2013年淄博市高三年级第一次模拟考试(文理含详细解答)

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淄博市2012-2013学年度高三年级模拟考试
理 科 数 学
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束后，将试卷和答题卡一并上交． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：
锥体的体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么
()()()P AB P A P B =⋅．
第I 卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）在复平面内，复数5i
2i
-的对应点位于
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
（2）（文）已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B 等
于 （A ）1
(0,)2
（B ）(,1)(0,)-∞-+∞
（C ）1
(,1)
(,)2
-∞-+∞ （D ）(1,1)-
（2）（理）已知集合{
}
2
50M x x x =-<，{}6N x p x =<< ，且{}2M N x x q =<<，
则p q +=
（A ） 6
（B ） 7
（C ） 8
（D ）9
（3）设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π
； 命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2
x π
=对称．则下列的判断正确的是
（A ） p 为真 （B ） q ⌝为假
（C ） p q ∧ 为假
（D ）p q ∨为真
（4）已知P 是圆12
2=+y x 上的动点，则 P 点到直线 022:=-+y x l 的距离的最小
值为
（A ） 1
（B ）2 （C ） 2
（D ）
（5）(文科)已知22
1(0,0)x y x y
+=>>，则x y +的最小值为
（A ） 1
（B ）2
（C ） 4
（D ）8
(5)（理科）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，
已知在全校学生中随机抽取一名“献爱心”志愿者，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取
100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为．
（A ） 40
（B ）60
（C ）20
（D ）30
（6）某程序框图如图所示，该程序运行后， 输出的x 值为31，则a 等于 （A ）0 （B ） 1
（C ）2
（D ）3
（7）(文)已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内
有两点P Q 、，满足0,2PA PC QA BQ +==，则APQ ∆的面积为
(第6题图)
(第9题图
)
1
1
（A ）
12
（B ）
2
3
（C ）1 （D ）2
（7）(理)已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、， 满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则APQ ∆的面积为
（A ）
12
（B ）
2
3
（C ）1 （D ）2
（8）在同一个坐标系中画出函数,sin x
y a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下
列所给图象中可能正确的是D
（9）一个直棱柱被一个平
面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A ）9 （B ）10
（C ）11
（D ）
232
（10）设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意t R ∈都有()(1)f t f t =-，且
1[0,]2x ∈时，2()f x x =-，则3
(3)()2
f f +-的值等于．
（A ）12-
（B ）1
3
- （C ）1
4
-
（D ）15
-
（11）数列{}n a 前n 项和为n S ，已知11
5
a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立，则实数a 的最小值为
（A ）
1
4
（B ）
3
4
（C ）
43
（D ）4
（12）在区间15,⎡⎤⎣⎦和[]6,2内分别取一个数，记为a 和b ， 则方程)(122
22b a b y
a x
<=-表
示离心率小于5的双曲线的概率为
（A ）
12 （B ）32
（C ）17
32 （D ）
31
32
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
(13) 已知抛物线2
4x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是__4±___． (14) (文科) 已知03
π
θ<≤
，则θθcos 3
sin +的取值范围是⎤⎦
(14) (理科)若函数1,10
()πcos ,02
x x f x x x +-≤<⎧⎪
=⎨≤<⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为a ，
则62()a x x -
的展开式中各项系数和是 1
64
（用数字作答） （15）
观察下列不等式1<
<
<；… 请写出第n 个不等式为
n n n <+++++)
1(11216121 ． （16）现有下列结论：
①直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交；
②(文)函数x
x x f 1lg )(-=的零点所在的区间是1,110（）
； ②(理)函数x
x x f 1
lg )(-=的零点所在的区间是（1，10）；
③
（
文
科
）
从
总
体
中
抽
取
的
样
本
122
21111(,),(,),,(,),,,n n
n n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记
则回归直线y bx a ∧
=+必过点（,x y ）；
③（理科）已知随机变量X 服从正态分布()1,0N ，且
()m X P =≤≤-11，则
()m X P -=-<11；
④ 已知函数()22
x x
f x -=+，则()2y f x =-的图象关于直线2x =对称.
