第1讲 平面向量的概念及线性运算
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注意：只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性．
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第1讲 平面向量的概念及线性运算
《高考特训营》 ·数学 返 回
[记结论·提速能]
【记结论】 1．设 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则D→P＝12(O→A＋O→B)．
2．若 G 是△ABC 的重心，D 是 BC 边的中点，则：
①G→A＋G→B＋G→C＝0；②A→G＝1(A→B＋A→C)；③G→D＝1(G→B＋G→C)＝
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[探究] 三角形加法法则的推论是什么？ 提示：多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表 示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点．
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3．共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b＝λa．
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2．若非零向量a和b满足|a＋b|＝|b|＝2，则|a|的取值范围是________，|a －b|的取值范围是________． 答案：(0，4] [2，6] 解析：(1)由结论5知，||a＋b|－|b||≤|a|＝|a＋b－b|≤|a＋b|＋|b|＝4，又 a≠0，所以|a|的取值范围是(0，4]． (2)由结论5知，|a－b|＋|a＋b|≥2|b|＝|(a＋b)－(a－b)|≥||a－b|－|a＋b||， 所以－4≤|a－b|－|a＋b|≤4， |a－b|＋|a＋b|≥4，又|a＋b|＝2，解得|a－b|的取值范围是[2，6]．
1.平面向量 的有关概念
2.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向 量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. 2.平面向量 3.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算 的线性运算
规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线
的含义.
3.共线向量
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义 定理的应用
核心素养
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(5)相等向量：长度相等且方向__相__同____的向量． (6)相反向量：长度相等且方向__相__反____的向量． [注意] 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向 量 a 平行的单位向量有两个，即向量|aa|和－|aa|.
数学抽象 数学运算 直观想象 逻辑推理
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01 02
知识特训 能力特训
3第1讲 平面向量的概源自及线性运算《高考特训营》 ·数学 返 回
01
知识特训
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[梳知识·逐点清] 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有__方__向____的量叫作向量，向量的大小叫作向量 的长度(模)． (2)零向量：长度为____0____的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于_1_个__单__位__长度的向量． (4)平行向量：方向相同或__相__反____的非零向量，也叫作共线向量，规 定：零向量与任意向量平行．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
减法
求 a 与 b 的相反 向量－b 的和的 运算
a－b＝a＋____(－__b)
数乘
求实数λ与向量 a 的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ>0 时， λ(μa)＝____(_λ_μ_)_a；
λa 与 a 的方向相同； (λ＋μ)a＝
当λ<0 时，λa 与 a 的 ______λa_＋__μ_a_；
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3.如图，O 在△ABC 的内部，D 为 AB 的中点，且O→A＋O→B＋2O→C＝0， 则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．
答案：4
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方向相反；当λ＝0 时， λ(a＋b)＝
λa＝0
_____λ_a_＋__λ_b_
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[思考] 向量加法与减法的运算法则如何快速记忆？ (1)加法三角形法则：首尾接，首尾连． (2)加法平行四边形法则：共起点，对角线． (3)减法三角形法则：共起点，连终点，指被减．
3
2
16(A→B＋A→C)．
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3．在四边形 ABCD 中，若 E 为 AD 的中点，F 为 BC 的中点，则A→B ＋D→C＝2E→F.
4.O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数，O 为平面内任意一点，且 B 与 C
不重合)，若点 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1. 5．向量模的三角不等式：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
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2．向量的线性运算 向量运算 定义
加法
求两个向量 和的运算
法则(或几何意义)
运算律
交换律：a＋b＝ ____b_＋__a____； 结合律：(a＋b)＋c ＝__a_＋__(b_＋__c_)__
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【提速能】 1．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若O→B＝a100O→A＋a101O→C，且 A， B，C 三点共线(该直线不过点 O)，则 S200＝________. 答案：100 解析：由结论 4 可得 a100＋a101＝1，∴S200＝200（a12＋a200）＝100×(a1 ＋a200)＝100×1＝100.
