2019-2020学年上海市青浦高级中学高一上学期十月质量检测数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市青浦高级中学高一上学期十月质量检
测数学试题
一、单选题
1．如果a b >，那么下列不等式中正确的是( ) ． A.
11a b
< B.22a b >
C.a c b c >
D.
22
11
a b
c c >++ 【答案】D
【解析】通过反例1a =，1b =-，0c =可排除,,A B C ；利用不等式的性质可证得D 正确. 【详解】
若1a =，1b =-，则11
11a b
=
>=-，221a b ==，则A ，B 错误； 若a b >，0c =，则0a c b c ==，则C 错误；
211c +≥ 21011c ∴<
≤+，又a b > 22
11
a b
c c ∴>++，则D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，属于基础题.
2．下列命题中为真命题的是( ) ． A.“若1x =，则220x x +-=”的否命题 B.“若x y >，则x y >”的逆命题. C.“若1x >，则21x >”的否命题 D.“若1x >，则1x >”的逆否命题
【答案】B
【解析】A 选项：由其逆命题为假，可知否命题为假；
B 选项：写出原命题的逆命题，分类讨论后可判断真假；
C 选项：写出原命题的否命题，可通过反例得到否命题为假；
D 选项：通过判断原命题为假，可知其逆否命题为假.
【详解】
A 中，“若1x =，则220x x +-=”的逆命题为“若220x x +-=，则1x =”
当220x x +-=时，2x =-或1x =，可知逆命题为假
逆命题与否命题互为逆否命题，同真假 ∴原命题的否命题为假，A 错误；
B 中，原命题的逆命题为“若x y >，则x y >”
当0y ≥时，y y =，则x y >，命题成立；
当0y <时，0y >，又x y > 0x ∴> 0x y ∴>>，命题成立
∴原命题的逆命题为真，B 正确；
C 中，原命题的否命题为“若1x ≤，则21x ≤”
当2x =-时，241x => ∴原命题的否命题为假，C 错误；
D 中，若1x >，则1x >或1x <-，可知原命题为假
原命题与其逆否命题同真假 ∴原命题的逆否命题为假，D 错误. 故选：B 【点睛】
本题考查四种命题之间的关系及真假性的判断，需明确原命题与其逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假，从而在判断真假性时灵活转化.
3．设全集U =R ，集合(){}
|0P x f x ==,(){}
0Q x g x ==,(){}
|0H x h x ==，
则方程
()()
()
220f x g x h x +=的解集是( ) ． A.
U P Q C H ⋂⋂ B. P Q ⋂ C.P Q H ⋂⋂ D.P Q H ⋂⋃
【答案】A
【解析】由方程有意义可知分母不等于零，得到解集为U C H ；由分子等于零可得
()0f x =且()0g x =，解集为P Q ；上述条件需同时成立，取交集即可得到结果.
【详解】
方程有意义 ()0h x ∴≠，解集为U C H
()()220,0f x g x ≥≥ ()()220f x g x ∴+=需()20f x =且()20g x =
即()0f x =且()0g x =，解集为P
Q
综上所述：方程
()()
()
220f x g x h x +=的解集为：U P Q C H 故选：A 【点睛】
本题考查方程组解集的求解、集合的基本运算，关键是明确本题中方程成立的基本要求，即分母不为零且分子为零，从而利用交集运算求得结果. 4．已知121212,,,,,a a b b c c 均为非零实数，则“
111
222
a b c a b c ==”是“关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>解集相同”的( ) ．
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必
要条件 【答案】D
【解析】通过
111
222
1a b c a b c ===-可知所得两个不等式不等价，充分性不成立；通过反例210x x ++>与210x x -+>解集均为R ，可知必要性不成立，从而得到最终结论. 【详解】
若111
222
1a b c a b c ===-，则221112220a x b x c a x b x c ++=--->，即2
222
0a x b x c ++<
与2
2220a x b x c ++>的解集不同，故充分性不成立
若2211110a x b x c x x ++=++>，22
22210a x b x c x x ++=-+>
不等式解集均为R ，此时
111
222
a c
b a
c b =≠，故必要性不成立 综上所述：
“111
222
a b c a b c ==”是“关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件 故选：D 【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判定，证明充分性或必要性不成立时，常采用特殊值的方式，找到反例来进行说明.
