2015上海五月三校生高考数学试题(含答案)
15年高考真题——理科数学(上海卷)-推荐下载
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷
数学（理科） 一．填空题：共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分。
1．设全集U R ，若集合 A 1, 2,3, 4， B x 2 x 3，则
A ðU B _________。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ，则其母线与轴的夹角的大小为
_______。
7．方程 log2 9x1 5 log2 3x1 2 2 的解为___________。2
8．在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
（A）充分非必要条件
（C）充要条件
（B）必要非充分条件
（D）既非充分又非必要条件
16．已知点 A 的坐标为 4 3,1，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB ，则点 3
33 B 的纵坐标为（ ） （A）
2
13
（D）
2
17．记方程①： x2 a1x 1 0 ，方程②： x2 a2 x 2 0 ，方程③：
f T 4 。⑴验证 h x x sin x 是以 6 为周期的余弦周期函数；⑵设 a b ，证明
3
对任意 c f a, f b ，存在 x0 a,b，使得
f x0 c ；⑶证明：“ u0 为方程 cos f x 1在
0,T 上得解”的充要条件是“ u0 为方程
x2 a3x 4 0 ，其中 a1, a2 , a3 是正实数。当 a1, a2 , a3 成等比数列时，下列选项中，能推
上海五校高三数学联考试卷(2015.12)
上海五校高三联考数学试卷2015.12一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1. 已知a b R ∈、，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi += ；2. 函数2sin y a x π=(0)a >的最小正周期为2，则实数a = ；3.函数y 的定义域为 ；4. 集合{||2|3,}x x R A x =-≤∈，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，()R C A B = ；5. 如果2i +是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则mn = ； 6. 已知双曲线22212x y a -=，其双曲线的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，则该双曲 线的方程为 ；7. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则角A = ；8. 等比数列{}n a 各项均为正数，510119122a a a a e +=，1220ln ln ln a a a +++= ； 9. 在△ABC 中，5AB =，6AC =，点P 是△ABC 的外接圆圆心，则AP BC ⋅= ；10. 无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项是10a >，若11lim n n S a →∞=，则1a 的取值范围 是 ；11. 对于函数()f x ，若在定义域D 上存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为D 上“局部奇函数”，已知()2xf x m =+是定义在[1,1]-上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是 ；12. 已知数列{}n a 满足，当3n >时，12n n a a -=或12n n n a a a --=+，若11a =，22a =，则此数列的前2015项中，奇数项最多有 项； 13. 已知M 是△ABC 内的一点（不含边界），且AB AC ⋅= 30BAC ︒∠=，若△MBC 、△MAB 、△MAC 的面积分别是x 、y 、z ，则14x y z++的最小值为 ； 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:650C x y x +-+=，点,A B 在圆C上，且AB =||OA OB + 的取值范围是 ；二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15. 已知直线1:20l x ay ++=和直线2:(2)360l a x y a -++=，则“3a =”是“1l ∥2l ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 已知函数log ()a y x c =+(,a c 为常数，其中)1,0≠>a a 的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 1a >，1c >B. 1a >，01c <<C. 01a <<，1c >D. 01a <<，01c <<17. 下列命题正确的是（ ）A. 若0ab ≠，则2b a a b+≥ B. 若0a <，则44a a +≥-C. 若0,0a b >>，则lg lg a b +≥D. 若,x k k Z π≠∈，则224sin 5sin x x+≥ 18. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，221()(|||2|2f x x a x a =-+-- 23)a ，若对任意x R ∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A . 11[,]66- B. [ C. 11[,]33- D. [三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19. 