宁夏银川一中2018-2019学年高一12月阶段性测试数学试题(精编含解析)

银川一中2018/2019学年度(上)高一阶段性测试
数学试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．
1.下列几何体是组合体的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：A，B，C分别是圆锥、圆柱、球，都为简单几何体；D为圆台去掉一个圆锥，为组合体，故选D.
考点：简单组合体的特征.
2.已知集合则中元素的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
求出即可得到结果.
【详解】∵
∴
∴中元素的个数是3个
故选：C
【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
3.下列函数中，与函数y=x表示同一个函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：函数的定义域为R，而选项A中函数中，选项C中函数中，选项D中的函数，又，故选B.
考点：函数的三要素，相等函数的判定（一般只需判定两者的定义域与对应关系）.
4.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：直观图中等腰直角三角形直角边为1，因此面积为，又直观图与原平面图面积比为，所以
平面图面积为
考点：斜二测画法
5.函数的零点所在的大致区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为函数的定义域为且在上单调递增,又，
所以函数的一个零点所在的区间是.故选B.
6.幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m+1在上单调递减，则等于
A. 3
B. -2
C. -2或3
D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义求出m，利用幂函数的性质即可确定m的值．
【详解】∵f（x）=（m2﹣m﹣5）x m+1是幂函数，
∴m2﹣m﹣5=1，即m2﹣m﹣2=0，
解得m=﹣2或m=3．
∵幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m+1在（0，+∞）上单调递减，∴m+1＜0，
即m=﹣2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，要求熟练掌握幂函数的定义和性质．
7.如图是正方体的平面展开图，下列结论成立的是（）
A. 与平行
B. 与是异面直线
C. 与成
D. 与平行
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的正方体平面展开图，画出正方体的直观图，结合正方体的几何特征，逐一判断题目中的四个命题，即可得到答案．
【详解】由已知中正方体的平面展开图，
得到正方体的直观图如下图所示：
由正方体的几何特征可得：
A：BM与ED平行，不正确；
B：CN与BE是异面直线，不正确，是平行线；
C：AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；
D：与垂直，错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中根据已知中的正方体平面展开图，得到正方体的直观图，是解答本题的关键．
8.三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是( )
A. b<a<c
B. a<c<b
C. a<b<c
D. b<c<a
【答案】A
【解析】
试题分析：比较大小需要加入中间变量，，，所以b<a<c，故选A．考点：1、指数值的大小；2、对数值的大小．
【易错点晴】本题考查指数和对数值的大小比较，不明确用中间量“1”，“0”进行传递比较致误．
9.已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α内的射影不可能是( )
A. 两条平行直线
B. 两条互相垂直的直线
C. 同一条直线
D. 一条直线及其外一点
【答案】C
【解析】
【分析】
以正方体为例，找出满足题意的两条异面直线，和平面α，然后判断选项的正误．
【详解】不妨以正方体为例，A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，A错误；
AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，B错误；
如果a、b在α上的射影是同一条直线，那么a、b共面，与条件矛盾，C正确．
DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点，D错误．
故选：C
【点睛】本题考查异面直线的投影及作图方法，用特殊图形解决一般性问题，是一种解题方式，是基础题．
10.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设圆锥的母线长为，底面半径为，
∵圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，
∴，即，，又圆锥的侧面积公式，
∴，解得，即，，则，
∴，即圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小为，故选A.
11.设x∈R，定义符号函数，则函数=的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
函数f（x）=|x|sgnx==x，
故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，
故答案为：C。

12.已知方程的两根为，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数与的图象相交问题，利用数形结合进行比较即可．
【详解】
方程的两根为，即与两个图象交点的横坐标为，
由图不难发现：，，排除B，Ｃ，Ｄ，
下面证明：
由图可知：，又
∴，又，
∴，即
故选：A
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数的图象的交点问题，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键．
二、填空题。