二、填空题 5．已知集合{8
6|A x N x
=∈-且}x N ∈，则用列举法表示集合A =__________． 【答案】{}2,4,5
【解析】当6x >时，
806x <-，必不是自然数，依次代入0,1,2,3,4,5x =，可验证8
6x
-是否是自然数，从而得到结果. 【详解】
当0x =时，
84603N =∉-；当1x =时，88615N =∉-； 当2x =时，
8262N =∈-；当3x =时，88
633N =∉-； 当4x =时，
8464N =∈-；当5x =时，8
865
N =∈- 当6x >且x ∈N 时，
806x <- 86N x
∴∉- {}2,4,5A ∴=
故答案为：{}2,4,5 【点睛】
本题考查列举法表示集合，关键是明确常用数集的含义，属于基础题.
6．已知集合{}|60A x x a =+>,若1A ∈，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()6,-+∞
【解析】将1x =代入不等式即可求得a 的范围. 【详解】
1A ∈ 60a ∴+>，解得：6a >- a ∴的取值范围为()6,-+∞
故答案为：()6,-+∞ 【点睛】
本题考查根据元素与集合关系求解参数范围问题，属于基础题. 7．已知0,0,0a b c d e >><<<，则e
a c
-__________e b d -．
【答案】>
【解析】根据不等式的性质可求得0a c b d ->->，进而得到11
a c
b d
<--，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果. 【详解】
0c d <<Q 0c d ∴->->，又0a b >> 0a c b d ∴->-> 11
a c
b d
∴
<
-- 0e < e e
a c
b d
∴
>
--
故答案为：> 【点睛】
本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.
8．已知集合{|A x y ==，集合{}
2
2B y y x ==+，则A B =__________．
【答案】[
)1,+∞
【解析】根据函数定义域和值域的求解方法可求得集合A 和集合B ，由并集定义得到结果. 【详解】
{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}[)22,B y y =≥=+∞
[)1,A B ∴=+∞
故答案为：[
)1,+∞ 【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，关键是能够通过函数定义域和值域的知识求得两个集合，属于基础题.
9．命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠.”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真
【解析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论. 【详解】
命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠” 的逆否命题为 “已知,x y R ∈，如果0x =且2y =，那么2x y +=” 为真命題，
故命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠” 是真命题，故答案为真. 【点睛】
本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.
10．如果全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2A B ⋂=，{}1U U
A B ⋂
=痧，(){4,6}U C A B =，
()U A B ⋂=ð______．
【答案】{3,5}
【解析】此题考查了集合的交、并、补的运算,结合韦恩图逐步填空可得解. 【详解】 解：
{}2A B =,2,2A B ∴∈∈
{}1U U
A
B =痧,1,1A B ∴∉∉
()
{4,6}U C A B =,{4,6},{4,6}A B ∴⊄⊂
依题意填充韦恩图如图所示:
{2,3,5}A ∴={2,4,6}B =
(){2,3,5}
{1,3,5}{3,5}U
A
B ==ð
故答案为：{3,5} 【点睛】
本题考查了此题考查了集合的交、并、补的运算,熟练掌握各自的定义是解题的关键,借助韦恩图解题更简单.
11．写出1x >的一个必要非充分条件__________ 【答案】0x >
【解析】将必要非充分条件转化为集合之间的关系，即可求解. 【详解】
令{}|1A x x =>，根据题意将问题转化为写出一个集合,B 使A B ≠
⊂，所以可以写集合{}|0B x x =>.
故答案为：0x >（不唯一） 【点睛】
本题主要考查充分、必要条件与集合之间的关系，属于基础题.
12．已知集合2560{|}A x x x =-+=，{}10|B x mx =+=，且A B B =，则实数m 组成的集合为__________． 【答案】110,,23⎧
⎫-
-⎨⎬⎩⎭
【解析】解方程求得集合A ；分别在0m =和0m ≠两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果. 【详解】
()(){}{}2302,3A x x x =--==
当0m =时，B =∅，满足A B B =
当0m ≠时，1B m ⎧⎫
=-
⎨⎬⎩⎭
A B B = 12m ∴-=
或13m
-=，解得：12m =-或1
3- ∴实数m 组成的集合为110,,23⎧
⎫--⎨⎬⎩
⎭
故答案为：110,,23⎧
⎫--⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查根据交集运算结果求解参数值的问题，易错点是忽略集合B 为空集的情况，造成求解错误.
