新版高中数学北师大版必修2习题第二章解析几何初步2.3.3含解析

3.3空间两点间的距离公式
1.已知点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点为A',则|AA'|等于()
A.4
B.6
C.10
D.√38
答案:C
2.下列各点到坐标原点距离最小的是()
A.(1,-1,1)
B.(3,0,4)
C.(-2,3,5)
D.(2,2,1)
解析:点(1,-1,1),(3,0,4),(-2,3,5),(2,2,1)到原点(0,0,0)的距离分别为√3,5,√38,3,故选A.
答案:A
3.点A在z轴上,它到点(3,2,1)的距离是√13,则点A的坐标是()
A.(0,0,-1)
B.(0,1,1)
C.(0,0,1)
D.(0,0,13)
解析:设点A(0,0,c),则√32+22+(1-c)2=√13,解得c=1.所以点A的坐标为(0,0,1).
答案:C
4.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D',则A'C的中点E与AB的中点F之间的距离为()
A.√2a
a
B.√2
2
C.a
D.a
2
解析:由题意知,F(a,a
2
,0),E(a
2
,a
2
,a
2
),
所以|EF|=√(a
2)
2
+(a
2
)
2
=√2
2
a.故选B.
答案:B
5.已知正方体的每条棱都平行于坐标轴,两个顶点为A(-6,-6,-6),B(8,8,8),且两点不在正方体的同一个面上,则正方体的对角线长为()
A.14√3
B.3√14
C.5√42
D.42√5
解析:|AB|=√(-6-8)2+(-6-8)2+(-6-8)2=14√3.
答案:A
6.在空间直角坐标系中,与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
解析:由两点间距离公式可得|AB|=√26,|BC|=√74,|AC|=√26.因为A,B,C三点不共线,所以三点可确定一个平面,在△ABC所在平面内可找到一点到A,B,C的距离相等.而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A,B,C的距离均相等.故选D.
答案:D
7.已知点P在x轴上,且它到点P1(0,√2,3)的距离是到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,则点P的坐标是
.
解析:点P在x轴上,设P(x,0,0),则|PP1|=√x2+(√2)2+32=√x2+11,
|PP2|=√x2+(-1)2+12=√x2+2.
∵|PP1|=2|PP2|,∴2+11=2√x2+2,解得x=±1.故点P的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).
答案:(1,0,0)或(-1,0,0)
8.在空间直角坐标系O-xyz中,满足z=1的所有点构成的图形是.
解析:因为z=1,所以满足条件的点到xOy面的距离为1,所以满足条件的点构成一个平面,即与xOy平面平行,与z轴交点为(0,0,1)的平面.
答案:与xOy平面平行且与z轴交点为(0,0,1)的平面
★9.在平面xOy内的直线3x-y+6=0上确定点P,使点P到定点M(2,2,3)的距离最小,则点P的坐标为.
解析:由已知可设点P(x,3x+6,0),
则|PM|
=√(2x-x)2+[(2x+5)-(3x+6)]2+[(x+2)-0]2
=√x2+(x+1)2+(x+2)2
=√3x2+6x+5=√3(x+1)2+2.
所以,当x=-1时,|PM|取最小值为√2.
故在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,取点P(-1,3,0)时,点P到点M的距离最小.
答案:(-1,3,0)
10.
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,且E是棱DD1的中点,求BE,A1E的长.
解以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意,可得B (1,0,0),E (0,1,1
2
),A 1(0,0,1),
所以|BE|=√(1-0)2+(0-1)2+(0-12
)2
=32
,|A 1E|=√(0-0)2+(0-1)2+(1-12
)2
=√5
2
.
故BE 的长为32,A 1E 的长为√5
2.
11.在空间直角坐标系中,已知A (3,0,1),B (1,0,-3). (1)在y 轴上是否存在点M ,使|MA|=|MB|成立?
(2)在y 轴上是否存在点M ,使△MAB 为等边三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 解(1)假设在y 轴上存在点M ,满足|MA|=|MB|,可设点M (0,y ,0),则√(3-0)2+(0-y )2+(1-0)2=√(1-0)2+(0-y )2+(-3-0)2,
由于上式对任意实数都成立,故y 轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立. (2)假设在y 轴上存在点M (0,y ,0),使△MAB 为等边三角形.
由(1)可知y 轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立,所以只要再满足|AB|=|MA|,就可以使△MAB 为等边三角形.
因为|AB|=2√5,
|MA|=√(3-0)2+(0-y )2+(1-0)2 =√10+y 2,
于是√10+y 2=2√5,解得y=±√10.
故y 轴上存在点M ,使△MAB 为等边三角形, 此时点M 的坐标为(0,√10,0)或(0,-√10,0).
★12.已知正方形ABCD ,ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直,点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,已知CM=BN=a (0<a<√2). 求:(1)MN 的长;
(2)a 为何值时,MN 的长最小?
分析(1)此题首先应画出图形,然后选择合适的点作为原点,建立空间直角坐标系,借助空间两点间距离公式求解.
(2)利用(1)中|MN|的表达式转化为求二次函数的最小值.
解(1)因为平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF=AB ,AB ⊥BE ,所以BE ⊥平面ABC.所以AB ,BC ,BE 两两互相垂直.所以以B 为原点,以BA ,BE ,BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则M (
√22a ,0,1-√2
2a ),N (
√22a ,√2
2a ,0 )
.所以
|MN|=(
√2
2
a -
√2
2
a ) 2+( 0-
√2
2
a ) 2+( 1-
√2
2
a -0 ) 2
=√a 2=( a -√22 ) +1
2
(0<a<√2),
即MN 的长为
( a -√22 ) 2+1
2(0<a<√2).
(2)由(1)知|MN|=( a -√22 ) 2+1
2,
因为0<a<√2,所以当a=√22时,|MN|min =√2
2,
即当a=√2
2时,MN 的长最小.。