2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例课件

第四讲
用数学归纳法证明不等式
二
用数学归纳法证明不等式举例
第四讲
用数学归纳法证明不等式
1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧． 2. 理解贝努利不等式． 3．能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等 式的证明．
1．数学归பைடு நூலகம்法证明不等式 (1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤 n0 时结论成立； ①证明：当 n 取第一个值______
1 1 1 1 解： ＋ ＋ ＋…＋ <1. 1＋a1 1＋a2 1＋a3 1＋an 理由如下： 因为 f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)， 所以 an＋1≥(an＋1)2－1. 因为函数 g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调 递增， 所以由 a1≥1，得 a2≥(a1＋1)2－1≥22－1， 进而得 a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：an≥2n－1.
当 n＝1 时，21＝2>12＝1， 当 n＝2 时，22＝4＝22， 当 n＝3 时，23＝8<32＝9， 当 n＝4 时，24＝16＝42， 当 n＝5 时，25＝32>52＝25， 当 n＝6 时，26＝64>62＝36. 故猜测当 n≥5(n∈N＋)时， 2n>n2，下面用数学归纳法加以证明． (1)当 n＝5 时，命题显然成立．
【规范解答】
归纳——猜想——证明
(本题满分 12 分)设 f(n)＝nn＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N＋. (1)当 n＝1，2，3，4 时，比较 f(n)与 g(n)的大小； (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
【解】 ＋1)n，
(1)当 n＝1 时，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此时，nn＋1<(n
用数学归纳法证明数列不等式 已知{an}是等差数列，首项 a1＝3，前 n 项和为 Sn，令 cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前 20 项和 T20＝330.数列{bn}是公 比为 q 的等比数列，前 n 项和为 Wn，且 b1＝2，q3＝a9. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)证明：(3n＋1)Wn≥nWn＋1(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当 n＝1 时，a1≥21－1＝1，猜想成立； ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立， 即 ak≥2k－1，则当 n＝k＋1 时， 由 g(x)＝(x＋1)2－1 在区间[－1，＋∞)上单调递增知， ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k 1－1，
1 ， 4×1
②假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立， 即 1 2 2 2 S1＋S2＋…＋Sk≤ － 2 1 成立， 4k
则当 n＝k＋1 时， 1 2 2 2 2 S1＋S2＋…＋Sk＋Sk＋1≤ － 2
1 1 1 1 ＝ － k－（k＋1）2 2 4
2 1 1 k ＋k＋1 ＝ － · 2 4 k（k＋1）2 2 k ＋k 1 1 1 1 < － · ＝ － . 2 4 k（k＋1）2 2 4（k＋1）
－1)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明“2n 1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”， 第一步的验
＋
证为 21 1≥12＋1＋2.( √ )
＋
(2)设 x>－1，且 x≠0，n 为大于 1 的自然数，则(1＋x)n<1＋ nx.( × ) 1 1 1 (3) 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式 “ ＋ ＋ ＋…＋ n＋1 n＋2 n＋3 1 25 1 1 1 > ”，当 n＝1 时，不等式左边的项为 ＋ ＋ .( √ ) 2 3 4 3n＋1 24
【解】
(1)设等差数列{an}的公差为 d，
因为 cn＝(－1)nSn， 所以 T20＝－S1＋S2－S3＋S4－…＋S20＝330. 则 a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330. 10×9 则 10(3＋d)＋ ×2d＝330， 2 解得 d＝3， 所以 an＝3＋3(n－1)＝3n， 所以 q3＝a9＝27，q＝3， 所以 bn＝2×3n 1.