如图，,A B 是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=；（1）当点A 的坐标为34(,)55时，求cos 21sin 2αα+的值； （2）若03πα≤≤，且当点,A B 在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC的取值范围；20. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x <≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数；（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值；（精确到1年/小时）21. 已知圆22(1):1M x y ++=，圆22(1):9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ；（1）求曲线C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB 长；22. 已知函数()22x x f x a -=+⋅，其中常数0a ≠，（1）当1a =时，()f x 的最小值；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（3）当256a =时，是否存在实数(1,2]k ∈，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x -≥-对任意x R ∈恒成立？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由；23. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称数列{}n a 是“E 数列”；（1）数列{}n a 的前n 项和3n n S =*()n N ∈，判断数列{}n a 是否为“E 数列”，说明理由；（2）数列{}n b 是等差数列，其首项11b =，公差0d <，数列{}n b 是“E 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“E 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+ *()n N ∈成立；。
2015上海高考数学
2015上海高考数学1 年上海高考数学试题上海高考是中国国内最重要的高中毕业生升学考试之一。
而数学是高考科目中的一门必考科目，考试内容涵盖了数学的各个方面，如代数、几何、概率与统计等。
下面是2015年上海高考数学试题的一些内容。
第一题：选择题1. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，且a≠0。
若对于任意的实数x，f(x)的最小值为2，则a，b，c满足的条件是：A. a = 1, b = 0, c = 2B. a = 2, b = 0, c = 1C. a = 1, b = 0, c = 0D. a = 1, b = 0, c = -2解析：根据题意，最小值为2的抛物线开口向上，且判别式为0。
由判别式的条件可以得出a = 1，b = 0，c = 2。
因此，答案为A。
2. 已知向量 a = (1, 2, -3)，b = (4, -1, 2)，c = (2, 3, -1)，则(a +b) · c = ？（·表示向量的点乘）A. 5B. -5C. 13D. -13解析：向量的点乘计算公式为(a + b) · c = a · c + b · c。
根据给出的向量a、b、c的数值代入公式，可以得到(a + b) · c = 13。
因此，答案为C。
3. 在平面直角坐标系中，点A(8, 0)、B(2, 2)、C(0, 4)和D(6, 6)依次连接，形成一个四边形。
若四边形ABCD为正方形，其面积为：A. 8B. 16C. 32D. 64解析：根据题意，四边形ABCD为正方形，即AB = BC = CD = DA。
根据点的坐标计算，可以得到AB = √((8-2)^2 + (0-2)^2) = √20，BC = √((2-0)^2 + (2-4)^2) = √8，CD = √((0-6)^2 + (4-6)^2) = √32，DA = √((6-8)^2 + (6-0)^2) = √52。
2015年高考文科数学上海卷-答案
【解析】()1f x =【提示】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期【考点】二倍角公式，三角函数的周期【答案】{}1,4 【解析】{UB x =<{}1,4UAB =【提示】由A 与B ，找出两集合的交集即可. 【考点】集合交集及其基本运算11【解析】()2f x =【提示】由原函数解析式把【考点】反函数.1sin 60=162a a ⎫⎪⎭【考点】立体几何的基本运算. 【解析】抛物线上的动点到焦点的距离等于动点到准线的距离【解析】12log (9x -且又2log (95)-1433x --+g【解析】条件要求男、女教师都有142332363636C +C C +C C 4515=+数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案. 242246621(2)()C 2240x x ==. 求得r 值，则答案可求. 【解析】双曲线又C【解析】2a b c ++222a b c =++222a b a c b c +++22222a b c a c b c =++++2222()a b c c a b ++++,142cosc a b c a b c a b<+>=+++,1465cosc a b c a b<+>=++.2a b c ++的最大值为1465+. a b c ++的最大值为【提示】分别以a b ，所在的直线为【考点】平面向量的基本运算【解析】()sin 1f x x =当且仅当223())()f x x f x -+-m x ，满足120x x <<L 11【解析】22x x ++直接可得82(x +<它们的解集是相同的3112n b a +-)n λ-，。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)
