2020版试吧高中全程训练打算数学文天天练17

天天练17 平面向量的大体定理及坐标表示
小题狂练⑰
一、选择题
1．[2019·昆明调研]已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，那么|2a －b |＝( ) A. 2 B ．2 C.
10 D ．10
答案：C
解析：由已知，易患2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，因此|2a －b |＝－3
2＋12＝
10.应选C.
2．[2019·桂林模拟]以下各组向量中，能够作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，－34
答案：B
解析：两个不共线的非零向量组成一组基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线，应选B.
3．若是e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么以下说法中不正确的选项是( )
①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )能够表示平面α内的所有向量；
②关于平面α内任一贯量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③假设向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，那么λ1λ2＝μ1
μ2
.
④假设实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，那么λ＝μ＝0.
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．② 答案：B
解析：由平面向量大体定理可知，①④是正确的．关于②，由平面向量大体定理可知，一旦一个平面的基底确信，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．关于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不必然成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.应选B.
4．[2019·天津红桥区模拟]假设向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，那么a ＋b 的坐标为( )
A ．(1,5)
B ．(1,1)
C ．(3,1)
D ．(3,5) 答案：A
解析：∵向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，∴a ＋b ＝(1,5)．应选A.
5．[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB
→＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案：A
解析：作出示用意如下图．
EB
→＝ED →＋DB →＝12AD →＋12
CB → ＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 应选A.
6．[2019·吉林一中等五校模拟]已知向量
a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，tan α，b ＝(cos α，1)，
α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，且
a ∥
b ，那么
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α－π2＝( )
A ．－13 B.13
C.223 D ．－223
答案：C
解析：因为向量a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，
因此1
3＝tan αcos α＝sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，
因此sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－π2＝－cos α＝1－sin 2α＝22
3.应选C.
7．[2019·宜昌模拟]已知点A (1,3)，B (4，－1)，那么与AB
→同方向的单位向量是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案：A
解析：因为AB →＝(3，－4)，因此与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝
⎛⎭⎪⎫35，－45.
8．假设A ，B ，C ，D 四点共线，且知足AB →＝(3a,2a )(a ≠0)，CD →＝(2，t )，那么t 等于( )
A.34
B.43
C ．3
D ．－3 答案：B
解析：因为A ，B ，C ，D 四点共线，因此AB →∥CD →，故3a ·t ＝2a ·2，t ＝43.应选B.
二、非选择题
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知a ＝(3，1)，假设将向量－2a 绕坐标原点O 逆时针旋转120°取得向量b ，那么b 的坐标为________．
答案：(23，－2)
解析：因为a ＝(3，1)，因此－2a ＝(－23，－2)，如下图，易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°.向量－2a 绕坐标原点O 逆时针旋转120°取得向量b ，由图可知，b 在第四象限，且与x 轴正半轴的夹角β＝30°，因此b ＝(23，－2)．
10．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，那么m ＝________________. 答案：－6
解析：由题意知－2m －12＝0，m ＝－6.
11．设向量a ，b 知足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，那么a 的坐标为________．
答案：(－4，－2)
解析：因为b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，因此设a ＝(2λ，λ)(λ<0)，因为|a |＝2 5.因此4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.因此a ＝(－4，－2)．
12．已知A (2,1)，B (3,5)，C (3,2)，AP →＝AB →＋tAC →(t ∈R )，假设点P 在第二象限，那么实数t 的取值范围是________．
答案：(－5，－3)
解析：设点P (x ，y )，那么由AP
→＝AB →＋tAC →(t ∈R )，得(x －2，y －1)＝(1,4)＋t (1,1)＝(1＋t,4＋t )，因此⎩⎨⎧ x －2＝1＋t ，y －1＝4＋t ，解得⎩⎨⎧
x ＝3＋t ，
y ＝5＋t ，由点P 在第二象
限，得⎩⎨⎧
x ＝3＋t <0，
y ＝5＋t >0，
解得－5<t <－3，因此实数t 的取值范围为(－5，－3)．
课时测评⑰
一、选择题
1．已知向量a ＝(－3，－4)，那么以下能使a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )成立的一组向量e 1，e 2是( )
A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－1,2)
B ．e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6)
C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－1)
D ．e 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，1，e 2＝(1，－2)
答案：C
解析：作为基底，其应该知足的条件为不共线向量．A 中，零向量与任意向量共线；B 中，e 1＝(－1,3)，e 2＝(2，－6)共线；C 中，e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，
－1)不共线；D 中，e 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，1，e 2＝(1，－2)共线．
2．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)反向共线，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，那么点B 的坐标为( )
A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(5，－8)
D ．(－8,5) 答案：A
解析：依题意，设AB
→＝λa ，其中λ<0，那么有|AB →|＝|λa |＝－λ|a |，即25＝－5λ，∴λ＝－2，AB
→＝－2a ＝(－2,4)，因此点B 的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，应选A.
