2020-2021高三数学上期末试卷(含答案)(1)

2020-2021高三数学上期末试卷(含答案)(1)
一、选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，若对任意*N n ∈，都有
()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．()2,3
B ．[]2,3
C ．92,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．92,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
2．数列{}n a 满足()11n
n n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100 B ．-100
C ．-110
D ．110
3．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是
( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角
三角形 4．已知在
中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，
，
，则
的面积等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知x ，y 满足230
3301x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则
14
a b
+的最小值为（ ） A ．3
B ．
32
C ．2
D ．
52
6．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
7．已知,,a b R +∈且11
5a b a b
+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]
B ．[)2,+∞
C ．(2,4)
D ．(4,)+∞
8．“0x >”是“1
2x x
+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +
++=∈且2469a a a ++=，则
15793
log ()a a a ++的值是( )
A ．－5
B ．－
15
C ．5
D ．
15
10．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当
0a >且1a ≠时，
1
1b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-
B ．242-
C ．162-
D ．243
12．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =
，a =
7
cos 8
A =
，则ABC ∆的面积为（ ） A
B ．3
C
D
二、填空题
13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab
++的最小值为___________.
14．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，2
1313S a =，则{a n }的首项的所
有可能值为______
15．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．
16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝
2sinC ，则边c 的值为_______．
17．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪-+≤⎩
，则2z x y =+的最大值为______.
18．数列{}n a 满足10a =，且
()
1*11
211n n
n N a a +-=∈--，则通项公式
n a =_______．
19．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪
=∈⎨
-≤⎪⎩，当
100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.
20．已知数列{}n a (*
n ∈N )，若11a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则2lim n n a →∞= ． 三、解答题
21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.
（1）求22
2
b c a
+的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 22．已知数列中，
，
. （1）求证：是等比数列，并求
的通项公式； （2）数列
满足
，求数列
的前项和
.
23．设数列{}n a 满足()*16
4
n n n a a n a +-=
∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
是等比数列； （Ⅱ）令1
12
n n b a =-
-，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.
24．在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N . （1）证明数列{}n a 是等比数列；
（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604n
n a
T n
+⋅
-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围. 25．己知数列的前n 项和为，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n 项和
．
26．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式．
（2）若数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
1
1
111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11221244133212n
n
n n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭
()143n p S n ≤-≤Q
即22113332n p ⎛⎫
⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤
当3n =时，4
43
p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤
故选B
点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
数列{a n }满足1(1)n
n n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．
【详解】
∵数列{a n }满足1(1)n
n n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．
则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()
101192
⨯+=-=-100．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．C
解析：C 【解析】
在ABC ∆中，222222
cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab ab
Q +-+-=∴==⋅
，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公
式求得结果. 【详解】
由余弦定理得：，即
解得：
或
为最小角
本题正确选项： 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】
作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．
1411414143
()()(5)(52
)6662
b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=
，当且仅当4b a a b =，即12,33a b =
=时等号成立，即14a b +的最小值为3
2． 故选：B. 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
的可行域，如图，
画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，
由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，
2z x y =+的最大值为9.
故选D. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7．A
解析：A 【解析】
分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，
又11
5a b a b
++
+=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
， 化为()()2
540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
8．C
解析：C 【解析】
先考虑充分性,当x>0
时，12x x +
≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.
再考虑必要性，当
1
2 x
x
+≥时，如果x>0时，22
210(1)0
x x x
-+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0.
故选C.
9．A
解析：A
【解析】
试题分析：331313
log1log log log1
n n n n
a a a a
++
+=∴-=
Q即1
3
log1
n
n
a
a
+=13
n
n
a
a
+
∴=
∴数列{}n a是公比为3的等比数列335
579246
()393
a a a q a a a
∴++=++=⨯=
1579
3
log()5
a a a
∴++=-
．
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
∵点M(a,b)与点N(0,−1)在直线3x−4y+5=0的两侧,
∴()()
34530450
a b
-+⨯++<，即3450
a b
-+<，故①错误；
当0
a>时,
5
4
a b
+>，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；
设原点到直线3x−4y+5=0的距离为d,则
22
5
1
3(4)
==
+-
d,则22
a b
+>1，故③正确；当0
a>且a≠1时,
1
1
b
a
+
-
表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率．
∵当0
a=,b=
5
4
时,
5
1
19
4
114
b
a
+
+
==-
--
,又直线3x−4y+5=0的斜率为
3
4
，
故
1
1
b
a
+
-
的取值范围为
93
,,
44
⎛⎫⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故④正确.