13.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为、、1，则该三棱锥的外接球的表面积_______________.【答案】6π
【解析】
解：因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、、，则其外接球的的半径就是长宽高分别为
1、、的长方体的外接球的半径，体对角线的一半，因此此三棱锥的外接球的表面积是6π
14.以下说法正确的有__________.
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；
③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；
④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．
【答案】①
【解析】
【分析】
直接利用棱柱的定义，判断选项即可得出．
【详解】①当平面与棱柱的底面不平行时，截出的两个几何体不是棱柱，正确；
②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；不正确，不满足棱台的定义．
③当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台，若不平行，则不是圆台，错误；
④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．不正确，不满足棱柱的定义．
故答案为：①．
【点睛】本题考查棱柱的定义及简单的几何性质，是基础题．
15.一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1、2、4，则这个几何体的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
三视图复原几何体是一条侧棱垂直底面直角三角形的直角顶点，根据三视图数据，求出体积．
【详解】设正视图两直角边长分别为a，c，左视图两直角边长为b，c，则俯视图两直角边长为a，b．
∴解得a2b2c2=64，∴abc=8，
由于这个几何体为三棱锥，所以其体积
V=×abc=．
故答案为：
【点睛】本题考查三视图求体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
16.已知关于x的函数y＝log a(2－ax)在（0,1）上是减函数，则a的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性即可得到结果.
【详解】∵关于x的函数y=log a（2﹣ax）在（0,1）上是单调递减的函数，
而函数t=2﹣ax在（0,1）上是单调递减的函数，
∴a＞1 且函数t在（0,1）上大于零，故有，
解得1＜a≤2，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AB=2,AA1=3，D点是AB的中点
（1）求证:BC1∥平面CA1D．
（2）求三棱锥B-A1DC的体积．
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
(1) 连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；
(2) 三棱锥B1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．
【详解】（1）证明：连接AC1交AC于E点，连接DE
∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，故AA1C1C为矩形
∴E是AB的中点
又∵D点是AB的中点
∴DE∥BC1
又DE在平面CA1D内
∴BC1∥平面CA1D.
（2）三棱锥B-A1DC的体积即为三棱锥A1-BDC的体积.
由题易得三棱锥A1-BDC的高h=A A1=3
又∵AB=BC=AC=2，D为AB的中点
∴三角形ABC的面积S=AB CD=
∴三棱锥A1-BDC的体积
V=Sh=
【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：
（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；
（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；
（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.
（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.
18.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点．
（1）求MN与AC所成角，并说明理由．
（2）求证：平面AMN∥平面EFDB．
【答案】（1）MN与AC的夹角为90°（2）见证明
【解析】
【分析】
(1)连接B1D1易得MN∥D1B1，又D1B1∥DB，从而有MN∥DB，故MN与AC的夹角即为DB与AC的夹角；
(2) 证明AM∥平面EFDB，MN∥平面EFDB，即可证明平面AMN∥平面EFDB．
【详解】（1）连接B1D1
∵M、N分别是A1B1，A1D1的中点
∴MN∥D1B1
又∵DD1∥BB1且DD1=BB1
∴DBB1D1为平行四边形
∴D1B1∥DB
∴MN∥DB
∴MN与AC的夹角即为DB与AC的夹角
又∵ABCD为正方形
∴MN与AC的夹角为90°
（2）证明：
由（1）得MN∥DB
MN平面BDEF
BD平面BDEF
∴MN∥平面BDEF
∵在正方形A1B1C1D1中，M，F分别是棱A1B1，D1C1的中点
∴MF∥A1D1且MF=A1D1
又∵A1D1∥AD且A1D1=AD
∴MF∥AD且 MF=AD
∴四边形ABEN是平行四边形
∴AM∥DF
又∵AM平面AMN，DF 平面BDEF
∴AM∥平面BDEF
∵AM平面AMN,MN平面AMN，且AN MN=N
∴平面AMN∥平面DBEF
【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
19.已知函数 (其中a＞0且a≠1)．
（1）求函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若，当x∈时，不等式恒成立，求实数m的范围．
【答案】（1）奇函数（2）
【解析】
【分析】
（1）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x），可得函数f（x）是奇函数；（2）设,不等式恒成立即
【详解】（1）由条件知＞0，解得－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)；
可知函数的定义域关于原点对称．
f(－x)＝log a＝--log a＝－f(x)，
因此是奇函数．
（2任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2
，
因为
又﹣1＜x1＜x2＜1，所以，
因此有．
又，所以，
即f（x1）＞f（x2）．
所以当时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．
设,
可知是减函数，则，
当时，解得：。

【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，求函数的奇偶性的方法和步骤，属于中档题．
20.定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．
（1）求，的值；
（2）证明：函数是偶函数；
（3）解不等式
【答案】解：(1)令x=y=1，则f(1)="f(1)+" f(1) ∴f(1)=0
令x=y=－1，则f(1)=f(－1)+ f(－1) ∴f(－1)=0
(2)令y=－1，则f(－x)=f(x)+f(－1)="f(x) " ∴f(－x)=f(x)
(3)据题意可知，函数图象大致如下：
【解析】
试题分析：（1）根据，令可求得．（2）根据证明．（3）由可将变形为，由（1）可知，所以等价于．根据函数的单调性可得关于的不等式．
试题解析：解：（1）令，则
令，则
（2）令，则
，
∴为定义域上的偶函数．
（3）据题意可知，函数图象大致如下：
，
或，
或
考点：1函数的奇偶性；2函数的单调性．
21.如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成600的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）见证明；（2）当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的性质定理证明两组线线平行即可；
（2）设=x，求出EH=（1﹣x）a．推出S四边形EFGH=EF•EH•sin60°=．推出E为AB的中点时，截面
EFGH的面积最大为．
【详解】（１）证明：平面，平面ABC，
平面平面，
．同理，
，同理，
四边形EGFH为平行四边形．
(2)解：与BC成角，或
设，
，
，
由，
得．
，
，
当时，，
即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为．
【点睛】本题考查几何图形的证明与判定，截面面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．
22.已知函数，且．
（1）求的值；
（2）画出图像，并写出单调递增区间(不需要说明理由)；
（3）若，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)画图如图，（-∞，2）和（4，∞）（3）（8, 6+2）
【解析】
【分析】
（1）利用f（4）=0，列出方程即可求实数m的值；
（2）化简函数的解析式，得到分段函数，然后作出函数f（x）的图象，根据图象直接指出f（x）的单调递减区间；
（3）借助函数图象的对称性，转化为求解c的取值范围．
【详解】（1）∵=x∣m-x∣,且)=0
∴4∣m-4∣=0
∴m=4
（2）f（x）=x|x﹣4|=，
f（x）的图象如图所示．
其单调增期间为：（-∞，2）和（4，∞）
（3）由图知： a+b=4为定值，即a+b+c的取值范围即为4+c的取值范围，
又∵当y=4时，x=2或x=2+2，
故c的取值范围为（4，2+2），
所以a+b+c的取值范围为（8, 6+2）
【点睛】本题考查函数的图象，分段函数的应用，函数的零点以及函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．。