其中正确的结论序号是 ② ④ （注：把你认为正确结论的序号都填上）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分． （17）（本小题满分12分）
已知向量()(sin ,sin(
)),(12sin )2
A B A B π
=--=，m n ，
且sin2C ⋅=-m n ，其中A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边c b a 、、所对的角. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若3
sin sin sin 2
A B C +=，且ABC S ∆，求边c 的长. 解：（Ⅰ）()sin
2cos sin A B A B ⋅=-+m n ……………………1分
sin cos cos sin sin()A B A B A B =+=+ ……………………2分
在ABC ∆中，A B C π+=-，0C π<< 所以sin()sin A B C += 又 sin2C ⋅=-m n
所以sin sin2=2sin cos C C C C =-- 所以1
cos 2
C =-，……………………5分 即23
C π
=
. ……………………6分 （Ⅱ）因为sin sin 2sin A B C +=
由正弦定理得b a c +=2. …………………8分
1sin 24
ABC S ab C ab ∆=
==，得4=ab . ………………10分 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-
222
2
9
()44
a b a b a b a b c =++=
+-=
-
解得 5
c =
. ……………………12分
（18）（文科）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，
ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，
P 为DN 的中点．
（Ⅰ）求证：BD ⊥MC ；
（Ⅱ）线段AB 上是否存在点E ，使得，//
AP 平面NEC ，若存在，说明在什么位置，并加以证明;若不存在，说明理由.
（Ⅰ）证明：连结AC ，因为四边形ABCD 是菱形
所以AC BD ⊥.………………2分
又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD 所以AM ⊥平面ABCD 因为BD ⊂平面ABCD 所以AM BD ⊥ 因为AC
AM A =
所以BD ⊥平面MAC .……………………4分 又MC ⊂平面MAC
所以BD MC ⊥. ……………………6分 （Ⅱ）当E 为AB 的中点时，有//AP 平面NEC .……7分
取NC 的中点S ，连结PS ，SE .……………8分 因为//PS DC //AE ， 1
=2
PS AE DC =， 所以四边形APSE 是平行四边形，
所以//AP SE . ……………………10分 又SE ⊂平面NEC ，
P
S
N
A
B
C
D
E
M
P A
B
C
M
N
E
D
AP ⊄平面NEC ，
所以//AP 平面NEC .……………………12分 (18)(理科)（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面A B C D ， 60DAB ∠=，2AD =，1AM =， E 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：AN //平面MEC
（Ⅱ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为
6
π
？若存在，求出AP 的长h ；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）连接BN ，设CM 与BN 交于F ，连结EF .
由已知，////MN AD BC ，
MN AD BC ==，所以四边形BCNM 是平行
四边形，F 是BN 的中点. 又因为E 是AB 的中点，
所以//AN EF .…………………3分 因为EF ⊂平面MEC ，
AN ⊄平面MEC ，
所以//AN 平面MEC .……………4分
（Ⅱ）假设在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6
π. （解法一）
延长DA 、CE 交于点Q ，过A 做AH ⊥EQ 于H ，连接PH . 因为ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ， 所以MA ⊥平面ABCD ，又EQ ⊂平面ABCD ，
N
A
C
D
M
B
E
A
F
B
C
D
E
N
M
Q
P H
所以MA ⊥EQ ，EQ ⊥平面PAH
所以EQ PH ⊥，PHA ∠为二面角P EC D --的平面角. 由题意6
PHA π
∠=
.……………7分
在QAE ∆中，1AE =，2AQ =，120QAE ︒
∠=，
则EQ ==
所以sin120AE AQ AH EQ ︒==
……………10分 又在Rt PAH ∆中，6
PHA π
∠=
，
所以tan301AP AH ︒
==
==< 所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为
6
π
，此时AP
的长为. ……………………………………………………………12分 （解法二）
由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，60DAB ∠= 所以ABC ∆为等边三角形，可得DE AB ⊥.
又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ， 所以DN ⊥平面ABCD .
如图建立空间直角坐标系D xyz -.…………5分
则(0,0,0)D
，E ，
(0,2,0)C
，1,)P h -.