∴正确命题的个数是2个. 故选B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+
--=-，即113
22
n n a a -=，即()1
32n
n a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113
a q S q
---∴==
=---，故选B.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
三角形的面积公式为1
sin 2
ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】
解：在ABC ∆中，2227
cos 28b c a A bc +-==
将2b c =
，a =222
467
48
c c c +-=， 解得：2c =
由7cos 8A =
得sin A ==
所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=
故选D. 【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是
12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助1
2
（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1
sin 2
bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.
二、填空题
13．4【解析】（前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式（1）当且仅当时取等号；（2）当且仅
解析：4 【解析】
44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是
222a b =，后一个等号成立的条件是1
2
ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当
2224
a b =
=
时取等号）. 【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）
22
,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，
当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
14．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首
解析：34，
- 【解析】 【分析】
根据题意，化简得2
2
111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2
2
13113112S a a a --=-，进而得
到2
11120a a --=，即可求解结果.
【详解】
因为22111n n n a a a ++-=-，所以22
111n n n a a a ++-=-， 所以222222
2213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，
将以上各式相加，得22
13113112S a a a --=-，
又21313S a =，所以2
11120a a --=，解得13a =-或14a =.
【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
15．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的
解析：a <<【解析】
由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足
222222
22224
130130310
a a a a <<⎧⎪+->⎪
⎨+->⎪⎪+->⎩
，解得a << ∴实数a
的取值范围是．
答案： 点睛：
根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．
16．3【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得解方程得解【详解】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得所以故答案：3【点睛】本题主要
解析：3 【解析】 【分析】
由acosB ＝5bcosA 得2
2
2
23
a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】
由acosB ＝5bcosA 得2222222222
5,223
a c
b b
c a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.
由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，
所以
2
22,33c c c =∴=. 故答案：3 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （
解析：5 【解析】 【分析】
画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】
画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122
z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线30
10
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩得A （1,2），故
max 145z =+=
故答案为：5
【点睛】
本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题
18．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项
解析：
22
21
n n -- 【解析】 【分析】
构造数列1
1n n
b a =
-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到22
21n n a n -=
-. 【详解】 设11n n b a =
-，则12n n b b +-=，1
1
1
11b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列
122
2121121
n n n b n n a n n a -=
⇒=--⇒--= 故答案为2221
n n -- 【点睛】
本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列1
1n n
b a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.
19．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849
【解析】 【分析】
直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】
数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，
所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()100100134663118492
2
S +⨯=
+⨯
+=，
故答案为：1849 【点睛】
本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也
考查了分类讨论的思想，属于中档题.
20．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-
解析：2
3
-
【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =
23(11)4n -，21n S -=1+13（11
14
n --），从而22n n a S =-21n S -=
21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞
【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12
a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=
12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+21
12n -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
=11
124114
n ⎛⎫- ⎪⎝
⎭-=2
3(11)4n
-， ∴2n S =
23(1
1)4
n -； 又12345
a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭
+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2
1111241
14
n -⎛⎫
⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭-=1+13（1114n --），
即21n S -=1+
13（11
14
n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -2
3
∴2211lim lim(
32n n n n a n -→∞
→∞
=-2)3=-2
3
，
故答案为：-2 3
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）22
2
4b c a
+=（2 【解析】 【分析】
（I ）由题意2sin 3tan c B a A =，利用正、余弦定理化简得2224b c a +=，即可得到答案. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，由余弦定理得6
cos A bc
=，进而利用基本不等式，得到6cos bc A =
，且(0,)2
A π
∈，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值. 【详解】
解：（I ）∵2sin 3tan c B a A =， ∴2sin cos 3sin c B A a A =， 由正弦定理得22cos 3cb A a =，
由余弦定理得222
22?32b c a cb a bc
+-=，化简得2224b c a +=，
∴222
4b c a
+=. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，
∴由余弦定理得2226
cos 2b c a A bc bc
+-==
， 根据重要不等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时“=”成立， ∴63
cos 84
A ≥=. 由6cos A bc =
，得6cos bc A =，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， ∴ABC ∆的面积116
sin sin 3tan 22cos S bc A A A A
=
=⨯⨯=. ∵2222
222
sin cos sin 1
1tan 1cos cos cos A A A A A A A
++=+==，
∴tan 3
A =
≤=
∴3tan S A =≤
∴ABC ∆的面积S . 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
22．(1)答案见解析；(2).