答案：C
)
1 1 1 1 3．用数学归纳法证明：1＋ 2＋ 2＋…＋ <2－ n 2 3 （2n－1）2 2 －1 (n≥2，n∈N＋)时第一步需要证明( 1 A．1<2－ 2－1 1 1 B．1＋ 2<2－ 2 2 2 －1 1 1 1 C．1＋ 2＋ 2<2－ 2 2 3 2 －1 1 1 1 1 D．1＋ 2＋ 2＋ 2<2－ 2 2 3 4 2 －1
2．关于贝努利不等式 (1)(1＋x)n>1＋nx 成立的两个条件：①n∈N＋且 n≥2；②x 的 取值范围是 x>－1 且 x≠0. 于是有命题：当 n∈N＋且 n≥2 时不等式(1＋x)n>1＋nx 对一切 x∈(－1，0)∪(0，＋∞)恒成立． (2)常用特例：①当 x>－1 且 x≠0 时，(1＋x)2>1＋2x； ②当 x>－1 且 x≠0 时，(1＋x)3>1＋3x.
则 n＝k＋1 时， 3k＋1＝3×3k>3(2k＋1)＝6k＋3>2(k＋1)＋1， 所以 n＝k＋1 时不等式成立． 根据①②可知：当 n≥2 时，3n>2n＋1. 综上可知，3n≥2n＋1 对于 n∈N*成立， 所以(3n＋1)Wn≥nWn＋1(n∈N*)．
利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由 n＝k 到 n＝k＋ 1 的变形．为了满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩” 等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难点一是 要仔细观察题目结构，二是要用分析法找到放缩的结果，才能 顺利地证题．
1 1 1 11 2． 用数学归纳法证明不等式 ＋ ＋…＋ > 的过程中， 2n 24 n＋1 n＋2 由 n＝k 递推到 n＝k＋1 时不等式左边应( 1 A．增加了一项 2（k＋1） 1 1 B．增加了两项 ＋ 2k＋1 2k＋2 1 C．增加了 B 中两项但减少了一项 k＋1 D．以上各种情况均不对
答案：2k
用数学归纳法证明有关函数中的不等关系 xn－x n n2－1 已知 f(x)＝ n .对于 n∈N＋， 试比较 f( 2)与 2 的 x ＋x－n n ＋1
－
大小并说明理由．
【解】
xn－x－n 据题意 f(x)＝ n － x ＋x n
x2n－1 2 ＝ 2n ＝1－ 2n ， x ＋1 x ＋1 2 所以 f( 2)＝1－ n ， 2 ＋1 n2－1 2 又 2 ＝1－ 2 ， n ＋1 n ＋1 n2 － 1 所以要比较 f( 2)与 2 的大小，只需比较 2n 与 n2 的大小即 n ＋1 可，
(2)假设 n＝k(k≥5，且 k∈N＋)时，不等式成立． 即 2k>k2(k≥5)，则当 n＝k＋1 时， 2k＋1＝2· 2k>2·k2 ＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1 ＝(k＋1)2＋(k－1)2－2>(k＋1)2，((k－1)2>2) 由(1)(2)可知，对一切 n≥5，n∈N＋，2n>n2 成立． n2－1 综上所述，当 n＝1 或 n≥5 时， f( 2)> 2 ； n ＋1 n2－1 当 n＝2 或 4 时，f( 2)＝ 2 ； n ＋1 n2 － 1 当 n＝3 时，f( 2)< 2 . n ＋1
1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＝ ， 2 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
1 (1)判断S 是否为等差数列，并证明你的结论； n
(2)证明
1 2 2 2 S1＋S2＋…＋Sn≤ － 2
1 (n≥1 且 n∈N＋)． 4n
1 解：(1)S 是等差数列，证明如下： n
1 1 S1＝a1＝ ，所以 ＝2. 2 S1 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1， 即 Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. 1 1 所以 － ＝2. Sn Sn－1
1 故S 是以 n
2 为首项，2 为公差的等差数列．
(2)证明：①当 n＝1 不等式成立．
1 1 2 时，S1＝ ＝ － 4 2
答案：C
)
1 1 1 4． 用数学归纳法证明“1＋ ＋ ＋…＋ n <n(n∈N＋， n>1)” 2 3 2 －1 时，由 n＝k(k>1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加 的项数是________．
1 解析：左边的特点：分母逐项增加 1，末项为 n ； 2 －1 1 1 1 由 n＝k， 末项为 k 到 n＝k＋1， 末项为 k＋1 ＝ k k， 2 －1 2 －1 2 －1＋2 所以应增加的项数为 2k.
