＜0，
∴t （x ）在（0，+∞）上是减函数， 又∵t （1）=h′（1）=0，
∴当0＜x ＜1时，h′（x ）＞0，当x ＞1时，h′（x ）＜0，
∴h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，-------------7分 ∴h （x ）max =h （1）=1，
∴当函数g （x ）有且仅有一个零点时a=1，--------------------------------------8分
当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2
﹣x ，
若e ﹣2
＜x ＜e ，g （x ）≤m ，只需证明g （x ）max ≤m ， ∴g′（x ）=（x ﹣1）（3+2lnx ）， 令g′（x ）=0，得x=1或x=e ﹣，
又∵e ﹣2
＜x ＜e ，
∴函数g （x ）在（e ﹣2
，e ﹣）上单调递增，在（e ﹣，1）上单调递减，在（1，e ）上单调递增，
又g （e ﹣）=﹣e ﹣3+2e ﹣，g （e ）=2e 2
﹣3e ，------------------------------10分
∵g （e ﹣）=﹣e ﹣3
+2e ﹣＜2e ﹣＜2e ＜2e （e ﹣）=g （e ）， ∴g （e ﹣）＜g （e ），
∴m≥2e 2
﹣3e ．---------------------------------------12分
2
22cos 23.1,
sin 41,2sin 333---------------------------------x x y y A y A αα
πππ
=⎧+=⎨=⎩∴===∴由得的极坐标为（2，），x=2cos 的直角坐标为（15分
（2
）将1
212x y ⎧=⎪⎨
⎪=⎩代入，化简得, 设此方程两根为,则,.
PQ ∴=
=
. 因为直线的一般方程为,
所以点到直线的距离.
的面积为.………………………10分
24.(1)解答：解：（Ⅰ）当m=5时，
36,1
()2,11
43,1
x x
f x x x
x x
+<-
⎧
⎪
=-+-≤≤
⎨
⎪->
⎩
，由f（x）＞2
可得﹣＜x＜﹣1，或﹣1≤x＜0，或x∈∅，
易得不等式解集为．----------------------------------------5分
（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，
因为
31,1
()3,11
31,1
x m x
f x x m x
x m x
++<-
⎧
⎪
=--+-≤≤
⎨
⎪-+->
⎩
在x=﹣1处取得最大值m﹣2，
所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，所以m4------------------10分。