【解析】
试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，
并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；
解析：（1）∵
∴
∴，
∵，，
∴是以为首项，以4为公比的等比数列
∴，
∴，
∴，
（2），
∴①
②
①-②得
∴
.
23．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与3
2
n n a a --的关系，即可得证
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
211
1222
n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公
式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解. 【详解】 解：（Ⅰ）()*16
4
n n n a a n a +-=
∈-N Q 116
3
34622
4n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312
628n n n n a a a a --+=--+
2(3)
(2)n n a a --=
--
3
2
2
n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫
-∴⎨⎬-⎩⎭
是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
3
22
n n n a a -=-， 即
211
1222
n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）
123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①
23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，
①减②得
1
1231
142S 122(22...2)(21)222(21)212
n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-
1(32)26n n +=-⋅-. 1S (23)26n n n +∴=-⋅+
211
1S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），
S n ∴单调递增.
76S 92611582019=⨯+=<Q ， 87S 112628222019=⨯+=>.
故使S 2019n <成立的最大自然数6n =. 【点睛】
本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题. 24．(1)见解析(2) (,20)-∞ 【解析】
分析：（1）利用1434n n S S +-=推出
134n n a a +=是常数，然后已知213
4
a a =，即可证明数列{}n a 是等比数列；
（2）利用错位相减法求出数列{}n na 的前n 项和为n T n ，化简不等式
31604n
n a
T n
⎛⎫+⋅-< ⎪⎝⎭，通过对任意的*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围．
详解：
(1) Q 已知*
1434,n n S S n N +-=∈,
∴ 2n ≥时, 143 4.n n S S --= 相减得1430n n a a +-=. 又易知0,n a ≠
13
4
n n a a +∴
=. 又由*
1434,n n S S n N +-=∈得()121434,a a a +-=
22133,44
a a a ∴=
∴=. 故数列{}n a 是等比数列.
(2)由(1)知1
1
33144n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
.
011
33312444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ,
1
2
3333124444n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L . 相减得213113333341344444414
n
n n n
n T n n -⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L ,
331616444n n
n T n ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, ∴不等式31604n n a T n ⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭为33316164160444n n n
a n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 化简得2416n n a +>. 设()2
416f n n n =+,
*n N ∈Q ()()120min f n f ∴==.
故所求实数a 的取值范围是(),20-∞.
点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n 项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力． 25．（1）；（2）
【解析】 【分析】 （1）运用，证明数列
是等比数列，计算通项，即可。

（2）将通项
代入，得到的通项，结合裂项相消法，计算求和，即可。

【详解】 （1）数列的前n 项和为
，且
当时，
，
解得：．
当
时，，
得：
，
整理得：， 即：常数， 所以：数列
是以
，3为公比的等比数列，
则：首项符合，
故：．
（2）由于，
所以，
所以：，
则：
，
， ．
【点睛】
考查了等比数列的判定，考查了裂项相消法，考查了等比数列通项计算方法，难度中等。

26．（1）32n a n =-+；（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．利用通项公式即可得出．
（Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，可得n b ．再利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
∵2738
2329a a a a +=-⎧⎨+=-⎩，∴1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得113a d =-⎧⎨=-⎩，
∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．
（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列得
1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=，
∴1
32n n b n q -=-+，
∴()(
)2
1
147321n n S n q q q
-⎡⎤=++++-+++++⎣⎦L L
()()
213112
n n n q q q --=
+++++L ．
∴当1q =时，()23132
2
n n n n n
S n -+=
+=； 当1q ≠时，()31121n
n n n q S q
--=+-．。