－
2（1－3n） (2)证明：由(1)知，Wn＝ ＝3n－1， 1－3 要证(3n＋1)Wn≥nWn＋1， 只需证(3n＋1)(3n－1)≥n(3n＋1－1)， 即证 3n≥2n＋1. 当 n＝1 时，3n＝2n＋1. 下面用数学归纳法证明：当 n≥2 时，3n>2n＋1. ①当 n＝2 时，左边＝9，右边＝5，左边>右边，不等式成立． ②假设 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，3k>2k＋1，
＋
即 nn＋1>(n＋1)n 成立．(5 分) ② 假 设 当 n ＝ k(k≥3 ， k ∈ N ＋ ) 时 ， kk ＋ 1>(k ＋ 1)k 成 立 ， 即 kk＋1 >1，(6 分) （k＋1）k
2．贝努利不等式 (1)定义：如果 x 是实数，且 x>－1，x≠0，n 为大于 1 的自然
1＋nx ． 数，那么有(1＋x)n>__________
(2)贝努利不等式的一般形式 ① 当 α 是实 数 ， 并且 满 足 α>1 或 α<0 时 ， 有 (1 ＋ x)α ≥
1＋αx __________( x>－1)； 1＋αx ②当 α 是实数， 并且满足 0<α<1 时， 有(1＋x)α≤__________( x>
利用数学归纳法解决比较大小问题的方法 利用数学归纳法比较大小， 关键是先用不完全归纳法归纳出两 个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结 论成立．
1 3 已知函数 f(x)＝ x －x，数列{an}满足条件：a1 3 1 1 1 1 ≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较 ＋ ＋ ＋…＋ 1＋a1 1＋a2 1＋a3 1＋an 与 1 的大小，并说明理由．
1 1 ＋ 4k 4（k＋1）2
即当 n＝k＋1 时，不等式成立． 由①，②可知对任意 n∈N＋不等式都成立．
1．关于用数学归纳法证明不等式的四点注意 (1)在从 n＝k 到 n＝k＋1 的过程中， 应分析清楚不等式两端(一 般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征． (2)瞄准当 n＝k＋1 时的递推目标，从中分离出 n＝k 时的相应 式子，借助不等式性质用上归纳假设． (3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的， 然后通过 运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明． (4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式然 后再用数学归纳法证明．
当 n＝2 时，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此时，nn＋1<(n＋1)n， 当 n＝3 时，nn 1＝81，(n＋1)n＝64，此时，nn 1>(n＋1)n，
＋ ＋
当 n＝4 时，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此时，nn＋1>(n＋1)n.(2 分)
(2)根据上述结论，我们猜想：当 n≥3 时，nn＋1>(n＋1)n(n∈N*) 恒成立．(4 分) 证明如下： ①当 n＝3 时，nn 1＝34＝81>(n＋1)n＝43＝64，
＋
即 n＝k＋1 时，猜想也成立． 由①，②知，对任意 n∈N*，都有 an≥2n－1，
即 1＋an≥2n. 1 1 所以 ≤ n. 1＋an 2 1 1 1 1 所以 ＋ ＋ ＋…＋ 1＋a1 1＋a2 1＋a3 1＋an
1n 1 1 1 1 ≤ ＋ 2＋ 3＋…＋ n＝1－2 <1. 2 2 2 2
n＝k k∈N＋，且 k≥n0)时结论成立，证明当 n＝ ②假设当________( k＋1 时结论也成立． ________ n 都成立． 由①②可知命题对从 n0 开始的所有正整数____
(2)用数学归纳法证明不等式的重点 用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)， 即假设 f(k)>g(k)成立，证明 f(k＋1)>g(k＋1)成立．