昌平区2012-2013学年第一学期期末考试高三数学文科答案

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测
数 学 试卷 参考答案（文科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
（9） （10）6；9
（11） 3 （12）2
2
(5)16x y -+=
（13） -5; 1
(,3)2- （14
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）因为()2cos )cos 1f x x x x =-⋅+
2cos2x x -
π
2sin(2)6
x =-.………………………………5分
所以()f x 的最小正周期2π
π2
T =
=．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636
x x x ππππππ
π挝
-?…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ
-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623
x x f x πππ
-
==即时取得最大值.……………….13分 （16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .
G A
B
C D
E
F
O
由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，
所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OF ACF DE
ACF 平面平面趟
所以DE ∥平面ACF ………….4分
(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^? 所以,EC BD ^
由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^
又=,,AC EC C AC EC
ACE 平面，
翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分
又AE ACE 平面，Ì
所以BD AE ^…………………………………………..9分
(III) 在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD -
中，,2
AB CO AB CE =
=
=， 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，
^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^?
所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.
由G 为EO 中点，得1
.2
EG EO =…………………………………………… 14分
（17）(本小题满分13分)
解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093
904
+++=，甲组同学的平均成绩为90，
所以
80869194
90,9.4
X X ++++==…………………………………2分 甲
组
同
学
数
学
成
绩
的
方
差
为
22222
8690)(8990)(9190)(9490)17=42
s -+-+-+-=甲
（…………… 6分
(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：
11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
33344142434(,),(,),(,
),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b
a b 共16个基本事件. 设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，
7
()16
P A =
………………………………………………………………………….13分
（18）(本小题满分13分) 解：（I ）当1a =时，311
()32
f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分
令12'()01, 1.f x x x ==-=，得..................................2分
列表：
∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()26
f =
. ………………………7分 （Ⅱ）2
2
'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得
① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.
)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.
所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121
()3
232
a f a a a a a -=-++
=+， 因为()222121
0,0,()03232
a a f a a a <+>-=+<所以.
0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立……………………………..9分
② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数，
所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有………………………………………………………..10分 ③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.
)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.
所以，()f x 在x a =取得最小值()332121
()3232
a f a a a a a =
-+=--， 令(
)2
2
2
121()0,0,0,03232f a a a a a a =-->>-
<<<由得
,0,()0.2
a x f x <<
>>所以当0对任意都成立 综上，a 的取值范围是[0)2
，.………………………………13分
（19）(本小题满分13分)
解: (Ⅰ)由题意知22211
2
a b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，所以b =故所求椭圆方程为22
142
x y +
=………………………………….5分 (Ⅱ) 设直线l
的的方程为2
y x m =
+,则0m ≠.设1122(,),(,),B x y C x y
代入椭圆方程并化简得2220x m +-=, …………6分 由22224(2)2(4)0m m m ∆=--=->,可得204m << . ( *)
由( *)
，得1,2x =,
故12BC x =-==..9分
又点A 到BC 的距离为d =
, …………………10分
故12ABC S BC d ∆=
⋅=22
(4)
2m m +-=≤=
当且仅当224m m =-,即m =时取等号满足(*)式. 所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………13分
（20）(本小题满分13分)
解: (I)① 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，
所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=-
. ………8分 ②123100401302203104200a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=L ……….10分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，
根据j b 的含义知1100m b +≤，
故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， 当且仅当1100m b +=时取等号. 因为123100,,,
,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，
所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>
>===
即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+. 14分。