202第4届1讲 平面向量的概念及线性运算
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
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课程标准解读
命题方向
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向 量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量 相等的含义.
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[记结论·提速能]
【记结论】 1．设 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则D→P＝12(O→A＋O→B)．
2．若 G 是△ABC 的重心，D 是 BC 边的中点，则：
①G→A＋G→B＋G→C＝0；②A→G＝1(A→B＋A→C)；③G→D＝1(G→B＋G→C)＝
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[探究] 三角形加法法则的推论是什么？ 提示：多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表 示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点．
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3．共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b＝λa．
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2．若非零向量a和b满足|a＋b|＝|b|＝2，则|a|的取值范围是________，|a －b|的取值范围是________． 答案：(0，4] [2，6] 解析：(1)由结论5知，||a＋b|－|b||≤|a|＝|a＋b－b|≤|a＋b|＋|b|＝4，又 a≠0，所以|a|的取值范围是(0，4]． (2)由结论5知，|a－b|＋|a＋b|≥2|b|＝|(a＋b)－(a－b)|≥||a－b|－|a＋b||， 所以－4≤|a－b|－|a＋b|≤4， |a－b|＋|a＋b|≥4，又|a＋b|＝2，解得|a－b|的取值范围是[2，6]．
1.平面向量 的有关概念
2.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向 量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. 2.平面向量 3.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算 的线性运算
规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线
的含义.
3.共线向量
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义 定理的应用
核心素养
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(5)相等向量：长度相等且方向__相__同____的向量． (6)相反向量：长度相等且方向__相__反____的向量． [注意] 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向 量 a 平行的单位向量有两个，即向量|aa|和－|aa|.
数学抽象 数学运算 直观想象 逻辑推理
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知识特训
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[梳知识·逐点清] 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有__方__向____的量叫作向量，向量的大小叫作向量 的长度(模)． (2)零向量：长度为____0____的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于_1_个__单__位__长度的向量． (4)平行向量：方向相同或__相__反____的非零向量，也叫作共线向量，规 定：零向量与任意向量平行．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
减法
求 a 与 b 的相反 向量－b 的和的 运算
a－b＝a＋____(－__b)
数乘
求实数λ与向量 a 的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ>0 时， λ(μa)＝____(_λ_μ_)_a；
λa 与 a 的方向相同； (λ＋μ)a＝
当λ<0 时，λa 与 a 的 ______λa_＋__μ_a_；
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3.如图，O 在△ABC 的内部，D 为 AB 的中点，且O→A＋O→B＋2O→C＝0， 则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．
答案：4
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方向相反；当λ＝0 时， λ(a＋b)＝
λa＝0
_____λ_a_＋__λ_b_
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[思考] 向量加法与减法的运算法则如何快速记忆？ (1)加法三角形法则：首尾接，首尾连． (2)加法平行四边形法则：共起点，对角线． (3)减法三角形法则：共起点，连终点，指被减．
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16(A→B＋A→C)．
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3．在四边形 ABCD 中，若 E 为 AD 的中点，F 为 BC 的中点，则A→B ＋D→C＝2E→F.
4.O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数，O 为平面内任意一点，且 B 与 C
不重合)，若点 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1. 5．向量模的三角不等式：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
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2．向量的线性运算 向量运算 定义
加法
求两个向量 和的运算
法则(或几何意义)
运算律
交换律：a＋b＝ ____b_＋__a____； 结合律：(a＋b)＋c ＝__a_＋__(b_＋__c_)__
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【提速能】 1．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若O→B＝a100O→A＋a101O→C，且 A， B，C 三点共线(该直线不过点 O)，则 S200＝________. 答案：100 解析：由结论 4 可得 a100＋a101＝1，∴S200＝200（a12＋a200）＝100×(a1 ＋a200)＝100×1＝100.
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第1讲 平面向量的概念及线性运算
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命题方向
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向 量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量 相等的含义.