13．已知集合()()
2
1|,}0{x x x x a x R --+=∈中的所有元素之和为1，则实数a 的取
值范围为__________．
【答案】{}1,04⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
【解析】首先确定集合中包含元素1；分别在20x x a -+=无实根、有两个相等实根和有两个不等实根三种情况下，讨论元素之和是否为1，综合可求得结果. 【详解】
令10x -=，解得：1x =
①若20x x a -+=无实根，即140a ∆=-<，解得：1
4
a > 此时集合只有一个元素1，满足题意
②若20x x a -+=有两个相等实根，即140a ∆=-=，解得：14
a =
2104x x ∴-+
=，解得：12x = ∴集合为11,2⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，不满足元素之和为1 ③若20x x a -+=有两个不等实根，即140a ∆=->，解得：1
4
a < 设此时方程20x x a -+=的两根为12,x x ，则121x x =+ 若11x ≠，21x ≠，此时集合为{}121,,x x ，不满足元素之和为1
若11x =，则20x =，此时集合为{}1,0，满足元素之和为1 120a x x ∴==
综上所述：{}1,04a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
故答案为：{}1,04⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，在20x x a -+=有两个不等实根的情况下，忽略其中一个根为1的情况，造成求解错误.
14．规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b 、有: a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且
,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧
⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭
,则用列举法表示集合A =__________．
【答案】1,12⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
【解析】根据所定义运算可知221
22
a b x ab ++=+，根据,a b 取值范围可分别在1
a =-和0a =两种情况下确定
b 的取值，进而求得x 的不同取值，得到所求集合. 【详解】
由题意得：2212,02a b A x x ab b ⎧⎫
++==+≠⎨⎬⎩⎭
22a b -<<<且,a b Z ∈
∴当1a =-时，1b =，此时x =1
2
-
；当0a =时，1b =，此时1x =
∴集合1,12A ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭
故答案为：1,12⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素.
15．
已知{|},M x x a a Z b Z ==+∈∈，则下列结论中正确的序号是__________．
M ；Z M ⊆②；③若12,x x M ∈，则12 x x M +∈；
④若12,x x M ∈且20x ≠，则
1
2
x M x ∈；⑤若*,x M n N ∈∈，则n x M ∈. 【答案】①②③⑤
【解析】①中分母有理化后即可判断出①正确； ②中令0b =即可得到Z M ⊆，②正确；
③中()(
121212x x a a b b +=+++12x x M +∈，③正确； ④
中通过反例1x =，22x =，即可验证出④错误；
⑤
根据展开式通项，可判断出n x c =+，,c d Z ∈，可得⑤正确 【详解】
①
3M ==+，①正确； ②当0b =时，{}
,M x x a a Z ==∈，可知Z M ⊆，
②正确； ③令11x
a b =+22x a b =+1212,,,a a b b Z ∈ 则
()(121212x x a a b b +=+++
12a a Z +∈，12b b Z +∈ 12x x M ∴+∈，
③正确；
④令1x =，22x =，满足12,x
x M ∈，则122
x M x =，
④错误； ⑤(n
n
x a
=+
，展开式通项为：(r
r
r
n r
r n r
r
n
n
C a
C a
b
--=
当r 为偶数时，r
Z ∈；当r 为奇数时，1
r r -==
又r
n r
r
n C a
b Z -∈ (n
a c ∴+=+,c d Z ∈，即n
x M ∈，⑤正确
故答案为：①②③⑤ 【点睛】
本题考查元素与集合关系、集合之间的包含关系等知识，属于集合部分知识的综合应用，属于中档题.
16．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|x x β<或}x γ>(0)βγ<<，则不等式()
()2
112a x b x c ax ++-+>的解集为__________．
【答案】()(),11,βγ-∞+++∞
【解析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可得0a >，b
a
βγ+=-且c a
βγ=
，由此可将所求不等式化为()()2
112x x x βγβγ+-+-+>，解不等式即可得到结果. 【详解】
20ax bx c ++>的解集为{x x β<或}x γ>
,βγ∴为方程20ax bx c ++=的两根且0a > b a βγ∴+=-，c
a
βγ=
()b a βγ∴=-+，c a βγ=
则不等式可化为：()
()()2
112a x a x a ax βγβγ+-+-+>
0a > ()()2
112x x x βγβγ∴+-+-+>
即()()2
210x x βγβγβγ-++++++> ()()110x x βγ∴----> 解得：1x β<+或1x γ>+ ∴不等式解集为：()(),11,βγ-∞+++∞
故答案为：()(),11,βγ-∞+++∞
【点睛】
本题考查一元二次不等式的求解，涉及到一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系、韦达定理的运用等知识，关键是能够通过解集确定方程的两根及二次函数开口方向.