(3, 2.0)CE =-，(0,1,)EP h =-.错误！未找
y
到引用源。

………7分
设平面PEC 的法向量为1(,,)x y z =n .
则110,0.
CE EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 错误！未找到引用源。

所以20,0.y y hz -=-+=⎪⎩错误！
未找到引用源。

令y =
.
所以1(2h =n .……………………………………………………………9分错误！未找到引用源。

又平面ADE 的法向量2(0,0,1)=n …………………………10分错误！未找到引用源。

所以121212cos ,⋅<>=
=⋅n n n n n n . …………………………11分错
误！未找到引用源。

=
，
解得17h =< 所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π
，此时AP
的长为
……………………………………………………………12分. （19）(文科)（本小题满分12分）
某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为整数，满分100分），进行统计，
请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（Ⅰ）求a b 、的值；
（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．
解：（I ） 35,0.30a b ==……………………………………………………………12分 （Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：
6
30360⨯=人， 第4组：6
20260⨯=人，
第5组：6
10160
⨯=人，
所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人.
…………6分
设第3组的3位同学为1A 、2A 、3A ，第4组的2位同学为1B 、2B ，第5组的1位同学为1C ，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
()12,,A A ()13,,A A ()11,,A B ()12,,A B ()11,,A C ()23,,A A ()21,,A B ()22,,A B ()21,,A C ()31,,A B ()32,,A B ()31,,A C ()12,,B B ()11,,B C ()21,,B C …………10分
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为53
159=
…………12分 （19）（理科）（本小题满分12分）
在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2
OP ξ=．
（I ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
解：（I ）x 、y 可能的取值为1、2、3，…………………1分
12≤-∴x ，2≤-x y ，
22(2)()5x x y ξ∴=-+-≤，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，5ξ=．
因此，随机变量ξ的最大值为5…………………………4分
有放回摸两球的所有情况有933=⨯种
2
(5)9
P ξ∴==
………6分 （Ⅱ）ξ的所有取值为0,1,2,5．
0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况．
1ξ=时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，
2ξ=时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况． 91)0(=
=∴ξP ，4(1)9P ξ==，2
(2)9
P ξ==…………………………8分 则随机变量ξ的分布列为：
……………10分
因此，数学期望1422
012529999
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=…………………12分 （20）（文科）（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线3
12
y x =-上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数
列1n d ⎧⎫
⎪⎨⎬⎪⎭⎩
的前n 项和n T . （20）解：（Ⅰ）由题设知，3
12
n n S a =
-…………………………1分 得*113
1(,2)2
n n S a n n --=
-∈≥N ）………………………………2分 两式相减得：13
()2
n n n a a a -=-
即*
13(,2)n n a a n n -=∈≥N ，…………………………4分
又113
12
S a =
- 得12a = 所以数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，
所以1
23n n a -=⋅. …………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知123n n a +=⋅，1
23n n a -=⋅
因为1(1)n n n a a n d +=++ 所以1
431
n n d n -⨯=+
所以
1
1143n n n d -+=⨯.……………………8分 令123111n T d d d =+++…1n
d +， 则012234
434343n T =
+++⨯⨯⨯ (1)
143
n n -++⨯ ① 12123
34343n T =++⨯⨯ (114343)
n n
n n -+++⨯⨯ ② ①—②得01222113434343n T =+++⨯⨯⨯ (111)
4343n n n -++-
⨯⨯…………………10分 111(1)
111525331244388313
n n n
n n --++=+⨯-=-⨯⨯-……………………………………11分 1