2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,333112x t t t t x x -⇒-+==⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y = 【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为2y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8 【解析】因为()sin fx x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 242A A AB AC A AB AC =⋅⋅=+⇒⋅=，又1122,43222AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(15DE DF A π⋅⋅-==-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．2 B ．2 C ．112 D ．132【答案】D【解析】113(cossin ))()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根 【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1nn ny x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)
高考提醒一轮看功夫，二轮看水平，三轮看士气梳理考纲，进一步明确高考考什么！梳理高考题，进一步明确怎么考！梳理教材和笔记，进一步明确重难点！梳理错题本，进一步明确薄弱点！抓住中低档试题。
既可以突出重点又可以提高复习信心，效率和效益也会双丰收。
少做、不做难题，努力避免“心理饱和”现象的加剧。
保持平常心，顺其自然2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =I ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =I 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】3y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为1ξ1 2 3 4 5P15 15 15 15 15所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为2ξ1.42.8 4.25.6 P25425C = 253310C = 25215C = 251110C = 所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅=u u u r u u u r．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin ,cos ,sin 24125255A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=u u u r u u u r 16cos()()151255DE DF A π⋅⋅-=⨯-=- 【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112 D ．132【答案】D【解析】133313(cos sin )(43)()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅=+u u u r u u u r ，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根 【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1nn ny x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15年高考真题——理科数学(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U A B = ð_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
2015年高考文科数学上海卷及答案解析
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 . 9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分） 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N . （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，【提示】由正弦函数的有界性可得，对任意πsin 3OB θ⎛+ ⎝(4OB =cos OP OR O ∠31212OA d x y =1,=得21x =13kx1221mx x kx k -1212k m x x k -=222k m+42(4k S ++k 无关，(21212m k +【考点】椭圆的基本性质，直线与椭圆的关系。
2015年高考文科数学上海卷及答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N .（Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学答案解析1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.【考点】二元线性规划求目标函数最值.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，。