三、解答题
17．设集合{
}2
3,1,A a a
=-+，{}2
21,3,1B a a a =--+，若{}3A B ⋂=-,试求a 与
A B .
【答案】1a =-，{}3,0,1,2,4A B ⋃=--
【解析】根据交集结果可令B 中元素21a -、3a -分别等于3-，求得a 后，计算出集合,A B ，舍掉交集结果不符的情况，得到a ；再根据并集运算求得A B .
【详解】
①若213a -=-，则1a =-
此时{}3,0,1A =-，{}3,4,2B =-- {}3A
B ∴=-，满足题意
{}3,0,1,2,4A B ∴=--
②若33a -=-，则0a =
此时{}3,1,0A =-，{}1,3,1B =-- {}3,1A B ∴=-，不满足题意
综上所述：1a =-，{}3,0,1,2,4A B =--
【点睛】
本题考查集合运算中的根据交集运算结果求解参数值、并集运算等知识；此类型题易错点是忽略集合中元素的互异性、交集运算结果的一致性，导致求解错误.
18．已知命题p :关于x 方程2410x x m ++-=有两个不等的负根，命题q :关于x 的方程24420x x m ++-=无实根.若命题p q 、中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】(]
[)1,35,+∞
【解析】根据一元二次方程根的分布得到不等关系，求解出命题,p q 分别为真时m 的取值范围；令p 真q 假、p 假q 真分别求得结果，取并集得到最终结果. 【详解】
若命题p 为真，则()1641010
m m ⎧∆=-->⎨
->⎩，解得：15m <<
若命题q 为真，则()161620m ∆=--<，解得：3m > 若p 真q 假，则13m <≤；若p 假q 真，则5m ≥
m ∴的取值范围为：(]
[)1,35,+∞
【点睛】
本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次方程根的情况求
解参数范围的问题，属于常考题型.
19．关于x 的不等式组()()222
10
432130
x ax a a x a x ⎧++≥⎪⎨-+---<⎪⎩的解集为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】[]1,2
【解析】将不等式组解集为R 转化为两个不等式均恒成立的问题；可通过∆和开口方向得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】
不等式组解集为R 210x ax ∴++≥和()
()2
2
432130a a x a x -+---<恒成立
若210x ax ++≥恒成立，则240a ∆=-≤，解得：22a -≤≤ 若()
()2
2
432130a a x a x -+---<恒成立
当1a =时，()
()2
2
4321330a a x a x -+---=-<恒成立，满足题意
当3a =时，()
()2
2
43213430a a x a x x -+---=--<不恒成立，不合题意
当1a ≠且3a ≠时，()()
222
430
4112430
a a a a a ⎧-+<⎪⎨∆=-+-+<⎪⎩，解得：512a << ∴若()
()22432130a a x a x -+---<恒成立，51,2a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
∴若不等式组解集为R ，[]1,2a ∈
【点睛】
本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够明确一元二次不等式恒成立实际是与开口方向和判别式有关；易错点是忽略对二次项系数是否为零的讨论.
20．不等式220x x -->的解集为A ，关于x 的不等式()2
25250x a x a +++<的解
集为B .
(1)求集合A 、集合B ;
(2)若集合A B Z ⋂⋂中有2019个元素，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()(),12,A =-∞-⋃+∞；55,,225
,255,,22a a B a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=∅=⎨⎪
⎪⎛⎫--< ⎪⎪⎝
⎭⎩；
（2）[)
(]2021,20202021,2022-
【解析】（1）利用一元二次不等式的解法可求得集合A ；分别在52a >、52a <和5
2
a =三种情况下，根据一元二次不等式解法求得集合B ； （2）将问题转化为则A
B 中包含2019个整数；分别在52a >
、512
a ≤<、21a -≤<和2a <-四种情况下，确定A B 中整数个数，由此得到a 的范围.
