八年级数学上册 5.5 三角形内角和定理 拓展思考 由三角形外角和到多边形外角和素材 (新版)青岛版

由三角形外角和到多边形外角和
三角形的内角和是180°，那么三角形的外角和（当说到三角形外角和时，三角形的每一个顶点处的外角只算其中一个）是多少度呢？
如图1，︒=∠+∠180GBC ABC ，︒=∠+∠180HCA BCA ，︒=∠+∠180FAB CAB ．
图1
所以︒=︒⨯=∠+∠+∠+∠+∠+∠5401803FAB CAB HCA BCA GBC ABC ． 而︒=∠+∠+∠180CAB BCA ABC ，
所以︒=︒⨯=∠+∠+∠3601802FAB HCA GBC ，即三角形的外角和为360°． 让ABC ∆逐渐缩小，直至C B A ,,三个点重合（如图2所示），此时三角形的外角HCF GBH FAG ∠∠∠,,都变成了什么？
图2
一般地，凸多边形的外角和又是多少度呢？
仍以凸五边形为例（如图3所示），凸多边形每一个内角与一个外角构成一个平角，即为180°．五个这样的平角为5×180°＝900°．但现在要求的是其外角和，所以还需减去其内角和，而内角和为3×180°，于是凸五边形的外角和为2×180°．
图3
你会类似于三角形那样把凸五边形缩为一点，去想像它的外角和是多少度吗？
当然，凸五边形的外角和还可以从“思维实验”的角度去想像：如图3，当从五边形的顶点A 出发面向B ，按“A E D C B A -----”行进一周时，你的视线转动了多少度？显然仍为360°．
不管三角形的形状、位置和大小怎样，它们的内角和都是180°，令人惊奇．而所有的凸多边形的外角和都是360°，更令人惊叹．难怪有人认为，外用和比内角和更能反映多边形的本质．
细心的同学会发现，我们在多边形的前面都加了一个“凸”字，凸多边形是什么意思呢？那是指“多边形总在任意一边所在直线的同一侧”．人们自然会问：如果是凹多边形，其内、外角和又该是多少？这个问题请同学自己思考并解答．。