15年高考真题——理科数学(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U AB =ð_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
2015上海三校生数学真题(含详解)
2015年上海市普通高等学校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试数学试卷考生注意：1.本试卷满分100分，考试时间100分钟.2.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求；所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，作图可以使用铅笔，在草稿纸和试卷上答题一律无效.3.答题前，考试务必用签字笔、钢笔或圆珠笔在答题纸上清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.4.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1.已知指数函数()10x f x =，若()(4)f a f >，则（）A.4a < B.4a > C.4a D.4a 【考查内容】指数函数的单调性【答案】B【解析】()10x f x =在定义域内单调递增，()(4)f a f >，则4a >.2.图①、②、③是图1所示几何体的三个视图，则与主视图、俯视图、左视图对应的序号依次为（）①②③图115SH115SH215SH315SH4A.①③②B.①②③C.③①②D.③②①【考查内容】简单几何体的三视图【答案】D【解析】该几何体的主视图为③，俯视图为②，左视图为①.3.不等式213x + 的解集为（）A.(,2][1,)--+ ∞∞ B.(,1][2,)--+ ∞∞ C.(,2)--∞ D.(2,1)-【考查内容】绝对值不等式【答案】A【解析】213213213x x x +⇒++-或 12x x ⇒-或 .4.某中职校在职业体验开放日活动中，要从4名男生和5名女生中任选两名担任讲解员，假设每名学生被选中的可能性相同，则正好选出一名男生和一名女生的概率为（）A.29B.518C.59D.14【考查内容】等可能事件的概率【答案】C【解析】所求概率114529C C 59C P ==.5.“1,1a b ==-”是“方程221ax by +=表示的曲线为双曲线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考查内容】双曲线的标准方程，充分、必要条件【答案】A【解析】1,1a b ==-⇒方程221ax by +=表示的曲线是双曲线；方程221ax by +=表示的曲线是双曲线⇒0ab </⇒1,1a b ==-.是充分非必要条件.6.如图2所示，在三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则矩形的面积y （平方米）与其一条边长x （米）之间的函数关系是（）图215SH5A.240(040)y x x x =-<<B.220(040)y x x x =-<<C.240(040)y x x x =-<< D.220(040)y x x x =-<<【考查内容】二次函数的实际应用【答案】C【解析】如图，∵BC DE ,∴ABC △∽ADE △，∴BC AFDE AG=，∴BC AF x ==，∴40FG x =-，2(40)40(040)y x x x x x =-=-<<.15SH6二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上.】7.已知全集为{}1,2,3,4,5，则集合{}2,4在全集中的补集为.【考查内容】集合的补集【答案】{}1,3,58.函数12()f x x=的定义域为.【考查内容】函数的定义域【答案】[0,)+∞【解析】12()f x x x==，其中0x .9.下表为甲、乙两个家庭两个月的消费情况，则甲、乙两个家庭这两个月各自消费金额的月平均值用列矩阵表示为.三月消费金额（元）四月消费金额（元）甲30882940乙42104300【考查内容】矩阵【答案】3014 4255⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】甲家庭这两个月的消费金额的月平均值是3088294030142+=，乙家庭这两个月的消费金额的月平均值是4210430042552+=，用列矩阵表示为30144255⎛⎫⎪⎝⎭.10.某市出租车运价y（元）与行驶里程x（千米）的关系如图3所示，若输入的x为8，则输出的y为.图315SH7【考查内容】程序框图【答案】26【解析】该程序框图表示的函数为14,032.4 6.8,3<103.6 5.2,10x y x x x x <<⎧⎪=+⎨⎪-⎩，8x =时， 2.48 6.826y =⨯+=.11.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(1,2)P -,则sin θ=.【考查内容】任意角的三角函数【答案】255【解析】由任意角的三角函数的定义得22225sin 5(1)2θ==-+.12.若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且(2015)(2015)4f f +-=，则(2015)f =.【考查内容】偶函数的性质【答案】2【解析】由偶函数的性质得(2015)(2015)f f -=，∴(2015)(2015)2(2015)4f f f +-==，得(2015)2f =.13.若复数2(2)(2)i z a a =-++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =.【考查内容】纯虚数的概念【答案】2【解析】由纯虚数的概念可得22020a a ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得2a =.14.