3．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，那么向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )
A ．e 1＋e 2
B ．－2e 1＋e 2
C ．2e 1－e 2
D ．2e 1＋e 2 答案：B
解析：由题意可取e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，设a ＝x e 1＋y e 2＝
x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，那么⎩⎨⎧ x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎨⎧
x ＝－2，
y ＝1，
故a ＝－2e 1＋e 2.
4．[2019·重庆第八中学适应性考试(一)]已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，
且(a ＋b )∥b ，那么m ＝( )
A ．－23 B.23
C ．－8
D ．8 答案：A
解析：由题意得a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )∥b ，因此43＝m －2
－2，解得
m ＝－2
3
.应选A.
5．[2019·湖南省五校联考]已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个
点A ，B ，C ，其中OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ知足OC →＋λOA →＋μOB →＝0，那么实数λ，μ的关系为( ) A ．λ2＋μ2＝1 B.1λ＋1
μ＝1 C ．λμ＝1 D ．λ＋μ＝1 答案：A
解析：解法一 取特殊点，取C 点为优弧AB 的中点，
现在易患λ＝μ＝2
2
，只有A 符合．应选A.
解法二 依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得1＝λ2＋μ2.应选A.
6.
如图，OC →＝2OP →，AB →＝2AC →，OM →＝mOB →，ON →＝nOA →，假设m ＝38
，那么n 等于( )
A.12
B.23
3
4 D.4 5
C.
答案：C
解析：因为AB →＝2AC →，因此C 为AB 中点，故OC →＝12OA →＋12
OB →＝2OP →，因此OP →＝14OA →＋14
OB .由OM →＝mOB →，ON →＝nOA →，因此OB →＝1m OM →，OA →＝1n ON →，因此OP →＝14m OM →＋14n ON →，因为M ，P ，N 三点共线，故14m ＋14n ＝1，当m ＝38时，
n ＝3
4.应选C.
7．[2019·安徽淮南模拟]已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与
AB ，AC 别离交于点M ，N ，且AM
→＝xAB →，AN →＝yAC →(x ，y >0)，那么3x ＋y 的最小值是( )
A.83
B.72
C.52
D.43＋233 答案：D 解析：
如图．
AC →＝1y AN →，AB →＝1x AM →，
又∵AG →＝13AB →＋13
AC →， ∴AG
→＝13x AM →＋13y
AN →， 又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋1
3y ＝1.
∵x >0，y >0，
∴3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋23
3.当且仅当
y ＝3x 时取
等号．应选D.
8．[2019·福建质量检测]正五角星是一个超级优美的几何图形，且与黄金
分割有着紧密的关系．在如下图的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E
为极点的多边形为正五边形，且PT
AT ＝5－12
.以下关系中正确的选项是
( )
A.BP →－TS →＝5＋12RS →
B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →
C.ES →－AP →＝5－12BQ →
D.AT →＋BQ →＝5－12
CR → 答案：A
解析：由题意，知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →，RS SE ＝PT AT ＝5－12，因此SE →＝5＋12RS →，故A 正确；CQ →＋TP →＝PA →－PT →＝TA →＝5＋1
2ST →，故B 错误；ES →－AP →＝RC
→－QC →＝RQ →＝5－12QB →，故C 错误；因为AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－1
2
CR →＝RS
→＝RD →－SD →，假设AT →＋BQ →＝5－1
2
CR →成立，那么SD →＝0，不合题意，故D 错误．应选A.
二、非选择题 9.
如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD
→＝a ，AB →＝b ，假设AB
→＝2DC →，那么AO →＝________(用向量a 和b 表示)． 答案：23a ＋13
b
解析：由AB
→＝2DC →知，AB ∥DC 且|AB →|＝2|DC →|，从而|BO →|＝2|OD →|.因此BO →＝23BD →＝23(AD →－AB →)＝23(a －b )，因此AO →＝AB →＋BO →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .
10．[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．假设c ∥(2a ＋b )，那么λ＝________.
答案：
1
2
解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，因此4λ＝2，得λ＝1
2
.
11．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC
→＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；假设e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC
→的坐标； (2)已知点D (3,5)，在(1)的条件下，假设ABCD 四点组成平行四边形，求点A 的坐标．
解析：(1)AE
→＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2) ＝e 1＋(1＋λ)e 2.
∵A ，E ，C 三点共线，
∴存在实数k ，使得AE →＝kEC →， 即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)， 得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.
∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，
∴⎩
⎨⎧
1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－3
2.
BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12
e 2 ＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(2)∵ABCD 四点组成平行四边形，∴AD →＝BC →. 设A (x ，y )，那么AD
→＝(3－x,5－y )， 又BC →＝(－7，－2)，∴⎩⎨⎧
3－x ＝－7，
5－y ＝－2，
解得⎩⎨⎧
x ＝10，y ＝7，
点A (10,7)．。