山东省诸城市2015届高三第一次检测数学文试题 Word版

高三数学试题（文科）
2014.10.9
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（共50分）
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它他答案标号。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U=R ，集合}31|{<<=x x A ，{|2}B x x =>，则U A C B 等于（ ）
A ．}21|{<<x x
B ．{|12}x x <≤
C ．}32|{<<x x
D ．}2|{≤x x
2．已知R a ∈且0≠a ，则“11
<a
”是“1>a ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 若集合}0|{≥=y y P ，P Q P = ，则集合Q 不可能是
A ．∅
B ．},|{2R x x y y ∈=
C ．},2|{R x y y x ∈=
D ．}0,log |{2>=x x y y 4. 已知x ，y R ∈，则
A ．y x y x 2lg 2lg )2lg(+=+
B ．y x y x 2lg 2lg )22lg(∙=∙
C ．y x y
x 2lg 2lg )2
lg(∙=+
D ．y
x y x 2lg 2lg )22lg(+=∙
5. 已知命题p ：存在x R ∈，使得x x lg 10>-；命题q ：对任意x R ∈，都有02
>x ，则 A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且或q ”是真假命题 C ．命题“非q ”是假命题
D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题
6. 设函数⎩⎨⎧>-≤=-)
1(,log 1)
1(,2)(21x x x x f x ，则满足)(x f ≤2的x 取值范围是
A ．]2,1[-
B ．]2,0[
C ．),0[+∞
D ．),1[+∞
7. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≥+-≤--0
10220
22y x y x y x ，则11++=x y s 的取值范围是
A ．]23,1[
B ．]1,21[
C ．]2,2
1[ D ．]2,1[
8.若函数0()(>-=-a a ka x f x x 且)1≠a 在（－∞，＋∞）上既是奇函数又是偶函数，则
)(log )(k x x g a -=的图象是
9. 要使333b a b a -<-成立，a ，b 应满足的条件是
A ． 0<ab 且b a >
B ． 0>ab 且b a >
C ．0<ab 且b a <
D ． 0>ab 且b a >或0<ab 且b a <
10. 已知函数=y ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)()(x f x f x -<'成立，
若)3(3f a =，)3(lg )3(lg f b =，)4
1
(log )41(log 22
f c =，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

请把正确答案填在题中横线上） 11. 幂函数)(x f 的图像经过点（2，
2
2
），则=)9(f 。

12.已知函数0(cos )(>=a x a x f x
且)1≠a ，则导函数=')(x f ．
13. 若函数1)(23+-=ax x x f 在（0,2）内单调递减，则实数a 的取值范围是 ． 14.已知|log |)(3x x f =，若)()(b f a f =且b a ≠。

则
b
a 2
1+的取值范围是_________. 15.设定义域为[0，1]的函数)(x f 同时满足以下三个条件时称)(x f 为“友谊函数”： （1）对任意∈x [0，1]，总有)(x f ≥0； （2）1)1(=f ；
（3）若1x ≥0，2x ≥0且1x ＋2x ≤1，则有(f 1x ＋2x ）≥(f 1x ）＋(f 2x ）成立，则下列判断正确的有 。

①)(x f 为“友谊函数”，则0)0(=f ；
②函数x x g =)(在区间[0，1]上是“友谊函数”；
③若)(x f 为“友谊函数”，且0≤1x ＜2x ≤1，则(f 1x ）≤(f 2x ）。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）
已知p ：不等式022
>--m x x 解集为R ，q ：集合},012|{2R x m x x x A ∈=--+=，且
∅≠A ．且p q ∧为真，求实数m 的取值范围
17. （本小题满分12分）
设a
x f x x ++-=+121
2)(（a 为实常数）
（I ）当1=a 时，证明：)(x f 不是奇函数；
(Ⅱ)当2=a 时，若k x f <)(对一切实数x 成立，求k 的取值范围 18. （本小题满分12分）
为了降低能耗，新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能耗费用C （单位：万元）
与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：5
3)(+=
x k
x C （0≤x ≤10），若不建隔热层，每年能耗费用为8万元。

设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能耗费用之和。

（I ）求k 的值及)(x f 的表达式； 。

(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用)(x f 达到最小，并求最小值 19. （本小题满分12分） 设函数R m x
m
x x f ∈+
=,ln )( （I ）当e m =（e 为自然对数的底数）时，若函数)(x f 在（)1)(1,1>+-a a a 上有极值
点，求实数a 的范围；
(Ⅱ)若函数3
)()(x
x f x g -
'=有两个零点，试求m 的取值范围。

20. （本小题满分13分）
已知函数f (x )＝1
2log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)．
（1）解关于x 的不等式0)(>x f ；
（2）若函数)(x f 在[2,8]上的最大值是1，最小值是－1
8，求a 的值
21.（本小题满分14分）
已知函数2)(2
3
+-+=x ax x x f （I ）如果3
1
-
=x 及1=x 是函数)(x f 的两个极值点，求函数)(x f 的解析式； （II ）在（I ）的条件下，求函数)(x f y =的图像在点P （－1,1）处的切线方程；
（III ）若不等式x x ln 2≤2)(+'x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