152516163n n n T -+∴=-⨯ ……………………………………12分
（20）(理科)（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线3
12
y x =
-上.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，
求数列1n d ⎧⎫
⎪⎨⎬⎪⎭
⎩的前n 项和n T ，并求使-1
84055327n n n T +≤⨯成立的正整数n 的最大值. （20）解：（Ⅰ）由题设知，3
12
n n S a =
-……………………………1分 得*113
1(,2)2
n n S a n n --=
-∈≥N ）
，………………………………2分 两式相减得：13
()2
n n n a a a -=-，
即*
13(,2)n n a a n n -=∈≥N ，………………………………4分
又113
12
S a =
- 得12a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，
∴1
23n n a -=⋅. …………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知123n n a +=⋅，1
23n n a -=⋅
因为1(1)n n n a a n d +=++ ， 所以1
431
n n d n -⨯=+
所以
11143
n n n d -+=⨯ ……………………8分 令123111n T d d d =+++…1n
d +， 则012234
434343n T =
+++⨯⨯⨯ (1)
143n n -++
⨯ ① 12123
34343n T =++⨯⨯…114343n n
n n -+++
⨯⨯ ② ①...②得01222113434343n T =+++⨯⨯⨯ (111)
4343n n
n -++-⨯⨯……………10分 111(1)
111525331244388313
n n n
n n --++=+⨯-=-⨯⨯- 1
1525
16163
n n n T -+∴=-⨯ …………………………………11分
所以-184055327n n n T +≤⨯，即-1
314022327
n -≤⨯，381n
≤ 得4n ≤
所以，使-1
840
5
5327
n n n T +≤⨯成立的正整数n 的最大值为4……………………12分
（21）(文科)（本小题满分13分）
已知椭圆C ：)10(13
2
22>=+
a y a x 的右焦点F 在圆1)2(:22=+-y x D 上，直线:3(0)l x my m =+≠交椭圆于M 、N 两点.
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 若ON OM ⊥(O 为坐标原点)，求m 的值；
(Ⅲ) 若点P 的坐标是(4,0)，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最
大值；若不存在，请说明理由．
（21）解：(Ⅰ) 由题设知，圆1)2(:2
2
=+-y x D 的圆心坐标是)0,2(，半径是1，
故圆D 与x 轴交与两点)0,3(，)0,1(. …………………………1分 所以，在椭圆中3=c 或1=c ，又32=b ，
所以，122=a 或42=a (舍去，∵10>a ) ………3分
于是，椭圆C 的方程为
13
122
2=+y x ． ………………………4分 (Ⅱ) 设),(11y x M ，),(22y x N ；
直线l 与椭圆C 方程联立⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=13
12322y x my x
化简并整理得036)4(2
2
=-++my y m ………………………5分
∴46221+-=
+m m y y ，43
22
1+-=⋅m y y
………………………6分 ∴4
24
6)(22121+=++=+m y y m x x
4
12369418439)(322
222221212
21+-=++-++-=+++=⋅m m m m m m y y m y y m x x ………7分
∵⊥，∴0=⋅
即02121=+y y x x 得
04
3
123622=+--m m ………………………8分 ∴4
112
=
m ，211±=m . ………………………9分
(Ⅲ) 解法一：21221214)(12
1
21y y y y y y FP S PMN -+⋅⋅=-⋅=
∆…………10分 …………11分
1≤= 当且仅当2m 13+=
即m =
故PMN ∆的面积存在最大值1. ………………………13分 (或
:
PMN S ∆=…………11分
令⎥⎦
⎤
⎝⎛∈+=
41,0412
m
t ，
则1PMN S ∆==≤ ………………12分 当且仅当⎥⎦
⎤
⎝⎛∈=
41,061t 时等号成立，此时22=m 故PMN ∆的面积存在最大值1. ………………………13分 解法二：[]
2122122212214)()1()()(y y y y m y y x x MN -++=-+-=
41
34412)4(36)1(2222
222
++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++=m m m m m m ………………………10分 点P 到直线l 的距离是
1
11
342
2
+=
+-m
m
.
12==
所以，222222)4(1
324111
2
34++=++⋅+=
∆m m m m m S PMN
……………………11分 4
1)41(
3322
2
2+++-=m m 令⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈+=
41,0412m t ，
112
32121)61(33233222=≤+--=+-=∆t t t S PMN ， ………………12分
当且仅当⎥⎦
⎤
⎝⎛∈=
41,061t 时，此时22=m 故PMN ∆的面积存在最大值，其最大值为1. ………………………13分 （21） (理科) (本小题满分13分)
已知椭圆C ：)10(13
2
22>=+
a y a x 的右焦点F 在圆1)2(:22=+-y x D 上，直线:3(0)l x my m =+≠交椭圆于M 、N 两点.