【详解】
（1）()()2
2210x x x x --=-+>，解得：1x <-或2x >
()(),12,A ∴=-∞-+∞
()()()22525250x a x a x x a +++=++<
当5
2a -<-
，即52a >时，52
a x -<<-；当5
2a =时，不等式解集为∅； 当5
2
a ->-，即5
2a <
时，52
x a -<<- 55
,,225,255,,22a a B a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪∴=∅=⎨⎪
⎪⎛⎫--< ⎪⎪⎝
⎭⎩
（2）若A B Z ⋂⋂有2019个元素，则A B 中包含2019个整数
①当5
2a >
时，512
a -<-<-，(),1A B a =-- [)2022,2021a ∴-∈--，即(]2021,2022a ∈
②当5
12a ≤<时，512a -<-≤-，5,2A
B a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
则A
B 中不包含2019个整数，不合题意
③当21a -≤<，即12a -<-≤时，5,12A
B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
则A B 中不包含2019个整数，不合题意
④当2a <-，即2a ->时，()5,12,2A
B a ⎛⎫=--- ⎪
⎝⎭
5,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
包含1个整数 ()2,a ∴-需包含2018个整数 (]2020,2021a ∴-∈，即[)2021,2020a ∈--
综上所述：[)(]2021,20202021,2022a ∈-
【点睛】
本题考查一元二次不等式的求解、根据集合中元素个数求解参数范围、集合运算中的交集运算以及常用数集等知识，属于中档题.
21．已知由自然数组成的1n -元集合{}()1,2,3,4,,11A n n =⋅⋅⋅->，非空集合B A ⊆,且对任意的a B ∈，都有n a B -∈. (1)当5n =时，求所有满足条件的集合B ;
(2)当9n =时，求所有满足条件的集合B 的元素总和;
(3)定义一个集合的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该集合的元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{}1,2,4,6,9的交替和是964216-+-+=，集合{}5的交替和为5.当21n =时，求所有满足条件的集合B 的“交替和”的总和. 【答案】（1）{}1,4，{}2,3，{}1,2,3,4；（2）288；（3）9192⨯
【解析】（1）确定{}1,2,3,4A =后可知B 有偶数个元素，分别讨论两个元素和四个元素的情况即可得到结果；
（2）确定{}1,2,3,4,5,6,7,8A =可知B 有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和，加和得到结果；
（3）由3n =、5n =和7n =时交替和总和的规律可得到当21n k =+时，交替和总和为()1
212k k --⨯，代入10k =即可求得结果.
【详解】
（1）当5n =时，{}1,2,3,4A =
B 是A 的非空子集，且a B ∈时，5a B -∈ ∴B 中有偶数个元素
B ∴中有两个元素时，{}1,4B =或{}2,3；B 中有四个元素时，{}1,2,3,4B =
∴所有满足条件的集合B 有：{}1,4，{}2,3，{}1,2,3,4
（2）当9n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8A =
B 是A 的非空子集，且a B ∈时，9a B -∈ ∴B 中有偶数个元素
当B 中有两个元素时，元素之和为：()()()()1827364536+++++++= 当B 中有四个元素时，元素之和为：629129108⨯⨯=⨯= 当B 中有六个元素时，元素之和为：439129108⨯⨯=⨯= 当B 中有八个元素时，元素之和为：3694=⨯
∴所有满足条件的集合B 的元素总和为：3636108108288+++=
（3）当3n =时，{}1,2B =，交替和的总和为：()332
211322--==-⨯
当5n =时，由（1）知，交替和的总和为：()532
3126522
-++==-⨯
当7n =时，{}1,6B =或{}2,5或{}3,4或{}1,2,5,6或{}1,3,4,6或{}2,3,4,5或
{}1,2,3,4,5,6，交替和的总和为：()732531242320722
-++++++==-⨯
……以此类推，当21n k =+时，交替和的总和为：()()21312
212212k k k k +---⨯=-⨯
当21n =时，10k = ∴所求交替和的总和为：9192⨯ 【点睛】
本题考查集合运算中的新定义运算的问题，关键是能够根据新定义确定集合B 中元素的特点，从而得到规律；考查了学生归纳与总结的能力，属于较难题.。