高三数学试题（文科）参考答案及评分标准
一、选择题： BBDAD CCADB
二、填空题： 11.
3
1
12.x a x a a x f x x sin cos )ln ()(-=' 13. a ≥3 14. ),22[+∞ 15. ①②③
三、解答题：
16. 解答：若p ：不等式022
>--m x x 解集为R ，
则1,044-<∴<+=∆m m ………………………………4分 若q ：集合},012|{2R x m x x x A ∈=--+=，且∅≠A ． 则方程0122
=--+m x x 有实根
∴△＝)1(44++m ≥0，m ≥－2 ……………………8分 又p q ∧为真，故p 、q 均为真命题。

∴m ＜－1且m ≥－2，∴－2≤m ＜－1…………………12分
17. 解：（Ⅰ）1
212)(1
++-=
+x x
x f ，511212)1(2-=++-=f ，4
121
21
)1(=+-
=-f
所以)1()1(f f -≠-，)(x f 不是奇函数 ………………5分
（Ⅱ）2
212)(1++-=+x x x f ＝12121++-x ，因为02>x
，所以112>+x ，<0121+x ＜1，
从而21
-
＜)(x f ＜2
1 ………………………………………………10分 要使k x f <)(对一切实数x 成立，须k ≥
2
1
……………………………12分 18. 解：（Ⅰ）当0=x 时，8)0(=C ，即85
=k
，所以40=k ，…………2分 所以5340
)(+=
x x C ， 所以)(x f ＝x 6＋534020+⨯x ＝x 6＋5
3800
+x （0≤x ≤10）…………………………5分
（Ⅱ）)(x f ＝x 6＋
53800+x ＝)53(2+x ＋53800+x －10≥53800
)53(22++x x －10＝70 …………………………………………………………10分 当且仅当)53(2+x ＝
5
3800
+x ，即5=x 时等号成立，因此最小值为70 所以当隔热层修建5cm 厚时总费用最小，最小值为70元。

……………………12分
19. 解：（Ⅰ）当e m =时，x
e
x x f +
=ln )(，其定义域为（0，＋∞）………1分 221)(x
e
x x e x x f -=-=
' …………………………2分 当e x <<0时，0)(2<-=
'x e x x f ；当e x >时，0)(2
>-='x
e
x x f 故)(x f 在（0，e ）单调递减，在（e ，＋∞）上单调递增…………4分 若函数)(x f 在（)1)(1,1>+-a a a 上有极值点，
须⎪⎩
⎪
⎨⎧>>+<-111a e a e
a ，解得11+<<-e a e ， ………………………6分 （Ⅱ）3)()(x x f x g -'=＝312x x m x --＝2
3
333x x m x --，其定义域为（0，＋∞）……7分
令0)(=x g ，得x x m +-=3
3
1 设x x x h +-
=3
3
1)(，其定义域为（0，＋∞）。

则)(x g 的零点为)(x h 与m y =的交点。

……………………………………………9分
)1)(1(1)(2-+-=+-='x x x x h
x
（0,1） 1 （1，＋∞）
)
(x h '
＋ 0 － )(x h
极大值
故当1=x 时，)(x h 取得最大值时3
2
)1(=
h ……………………10分
作出)(x h 的图像，可得当3
2
0<
<m 时，)(x g 有两个零点。

………………12分
20. 解：（Ⅰ）f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝1
2
(log 2a x ＋3log a x ＋2)， 令f (x )＞0，即log 2a x ＋3log a x ＋2＞0，解得2log 2-<x 或1log ->x a ……4分 当10<<a 时，不等式解集为a x x 10|{<
<或21
a
x >} 当1>a 时，不等式解集为2
10|{a x x <
<或a x 1>}………………6分
（Ⅱ）由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－1
8. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.
又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，
∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．
若12(log a 2＋32)2－1
8
＝1，则a ＝31
2-， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－3
2＝2∉[2,8]，舍去．
若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12
， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)3
2
-＝22∈[2,8]，
符合题意，∴a ＝1
2.
21. 解：（I ）123)(2
-+='ax x x f ，01232
=-+ax x 的两根分别为3
1
-
，1 ……2分 将=x 1或3
1-
代入方程01232
=-+ax x ，得1-=a ∴ 2)(2
3
+--=x x x x f …………………………………………4分
（II ） 由（I ）知：123)(2--='x x x f ，∴4)1(=-'f ， 点P （-1,1）处的切线斜率4)1(=-'=f k ，
∴函数)(x f y =的图像在点P （－1,1）处的切线方程为：)1(41+=-x y ，即
054=+-y x ……………………………………………………8分
（III ）由题意知，x x ln 2≤2)(+'x f 在∈x （0，＋∞）上恒成立
可得a ≥x x x 2123ln --
对∈x （0，＋∞）上恒成立 ……………………10分 设=)(x h x x x 2123ln --，则2
22)
13)(1(21231)(x
x x x x x h +--=+-=' 令0)(='x h ，得1=x ，=x 3
1
-(舍) ……………………12分
当10<<x 时，0)(>'x h ，当1>x 时，0)(<'x h
∴当1=x 时，)(x h 取得最大值，2)(max -=x h ， ∴a ≥－2 ∴a 的取值范围是),2[+∞- ……………………………………14分。