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 若ON OM ⊥(O 为坐标原点)，求m 的值；
(Ⅲ) 设点N 关于x 轴的对称点为1N （1N 与M 不重合），且直线1N M 与x 轴交于点
P ，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说
明理由．
（21）解：(Ⅰ) 由题设知，圆1)2(:2
2
=+-y x D 的圆心坐标是)0,2(，半径是1，
故圆D 与x 轴交与两点)0,3(，)0,1(. ………………………………1分 所以，在椭圆中3=c 或1=c ，又32=b ，
所以，122=a 或42=a (舍去，∵10>a ) ………3分
于是，椭圆C 的方程为
13
122
2=+y x ． ………………………4分 (Ⅱ) 设),(11y x M ，),(22y x N ；
直线l 与椭圆C 方程联立⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=13
12322y x my x
化简并整理得036)4(2
2
=-++my y m ………………………5分
∴46221+-=
+m m y y ，43
22
1+-=⋅m y y
………………………6分 ∴4
24
6)(22121+=++=+m y y m x x ，
4
12369418439)(32
2
222221212
21+-=++-++-=+++=⋅m m m m m m y y m y y m x x ………7分 ∵⊥，∴0=⋅
即02121=+y y x x 得
04
3
123622=+--m m ∴4
112
=
m ，211±=m ，即m 为定值. ………………………9分
(Ⅲ) ∵),(11y x M ，),(221y x N -
∴直线1N M 的方程为
1
21
121x x x x y y y y --=--- ………………………10分
令0=y ，则2
11
221121121)(y y x y x y x y y x x y x ++=++-=
4
641846)(322222
12121+-+-
+-=
+++=m m m m
m m y y y y y my 4624=--=m m
； ∴)0,4(P . ………………………11分 解法一：21221214)(12
1
21y y y y y y FP S PMN -+⋅⋅=-⋅=
∆ ………………………12分
1≤= 当且仅当2m 13+=
即m =
12==
故PMN ∆的面积存在最大值1. ………………………13分 (或
:
PMN S ∆=……………12分
令⎥⎦
⎤
⎝⎛∈+=
41,0412
m t ，
则1PMN S ∆==≤ 当且仅当⎥⎦
⎤
⎝⎛∈=
41,061t 时等号成立，此时22=m 故PMN ∆的面积存在最大值1. ………………………13分 解法二：[]
2122122212214)()1()()(y y y y m y y x x MN -++=-+-=
41
34412)
4(36)1(2222
222
++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=m m m m m m 点P 到直线l 的距离是
1
11
342
2
+=
+-m m .
所以，222222)4(1
324
111
2
3
4++=++⋅+=
∆m m m m m S PMN
4
1)41(
3322
2
2+++-=m m ………………………12分 令⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈+=
41,0412m t ，
112
32121)61(33233222=≤+--=+-=∆t t t S PMN ，
当且仅当⎥⎦
⎤
⎝⎛∈=
41,061t 时，此时22=m 故PMN ∆的面积存在最大值，其最大值为1. ………………………13分 （22）(文科)（本小题满分13分）
已知函数()(2)ln x g x a =-，()2=ln h x x ax + ()a R ∈.令()()()f x g x h x '=+. (Ⅰ)当0a =时，求()f x 的极值； (Ⅱ)当2a <-时，求()f x 的单调区间；
(Ⅲ)当32a -<<-时，若对∀[]121,3λλ∈，， 使得()()()12ln32ln3f
f m a λλ-<+-恒成立，求m 的取值范围.
解：(Ⅰ)依题意，()1
=
2h x ax x
'+ 所以()()1
2ln 2f x a x ax x =-++ 其定义域为(0,)+∞. ……………1分
当0a =时，1()2ln f x x x =+ ，22
2121
()x f x x x x -'=-=. ……………2分 令()0f x '=，解得1
2
x =
当102
x <<时，()0f x '<；当1
2x >时，()0f x '> .