已知抛物线C :24y x =，若C 上的点M 到y 轴的距离为3，则点M 到C 的焦点F 的距离为.【考查内容】抛物线的定义【答案】4【解析】抛物线的准线方程是12px =-=-，∴点M 到准线的距离为4，由抛物线的定义可知点M 到C 的焦点F 的距离为4.15.如图4所示，以沪D ·Z 打头后面加四个阿拉伯数字是上海新能源车牌专段号码之一，车牌号码中的阿拉伯数字是0到9这十个自然数中的任意一个，则以沪D ·Z 打头的新能源车牌号码最多可有个.(结果用数值表示)图415SH8【考查内容】分步计数原理【答案】10000【解析】由分步计数原理可知号码最多有10101010⨯⨯⨯=10000个.16.已知3cos 5α=-，(0,)α∈π，则sin()3απ+=.【考查内容】同角三角比的关系，加法定理【答案】43310-【解析】∵(0,)α∈π，∴24sin 1cos 5αα=-=，4133433sin()sin cos cos sin ()333525210αααπππ-+=+=⨯+-⨯=.17.已知实数x 、y 满足约束条件1,1,2 2.x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩若目标函数z ax y =+仅在点（1,0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是.【考查内容】线性规划【答案】(2,1)-【解析】如图所示：(1)当0a =时，显然成立；(2)当0a >时，需满足1a ->-，此时01a <<；(3)当0a <时，需满足2a -<，此时20a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(2,1)-.15SH918.设数列{}(*)n a n ∈N 是等比数列，公比q 为整数，若数列{}n a 的连续四项是集合{24,6,3,6,12}--中的四个元素，则q =.【考查内容】等比数列【答案】2-【解析】观察该集合中的五个元素，有两个负数三个正数，等比数列的连续四项中第1项和第3项、第2项和第4项符号相同，∴24-和6-是该等比数列连续四项中的两项，由等比中项的性质可知12为24-和6-的等比中项，另一项为3.由于公比q 为整数，故为2-.三、解答题(本大题共6题，满分52分)【解答下列各题必须在答题纸的相应位置上写出必要的步骤.】19.(本题满分7分)第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为4分.图5的正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，高为1，O 为下底面的中心.求：（1）异面直线AB 与1CD 所成角的大小；（2）正四棱锥O ABCD -的体积.图515SH10【考查内容】异面直线所成的角，棱锥的体积【解】(1)∵AB CD ，∴1DCD ∠为异面直线AB 和1CD 所成的角，在△1DCD 中，1113tan 33DD DCD DC ∠===,130DCD ∠= ,即异面直线AB 和1CD 所成的角为30 .(2)111331133ABCD V S AA =⋅=⨯⨯⨯=.20.(本题满分7分)第（1）小题满分为2分，第（2）小题满分为5分.如图6，在直角坐标平面内，等腰梯形ABCD 的下底BC 在x 轴上，BC 的中点是坐标原点O ,已知1,2AD AB DC BC ====.（1）写出与向量OD相等的一个向量，其起点与终点是A 、B 、C 、D 、O 五个点中的两个点；（2）设向量a OC OD =+ ，求出向量a 的坐标，并在答题纸上的图6中画出向量a的负向量，要求所画向量的起点与终点是A 、B 、C 、D 、O 五个点中的两个点.图615SH11【考查内容】平面向量的线性运算【解】(1)易知AB BO 且AB BO =，∴四边形ABOD 为平行四边形.∴AB OD 且AB OD =.∴OD BA = .(2)如图所示，作平行四边形OCED ,则OD CE ,∴a OC OD OC CE OE =+=+=,易知OE BD 且OE BD =，∴a DB -=.15SH1221.(本题满分8分)每小题满分各为4分.已知函数()2sin()()4f x x x π=+∈R .（1）写出函数()f x 的最小正周期T 和最大值M ,并求出当函数()f x 取最大值时与之对应的x的一个值；（2）△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，已知()34f A π-=,7BC =,21sin 7B =,求AC 的长.【考查内容】正弦型函数的图像和性质【解】(1)221T π==π,max ()2f x =，取最大值时242x k ππ+=+π，k ∈Z .即24x k π=+π，k ∈Z .（符合24x k π=+π，k ∈Z 的任意的一个x 的值均得分）（2）()2sin 34f A A π-==,∴3sin 2A =,在△ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC BCB A=,得2AC =.22.(本题满分10分)每小题满分各为5分.某地政府支持当地老公房加装电梯，补贴其建设总费用的50%，另外50%由住户分摊.住户按如下步骤分摊费用：（一）先按楼层分摊，底层住户不出钱，从第二层起，每层都比下面一层增加费用k ；（二）每层分摊到的费用再按户平均分摊.现计划为某小区1号六层老公房加装电梯，建设总费用为48万元.(本题涉及的费用均以万元为单位)（1）设第n 层住户分摊到的费用为(*,6)n a n n ∈N ，10a =，求k ；（2）该号每层有8户，设第n 层的每一户分摊到的费用为(*,6)n b n n ∈N ，求4b 以及数列{}n b 的通项公式.【考查内容】等差数列的实际应用【解】(1)由题意可得每一层建设费用成等差数列，第一层费用为0，···，第六层费用为5k ，则056482k +⨯=，165k =.(2)由题意可得第n 层住户分摊的的费用n a 是以首项10a =，公差为825k =的等差数列.则188(1)(1)55n a a n n =+-⨯=-.则1(1)85n n a b n ==-，435b =.23.(本题满分10分)每小题满分各为5分.已知函数2()log f x x =.（1）在答题纸相应位置的坐标系中画出函数()y f x =的大致图像，并写出实数m 的取值范围，使得[,3]x m ∈时，()0f x ；（2）设0a b <<，如果()()f a f b =，问a 与b 的乘积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【考查内容】对数函数的图像和性质【解】(1)()y f x =的大致图像如图所示：15SH13由图可知，m 的取值范围是[1,3).(2)由函数2()log f x x =在定义域内单调递增，可知01a b <<<.由()()f a f b =可得22log log a b -=，222log log log 0a b ab +==，得1ab =.∴a 与b 的乘积为定值1.24.(本题满分10分)第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为7分.圆锥曲线C 的方程为2221x y a+=（0a >）.（1）若曲线C 是圆，且直线2(0)y kx k =->与该圆相切，求实数k ；（2）设1a >，曲线C 的一个焦点为(,0)(0)F c c >，它与y 轴正半轴的交点为B ,过点B 且垂直于BF 的直线l 与x 轴相交于点3(,0)3D -,与曲线C 的另一个交点为E ,求a 以及线段BE 的长.【考查内容】直线与圆的位置关系，直线与椭圆相交的综合问题【解】(1)曲线C 是圆时，1a =.圆C 的方程为221x y +=.由直线与圆相切可得圆心（0,0）到该直线的距离为半径的长1.即2221(1)k -=+-，又∵0k >，∴3k =.(2)当1a >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆.∴21c a =-.即23(1,0),(0,1),(,0)3F a B D --.2(1,1)BF a =-- ，3(,1)3DB = .由BF ED ⊥可得0BF DB ⋅= ,即231103a ⋅--=（1a >），可得2a =.椭圆方程为2214x y +=,易知BE 所在直线的斜率为3,方程为31y x =+，方法一：联立直线与椭圆方程可得1101x y =⎧⎨=⎩，2283131113x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得221212163()()13BE x x y y =-+-=.方法二：联立直线与椭圆方程，消去y 得213830x x +=，128313x x +=-，120x x =.∴2212121()4BE k x x x x =+⋅+-=16313.。
新课标2015年三校联考数学试题(文科)试卷及答案
2015年校联考数学试题（文科）第I 卷(选择题 60分)一、选择题 （本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则A B =A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞2.已知向量a=（1，-2），b=（x ，4），且a ∥b ，，则a ⋅b= A ．5 B ． -5 C ．10 D ．-103.若复数z 满足(1)1i z i -=+，则z i += A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的 面积为12D. 25．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为A.4B.8C.10D.126．设a ，b 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题中不正确的一个是A ．若a ⊥α,b ∥α,则a ⊥bB ．若a⊥α,a ∥b ，β⊂b 则αβ⊥C ．若a ⊥α,b ⊥β,α∥β，则a ∥bD ．若a ∥α，a ∥β则α∥β7. 已知,x y 满足约束条件1323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩,若2z x y =+的最大值和最小值分别为,a b ，则a b += A.7B.6C.5D.48．正项等比数列{}n a 满足：3212a a a =+，若存在,m n a a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为A.2B.16C.83 D.329.已知函数()x x f x +=2,()x x x g +=3log ,()xx x h 1-=的零点依次为a ，b ，c ，则A ．a ＜b ＜c B.c ＜b ＜a C.c ＜a ＜b D.b ＜a ＜c10．一个几何体的三视图如图所示，它的一条体对角线的两个端点为 A 、B ，则经过这个几何体的面，A 、B 间的最短路程是A ．B．．74 D ．11.已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，12,F F 是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2=90°，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是D.512.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数： (i) 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；(ii) 当12120,0,1x x x x +≥≥≤时，总有1212()()()f x f x f x x ++≥成立. 则下列三个函数中不是．．M 函数的个数有① 2()f x x =② 2()1f x x =+ ③ ()21xf x =- A. 0 B. 1C. 2D. 3第II 卷(非选择题 90分)本卷包括必考题和选考题两部分。