所以()f x 的单调递减区间是102⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，单调递增区间是1+2
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，
； 所以1
2
x =
时， ()f x 有极小值为122ln 22f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，无极大值 ……………4分 (Ⅱ) 221()2a f x a x x -'=-+2
22(2)1ax a x x +--=()2
1
(21)()0a x x a x x -+=> ……5分
当2a <-时，112a -<， 令()0f x '<，得1x a <-或1
2x >，
令()0f x '>，得11
2x a -<<；
所以，当2a <-时，()f x 的单调递减区间是10a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，1+2⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
，，
单调递增区间是112a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，……………7分 （Ⅲ）由(Ⅱ)可知，当32a -<<-时，()f x 在[]1,3单调递减.
所以max ()(1)21f x f a ==+； min 1
()(3)(2)ln 363
f x f a a ==-++. …………8分 所以()()()()12max 113(12)(2)ln 363f
f f f a a a λλ⎡⎤
-=-=+--+
+⎢⎥⎣⎦
2
4(2)ln 3.3
a a =
-+-………………9分 因为对∀[]121,3λλ∈，，有()()()12ln32ln3f f m a λλ-<+-成立，
所以()2
ln 32ln 34(2)ln 3.3
m a a a +->-+-， 整理得2
43
ma a >
-. ……………11分 又0a < 所以243m a <-， 又因为32a -<<- ，得122339
a -<<-， 所以13238
4339
a -<-<-，所以133m ≤- . ……………13分
(22)(理科)（本小题满分13分）
已知函数()(2)ln x g x a =-，()2=ln h x x ax + ()a R ∈ 令()()()f x g x h x '=+.
(Ⅰ)当0a =时，求()f x 的极值； (Ⅱ) 当0a <时，求()f x 的单调区间； (Ⅲ)当32a -<<-时，若存在[]121,3λλ∈，， 使得()()()12ln32ln3f
f m a λλ->+-成立，求m 的取值范围.
解：（Ⅰ）依题意，()1
=
2h x ax x '+ 所以()()1
2ln 2f x a x ax x =-++ 其定义域为(0,)+∞. ……………1分
当0a =时，1()2ln f x x x =+ ，22
2121
()x f x x x x -'=-=. 令()0f x '=，解得1
2
x =
当102
x <<时，()0f x '<；当1
2x >时，()0f x '> .
所以()f x 的单调递减区间是102⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，单调递增区间是1+2
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，
； 所以1
2
x =
时， ()f x 有极小值为122ln 22f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，无极大值 ……………3分 (Ⅱ) 221()2a f x a x x -'=-+2
22(2)1ax a x x +--=()21
(21)()0a x x a x x -+=>………4分
当20a -<<时，112a ->，令()0f x '<，得102
x <<或1
x a >-，
令()0f x '>，得11
2x a
<<-；
当2a =-时，2
2
(21)()0x f x x -'=-
≤. 当2a <-时，112a -
<， 令()0f x '<，得1x a <-或12
x >， 令()0f x '>，得11
2x a -<<；
综上所述:
当20a -<<时，()f x 的单调递减区间是102⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，1+a
⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，
， 单调递增区间是112
a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
；
当2a =-时，()f x 的单调递减区间是()0+∞，；
当2a <-时，()f x 的单调递减区间是10a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
，1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间是112a ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭，
……………………7分
（Ⅲ）由(Ⅱ)可知，当32a -<<-时，()f x 在[]1,3单调递减.
所以max ()(1)21f x f a ==+； min 1
()(3)(2)ln 363
f x f a a ==-++.
…………8分. 所以()()()()12max 113(12)(2)ln 363f
f f f a a a λλ⎡⎤
-=-=+--+
+⎢⎥⎣⎦
2
4(2)ln 3.
3a a =
-+-
………………………………9分 因为存在[]121,3λλ∈，，使得()()()12ln32ln3f f m a λλ->+-成立，
所以()2
ln32ln34(2)ln33
m a a a +-<-+-， 整理得2
43
ma a <
-. ……………………11分 又0a < 所以243m a >-， 又因为32a -<<- ，得122339
a -<<-， 所以13238
4339
a -<-<-，所以389m ≥- . ………………13分。